6 - Triângulo de Pascal

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12/09/2020 Triângulo de Pascal – Wikipédia, a enciclopédia livre
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O triângulo de Yang Hui foi publicado na
China, em 1303.
Triângulo de Pascal
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na
Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um
triângulo numérico infinito formado por números
binomiais , onde representa o número da linha e 
representa o número da coluna, iniciando a contagem a
partir do zero.[1] Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié
no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar
Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-
ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus
Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que
estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria
das probabilidades. O triângulo também pode ser
representado como:
0 1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 3 4 5 6
2 1 3 6 10 15
3 1 4 10 20
4 1 5 15
5 1 6
6 1
Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-
ésima coluna por tmn. Então tmn = tm-1,n + tm,n-1, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de
contorno são tm, −1 = 0, t−1, n para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t00 = 1. Pascal conclui com a
prova,
Propriedades
Relação de Stifel
Soma de uma linha
Soma de uma coluna
Simetria
Soma de uma diagonal
Novas propriedades – Desigualdades
Índice
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Yanghui_triangle.gif
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o
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O triângulo de Pascal.
Algoritmos
Java
Notas
Referências
Ver também
Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do
número imediatamente acima e do antecessor do número
de cima.
Portanto:
A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a .
Propriedades
Relação de Stifel
Soma de uma linha
Soma de uma coluna
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:PascalTriangleAnimated2.gif
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_de_Stifel
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A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação 
.
Portanto:
O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:
[2]
Isso deve-se ao fato de que 
Conhecendo as fórmulas (Soma de uma coluna)
e (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se
encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: 
.
Simetria
Soma de uma diagonal
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Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:[3]
1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus
elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central,
localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20
> 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.
2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois
elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente
localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20,
então:
2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.
Se A = 1 e B = 20, então:
1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.
public void Pascal(int n) { 
 int nfilas = n; 
 int[] a = new int[1]; 
 for (int i = 1; i <= nfilas; i++) { 
 int[] x = new int[i]; 
 for (int j = 0; j < i; j++) { 
 if (j == 0 || j == (i - 1)) { 
 x[j] = 1; 
 } else { 
Novas propriedades – Desigualdades
Algoritmos
Java
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 x[j] = a[j] + a[j - 1]; 
 } 
 System.out.print(x[j] + " "); 
 } 
 a = x; 
 System.out.println(); 
 }
}
1. Kadane (2011), p. 62 (http://books.google.com/books?id=uZ53AtZl-dAC&pg=PA62&dq=%22locat
ed+on+row+n%2B1%22).
2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor» (http://omonitor.io/?q=coeficientesbinomiais
+8). omonitor.io. Consultado em 18 de março de 2016
3. Antônio Luiz de Melo, Rogério César dos Santos (13 de março de 2014). «Desigualdades no
Triângulo de Pascal» (http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/v3n1/v3n1_art7.pdf) (PDF). Revista
Eletrônica Paulista de Matemática. Consultado em 6 de abril de 2015
Kadane, J.B. (2011). Principles of Uncertainty (https://books.google.com.br/books?id=uZ53AtZl-d
AC) (em inglês). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9781439861615
Blaise Pascal
Binômio de Newton
Pirâmide de Pascal
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Notas
Referências
Ver também
http://books.google.com/books?id=uZ53AtZl-dAC&pg=PA62&dq=%22located+on+row+n%2B1%22
http://omonitor.io/?q=coeficientesbinomiais+8
http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/v3n1/v3n1_art7.pdf
https://books.google.com.br/books?id=uZ53AtZl-dAC
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/9781439861615
https://pt.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bin%C3%B4mio_de_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A2mide_de_Pascal
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal&oldid=58364952
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt
https://foundation.wikimedia.org/wiki/Condi%C3%A7%C3%B5es_de_Uso