Combinação e Arranjo

Prévia do material em texto

1www.biologiatotal.com.br
COMBINAÇÃO E ARRANJO
COMBINAÇÕES 
Chamam-se combinações simples todos os subconjuntos de p elementos que podemos 
formar com 𝑛 elementos distintos, sendo 𝑝≤𝑛. As combinações são subconjuntos que 
se caracterizam pela natureza dos elementos, ou seja, a ordem não é importante.
A notação para o número de combinação simples de 𝑛 elementos tomados de 𝑝 a 𝑝 é: 
𝐶𝑛, 𝑝
Assim, para calcularmos o número de combinações, utilizamos a seguinte expressão:
Uma escola tem 9 professores de Matemática, e para um congresso precisa enviar 
4 deles para representar a escola. Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
Resolução:
Observe que neste caso não importa o ordem dos professores, pois invertendo a 
ordem dos professores não vai alterar o grupo. Os grupos irão se distinguir sempre 
que houver pelo menos uma pessoa diferente. Ou seja, neste caso interessa 
somente a natureza dos elementos. O total de professores é 9, então o número de 
elementos 𝑛 é 9, assim como queremos formar grupos de 4 professores o 𝑝 é 4. 
Aplicando na fórmula, temos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
2
Co
m
bi
na
çã
o 
e 
A
rr
an
jo
Simplificando a combinação, obtemos:
 grupos possíveis.
ARRANJOS
Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de 𝑝 elementos que 
podemos formar com 𝑛 elementos distintos, sendo 𝑝≤𝑛. Cada um desses agrupamentos 
se diferencia pela ordem ou natureza de seus elementos. A notação para o número de 
arranjos simples de 𝑛 elementos tomados 𝑝 a 𝑝 é: 𝐴𝑛, 𝑝
Assim, para calcularmos o número de arranjos, utilizamos a seguinte expressão:
a) Em um prova de atletismo 8 corredores disputam as 3 primeiras posições. De 
quantas maneiras possíveis o pódio pode ser formado?
Resolução:
Antes de aplicar a fórmula, vamos analisar as possibilidades para cada posição do 
pódio.
Para o 1º lugar, os 8 corredores estão disputando a posição. Para o 2º lugar 
teremos 7 corredores já que um deles terá chegado em primeiro, assim como para 
o 3º lugar terá restado 6 corredores porque os dois primeiros lugares já foram 
ocupados. Assim podemos dizer que:
 possibilidades
Note que tanto a ordem como a natureza é importante para a resolução.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
3www.biologiatotal.com.br
Co
m
bi
na
çã
o 
e 
A
rr
an
jo
Aplicando a fórmula, temos: 
Realizando a simplificação dos fatoriais:
possibilidades
b) Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras 
diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?
Resolução:
Observe que temos uma questão em que tanto a natureza quanto a ordem 
importam, pois temos mais lugares do que pessoas para sentar e em dois lugares 
as duas pessoas podem se alternar. Dessa forma, muda-se tanto a natureza quanto 
a ordem dos elementos. 
Sabendo disso, temos um arranjo, portanto aplicando na fórmula, em que 𝑛 
representa o número de lugares vagos e 𝑝 representa as pessoas que ocuparão os 
lugares, obtemos:
Fazendo a simplificação dos fatoriais:
 maneiras distintas.