AVALIAÇÃO CONTINUADA - SEMANA 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AVALIAÇÃO CONTINUADA - SEMANA 03 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
4) Demonstre que n2 + 1 ≥ 2n quando n é um número inteiro com 1 ≤ n ≤ 4. 
Resposta: A prova será dada por casos: 
(I) Quando n = 1, com 12 = 1, então 12 + 1 ≥ 21  2 ≥ 2; Sendo verdadeiro nesse caso. 
(II) Quando n = 2, com 22 = 4, então 22 + 1 ≥ 22  4 + 1 ≥ 4  5 ≥ 4; Sendo verdadeiro 
nesse caso. 
(III) Quando n = 3, 32 = 9, então 32 + 1 ≥ 23  9 + 1 ≥ 8  10 ≥ 8; Sendo verdadeiro 
nesse caso. 
(IV) Quando n = 4, 42 = 16, 42 + 1 ≥ 24  16 + 1 ≥ 16  17 ≥ 16; Sendo verdadeiro 
nesse caso. 
Ou seja podemos concluir que n2 + 1 ≥ 22, vale para todos os casos, provando ser 
verdade o teorema. 
 
5) Utilize a definição fornecida para provar que |n| ≥ 0 para todo número inteiro n. 
Resposta: Seja |n| ≥ 0, |n| = n, senão, sendo < 0, |n| = -n; 
Então se n for maior que zero, como por exemplo n = 10, ficaria: 
|10| = 10; ou ainda se n = -10, |-10| = -(-10) = 10; 
Ou seja, o módulo de um número inteiro positivo é ele mesmo, e o módulo de um 
inteiro negativo será seu simétrico (positivo). 
 
6) Demonstre que |n + 2| ≥ 2 para todo número natural n. Em seguida, responda: o 
teorema continuaria válido se o tivéssemos enunciado para todo n inteiro? Justifique. 
Resposta: Primeiro para os provar os naturais; 
Se n = 0, |0+2| ≥ 2  2 ≥ 2 ou ainda, se n = 2, |2+2| ≥ 2  4 ≥ 2. 
Sendo verdade para os naturais, agora irei para os inteiros; 
Se n = -1, |-1+2| ≥ 2  -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3  3 ≥ 2 
 
Ou seja no dois casos o teorema é válido tanto para os naturais quanto para os inteiros, 
pois todo módulo de um inteiro mesmo ele sendo negativo, seu resultado será positivo. 
 
8) Utilizando Prova por Casos, demonstre que se a, b, c são números reais, então min(a, 
min(b, c)) = min(min(a, b), c), onde min(x, y) = { x, se x ≤ y; y, caso contrário. Para 
todo x, y ∈ R. 
Resposta: Usando prova por casos teremos: 
(I) min(a, min(b, c)) = a; 
A será o mínimo quando for menor ou igual aos outros elementos. a ≤ min (b, c) 
A será menor ou igual ao mínimo, se a for menor ou igual a ambos os termos da 
expressão. a ≤ b e a ≤ c. 
O mínimo de a e b, e o mínimo de a e c tem que ser igual a a tal que: 
Min(a, b) = a e min(a, c) = a. 
Provando então que nesse caso min(a, min(b, c)) = min(min(a, b), c). 
(II) min(a, min(b, c)) = b; 
B será o mínimo se b for menor ou igual ao mínimo dos outros elementos. b ≤ a, b ≤ 
min(b, c). 
B será menor ou igual ao mínimo se b for menor ou igual a b ou c. b ≤ b, b ≤ c. 
O mínimo de a e b tem que ser igual a b, com b ≤ a. min(a, b) = b. 
O mínimo de b e c tem que ser igual a b, com b < c. min(min(a, b), c) = min(b, c) = b. 
Provando então que nesse caso min(a min(b, c)) = min( min(a, b),c). 
(III) min(a, min(b, c)) = c 
C é o mínimo se c for menor ou igual aos outros elementos. c ≤ a, c ≤ min(b, c). 
C é menor igual ao mínimo se ele for menor igual aos outros termos da expressão. c ≤ b, 
c ≤ c. 
Desde que c ≤ a e c ≤ b, c também será menor ou igual que o mínimo de a e b. c ≤ 
min(a, b). 
O mínimo de a e b e c tem que ser igual a c. min(min(a, b), c) = c. 
Provando também que nesse caso o min(a, min(b, c)) = min(min(a, b), c). 
Portanto desde que min(a, min(b, c)) = min(min(a, b), c) todos os três casos serão 
possíveis e com isso o teorema se prova como verdadeiro.