PRODUTO_AtividadeModelagemMatemática

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ATIVIDADES DE 
MODELAGEM MATEMÁTICA 
PARA O ENSINO DE 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
Lopes, Aldo Peres Campos e.
LopAtividades de modelagem matemática para o ensino de equações
diferenciais ordinárias. [manuscrito] / Aldo Peres Campos e Lopes. - 2020.
Lop67 f.: il.: color., gráf., tab..
LopOrientador: Prof. Dr. Frederico da Silva Reis.
LopProdução Científica (Mestrado Profissional). Universidade Federal de
Ouro Preto. Departamento de Educação Matemática. Programa de Pós-
Graduação em Educação Matemática.
LopÁrea de Concentração: Educação Matemática.
Lop1. Matemática. 2. Ensino superior. 3. Equações diferenciais. I. Reis,
Frederico da Silva. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título.
Bibliotecário(a) Responsável: Celina Brasil Luiz - CRB6-1589
SISBIN - SISTEMA DE BIBLIOTECAS E INFORMAÇÃO
L864a
CDU 510:378
 
 
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Aldo Peres Campos e Lopes 
Frederico da Silva Reis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades de 
Modelagem Matemática 
para o ensino de 
Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto | 2020
 
 
 
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© 2018 
Universidade Federal de Ouro Preto 
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática 
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática 
 
Reitora da UFOP | Profa. Dra. Cláudia Aparecida Marliére de Lima 
Vice-Reitor | Prof. Hermínio Arias Nalini Júnior 
 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS 
Drietor | Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva 
Vice-Drietor | Prof. Dr. Rodrigo Fernando Bianchi 
 
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 
Pró-Reitor | Prof. Dr. Sérgio Francisco de Aquino 
Drietora-Adjunto | Profa. Dra. Vanessa Carla Furtado Mosqueira 
 
 
 
 
Coordenação | Prof. Dr. Douglas da Silva Tinti 
 
MEMBROS 
 
Profa. Dra. Ana Cristina Ferreira 
Prof. Dr. André Augusto Deodato 
Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes 
Prof. Dr. Daniel Clark Orey 
Prof. Dr. Douglas da Silva Tinti 
Prof. Dr. Edmilson Minoru Torisu 
Prof. Dr. Frederico da Silva Reis 
Profa. Dra. Marli Regina dos Santos 
Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura Viana 
Prof. Dr. Milton Rosa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998. 
Todos os direitos reservados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Expediente Técnico 
________________________ 
 
 
 
Organização | Aldo Peres Campos e Lopes | Frederico da Silva Reis 
 
Pesquisa e Redação | Aldo Peres Campos e Lopes 
 
Revisão | Aldo Peres Campos e Lopes | Frederico da Silva Reis 
 
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP 
 
Ilustração | Aldo Peres Campos e Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ao Professor de Equações Diferenciais Ordinárias 
_______________________________________ 
 
 
Caro(a) colega Professor(a) de EDO, 
 
 Este produto educacional tem como objetivo auxiliar o professor em aplicações 
práticas de Modelagem. Para as etapas de Modelagem, seguimos os passos práticos com 
base no livro de Laudares et al. (2017). Acrescentamos 2 passos aos 8 estabelecidos no livro. 
Esses passos adicionais têm como objetivo auxiliar em uma discussão crítica. Caberá ao 
professor guiar os alunos para uma discussão significativa, não somente ao modelo 
construído, mas também às implicações das escolhas feitas, fazendo conexões com a 
realidade. Por isso, dedicamos uma seção para explicar um pouco sobre Modelagem e do 
que seria essa “criticidade”. 
 Os modelos aqui sugeridos foram retirados, em sua maioria, do livro de Burghes e 
Borrie (1981). Apesar de ser um livro que possa ser considerado “antigo” para se conectar 
com a realidade que nos cerca, os temas são atuais e relevantes. O linguajar é bem acessível 
a um aluno iniciante na disciplina de Equações Diferenciais. Os temas das atividades de 
Modelagem Matemática são: 
 
1º bloco: 1 A) Absorção de álcool no organismo e risco de acidentes 
 1B) Modelando a adequação de uma dieta 
 
2º bloco: 2 A) Comportamento de compra do consumidor 
 2B) Modelando a propagação de uma epidemia 
 
 
 
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 Neste produto apresentamos, uma sugestão de 4 atividades de Modelagem. As duas 
primeiras (Modelagens 1A e 1B) envolvem Equações Diferenciais de 1ª ordem e as outras 
duas (Modelagens 2A e 2B) envolvem Equações Diferenciais de ordem superior. Todas são 
factíveis em uma disciplina de um semestre de EDO (Equações Diferenciais Ordinárias). Os 
resultados normalmente são muito bons, a despeito das dificuldades encontradas. Os 
alunos, principalmente de cursos como Engenharias, anseiam por aplicações da teoria que 
aprendem. 
 Apesar de não ser o foco aqui, recomendamos, na medida do possível, o uso de 
recursos tecnológicos com os alunos para a construção de gráficos, fazer simulações etc. 
 Como não existe um caminho único para uma atividade de Modelagem, sugerimos 
que alunos (e professores) testem hipóteses, mudem variáveis etc. Isso pode sem um bom 
exercício de criatividade e criticidade com os alunos. Na introdução de cada atividade, há 
algumas recomendações sugeridas para um bom prosseguimento e ajudar os alunos a 
iniciar uma reflexão crítica. Naturalmente, tais sugestões podem ser ajustadas de acordo 
com cada circunstância envolvida – dos alunos, dos professores, dentre outros. 
 Por fim, deixamos uma sugestão de respostas. Não queremos, com isso, dizer que há 
apenas um caminho para se desenvolver a Modelagem, mas auxiliar em possíveis 
dificuldades técnicas que porventura possam surgir. 
 
Prof. Dr. Aldo Peres Campos e Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
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Índice 
________________________ 
 
1. Um pouco de modelagem e criticidade ................................................................... 11 
2. Atividade de modelagem 1A — absorção de álcool no organismo e risco de 
acidentes.........................................................................................................................14 
3. Atividade de modelagem 1B — modelando a adequação de uma dieta ................ 18 
4. Atividade de modelagem 2 A — modelando o comportamento de compra de um 
consumidor 24 
5. Atividade de modelagem 2B — propagação de uma epidemia .............................. 29 
6. Sugestões de resposta ................................................................................................ 42 
6.1 Sugestão para a modelagem 1 A ................................................................ ..42 
6.2 Sugestão para a modelagem 1B ................................................................... 44 
6.3 Sugestão para a modelagem 2 A .................................................................. 51 
6.4 Sugestão para a modelagem 2B ................................................................... 56 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. .6411 | P á g i n a 
 
 
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1. Um pouco de modelagem e criticidade 
 
 Um dos pontos de partida para entender a modelagem é entender a palavra 
modelo. A palavra modelo possui diferentes significados. Em uma investigação 
inicial, descobrimos que o modelo pode ser desenvolvido de diferentes maneiras e 
modos, podendo abranger uma variedade de linguagens matemáticas. Também 
existem preocupações sobre o uso de símbolos matemáticos ou a aplicação de 
conceitos matemáticos. 
 No entendimento de Biembengut e Hein (2007, p. 12), o modelo é entendido 
como “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que busca traduzir, de uma 
forma ou de outra, um fenômeno em questão ou um problema de situação real”. 
Ressaltam que o modelo pode caracterizar a realidade do cenário estudado, mesmo 
de forma simplificada, pelas estimativas realizadas. A produção de um modelo é 
geralmente realizada em grupos e, desde o início, contém uma discussão crítica do 
modelo a ser feito. Essa discussão pode ser direcionada, por exemplo, aos 
preconceitos da educação matemática crítica. 
 No que diz respeito à afinidade e possíveis ligações entre a modelagem 
matemática e a educação matemática crítica, Araújo (2009, p. 55) enfatiza que a 
matemática é uma ferramenta de auxílio à modelagem, produzida de forma a 
“promover participação crítica dos alunos / cidadãos na sociedade, discutindo 
questões políticas, econômicas e ambientais ”. 
 Inspirado em Skovsmose (1990), Barbosa (2006) recomenda que a 
Modelagem pode ser composta por três tipos de discussões: 
- Discussões matemáticas: concernem-se, basicamente, aos conceitos e 
algoritmos matemáticos; 
- Discussões técnicas: concernem-se às maneiras de adequação da situação-
problema; 
- Discussões reflexivas: concernem-se à natureza do modelo, aos critérios 
utilizados na construção do modelo matemático e seu papel na sociedade. 
Cada uma dessas discussões levará a caminhos, ou, segundo o autor, a “rotas” 
diferentes. As discussões reflexivas podem levar a reflexões críticas em diferentes 
perspectivas. A perspectiva sócio-crítica, como apontada por Barbosa (2006), debate 
 
 
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as práticas de Modelagem Matemática em sala de aula. Ele sugere que as atividades 
de Modelagem possam levar os alunos a situações em que os modelos produzidos 
não são neutros, ajudando-os a ver que são uma consequência de onde são 
produzidos e como são utilizados. Dessa forma percebem que a matemática não é 
uma descrição 100% correta e neutra da realidade. Ou seja, os modelos são uma 
representação da realidade e não a própria realidade. 
 A posição crítica da Modelagem Matemática auxilia os estudantes a terem 
habilidades de criticarem a produção e adaptação dos modelos que buscam 
soluções para uma situação problema (BARBOSA, 2006). Dessa forma, tem-se como 
objetivo desenvolver nos estudantes a criticidade, proporcionando debates 
referentes a política, economia e meio-ambiente (SKOVSMOSE, 2001). Dessa forma a 
crítica está na “própria Matemática assim como o seu uso na sociedade, e não apenas 
se preocuparia com o desenvolvimento de habilidades em cálculos matemáticos” 
(ARAÚJO, 2009, p. 55-56). 
 O emprego do olhar crítico para a Modelagem Matemática nas salas de aula 
propicia a análise dos modos em que os estudantes desenvolvem e usam a 
Matemática para apresentar soluções de problemas cotidianos (SKOVSMOSE 2003). 
Desse modo, desenvolvem-se cidadãos dinâmicos e críticos numa sociedade 
regulada matematicamente. 
 A Modelagem Matemática propicia um poder, decorrendo do estudo crítico 
dos empregos de conceitos matemáticos e aplicações ao longo do processo de 
criação dos modelos (BARBOSA, 2003). Tal estudo viabiliza o desenrolar do 
posicionamento social, com um suporte matemático, na tentativa de encontrar 
soluções que se manifestem em nosso cotidiano. 
 Por conseguinte, a construção de modelos matemáticos não é uma atividade 
neutra, visto que modelar abrange compreender como são expressos o 
entendimento matemático desde o processo de elaboração até a resolução desses 
modelos (BARBOSA, 2006). 
 Assim sendo, durante o processo de elaboração de um modelo, descrevemos, 
analisamos e interpretamos os acontecimentos com intuito de proporcionar 
discussões críticas e ponderações que vão além dos modos de resolução do modelo 
elaborado pelos alunos (BARBOSA, 2008). 
 
 
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 Depois dessa breve introdução à criticidade e à modelagem, passamos a 
seguir às atividades de modelagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Atividade de modelagem 1 A — absorção de álcool no 
organismo e risco de acidentes 
 
Sugestões 
Essa atividade de Modelagem é para ser feita em grupo, conforme já orientado. 
Lembre-se que o objetivo não é verificar uma correta solução matemática e técnicas 
de resolução de equações diferenciais. O objetivo é averiguar como se dá a linha de 
raciocínio de cada grupo ao resolver o problema em questão. Dessa forma é natural, 
além de esperado, que as respostas de cada grupo sejam diferentes (podem ser até 
mesmo bem diferentes!). Espero que vocês fiquem atentos a não cometerem plágios 
e/ou fazerem cópias de trabalhos de colegas e/ou da internet – lembrem-se que eu 
verificarei cada trabalho e levarei isso em conta na pontuação final (além de seguir 
as diretrizes das Normas de Graduação e da Norma Disciplinar). Mesmo mudanças 
sutis, como a troca de variáveis e/ou palavras ainda podem ser considerada plágio 
(no caso, seria plagio conceitual). 
Por outro lado, com a devida cautela, fiquem à vontade para usar meios disponíveis, 
sejam físicos (como livros) ou eletrônicos (como sites recomendados no início do 
curso ou ferramentas gráficas), para consultarem ao realizar a atividade. Mantenham 
uma boa comunicação com cada um do grupo! As respostas serão melhores quanto 
mais claras e objetivas e singulares (próprias do grupo, sem cópias). Assim, não se 
limitem a poucas palavras, mas procurem se expressar bem (de forma clara, 
completa). 
 
Absorção de álcool no organismo e o risco de acidentes 
Problema: Qual é o risco de uma pessoa se envolver 
em um acidente de carro, por dirigir após beber? 
 
 
 
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Interpretação do Enunciado 
Passo 1: Matematização da Lei Física 
1A) Identifique as variáveis envolvidas no problema. 
1B) Qual a taxa de variação a ser analisada? 
1C) Quais as relações entre as variáveis? 
1D) Um modelo matemático pode ser formulado para relacionar o risco de ter um 
acidente de carro, R, e o nível de álcool no sangue, b. O modelo é o seguinte: 
!"
!# = %" 
Na equação diferencial de primeira ordem acima, tem-se uma constante positiva k. 
Você acha que esse modelo é razoável para descrever o fenômeno em questão (risco 
de acidente x ingestão de álcool)? 
 
Passo 2: Resolução da Equação Diferencial do modelo 
2A) Considerando a equação dada em 1D: 
!"
!# = %". 
Qual é a solução dessa equação? (Resolva explicitamente essa equação, indicando 
o método usado). 
 
Passo 3: Condições iniciais ou de contorno 
Estabeleça as condições iniciais ou de contorno. 
 
 
 
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Passo 4: Substituição das constantes dadas 
Tendo em vista a solução obtida no passo 2, determine a constante k supondo que 
temos R = 20% em b = 0,14%. 
Passo 5: Cálculos solicitados no problema: explicite o que se pede 
5A) Se em b = 0 (nenhum consumo de álcool), o risco de um acidente é de 1%, ou 
seja, R0 = 1, então a solução da Equação Diferencial acima é dada por: 
!(#) = &!" . 
5B) De acordo com5A, o modelo prevê um aumento exponencial do risco de 
acidente com o aumento do nível de álcool no sangue? 
5C) O que ocorre em R=100? O que significam esses valores? 
 
Passo 6: Modelo Matemático do fenômeno (equação encontrada) 
Explicite a equação obtida que descreve o fenômeno estudado (tendo em vista o 
valor de k anteriormente obtido, no passo 4). 
 
Passo 7: Gráfico do modelo 
7A) Esboce o gráfico da função solução obtida do fenômeno e analise o gráfico 
quanto a variação de valores. 
7B) Esboce o gráfico da função do modelo(taxa de risco de acidente x risco). 
7C) Qual mudança haveria nos gráficos com a variação da constante k? (Faça esboços 
e analise as diferenças; depois as descreva aqui). 
 
 
 
 
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Passo 8: Descrição sintética do fenômeno 
A partir de seu entendimento do comportamento do fenômeno, escreva um breve 
texto (entre 2 e 3 parágrafos) comparando os gráficos e equações. 
 
Passo 9: Análise da adequação do modelo 
O que achou do modelo obtido: se adequa com a realidade? Quais pontos acha 
positivos e quais acha negativos nesse modelo? O que poderia ser aprimorado? Qual 
é a interferência do tipo de bebida nos gráficos e no modelo? 
 
Passo 10: Análise crítica do modelo 
Qual é o risco de uma pessoa se envolver em um acidente de carro, por dirigir após 
beber? (tente responder criticamente a partir do trabalho de modelagem realizado!) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Atividade de modelagem 1B — modelando a adequação 
de uma dieta 
 
Sugestões 
Essa atividade de Modelagem é para ser feita em grupo, conforme já orientado. 
Lembre-se que o objetivo não é verificar uma correta solução matemática e técnicas 
de resolução de equações diferenciais. O objetivo é averiguar como se dá a linha de 
raciocínio de cada grupo ao resolver o problema em questão. Dessa forma é natural, 
além de esperado, que as respostas de cada grupo sejam diferentes (podem ser até 
mesmo bem diferentes!). Espero que vocês fiquem atentos a normas contra plágios 
e cópias de trabalhos de colegas e/ou da internet – lembrem-se que eu verificarei 
cada trabalho e levarei isso em conta na pontuação final (além de seguir as diretrizes 
das Normas de Graduação e da Norma Disciplinar). 
Por outro lado, com a devida cautela, fiquem à vontade para usar meios disponíveis, 
sejam físicos ou eletrônicos, para consultarem ao realizar a atividade. Mantenham 
uma boa comunicação com cada um do grupo! As respostas serão melhores quanto 
mais claras e objetivas. Assim, não se limitem a poucas palavras, mas procurem se 
expressar bem (de forma clara, completa). 
 
Modelando a adequação de uma dieta 
 
A obesidade depende principalmente de dois fatores: ingestão e gasto de 
energia; e o que controla o peso corporal é o equilíbrio entre esses dois fatores. 
Quando o balanço é positivo o corpo terá excesso de energia que será armazenada 
como gordura, enquanto quando esse saldo é negativo, a gordura armazenada é 
usada para fornecer ao corpo a energia necessária. 
 A restrição de energia é o mais eficiente e tradicional tratamento para 
obesidade. No entanto, dietas de baixa e muito baixa energia, que levam a uma 
 
 
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grande redução de energia, pode não ser a melhor maneira para perda de peso, 
porque eles levarão a muitos outros problemas relacionados ao consumo reduzido 
de energia. Um desses problemas é a redução da taxa metabólica basal (TMB) em 
30%, o que pode levar à alteração do balanço energético do corpo de volta na 
direção do armazenamento de energia e, como resultado, a pessoa ganhará peso em 
vez de perdê-lo. 
Há muito tempo, o problema da obesidade tem sido considerado como 
resultado de hábitos alimentares desordenados. O consumo de energia é o fator que 
desempenha o papel principal de armazenar gordura no corpo. No entanto, um 
estudo recente realizado com 107 homens e 109 mulheres, com idades entre 12 e 71 
anos, mostrou que as quantidades de ingestão diária de energia medida em 
quilojoules por quilograma para as pessoas com pesos saudáveis e obesas, foram 
idênticas. As pessoas com peso normal foram capazes de manter seus pesos na faixa 
saudável, apesar de consumirem mais energia que as pessoas obesas, porque elas se 
exercitavam (CHIN et al., 1992). Isso enfatiza a importância da atividade física como 
um meio eficaz fator para manter o peso saudável. 
 
Problema: Como criar um modelo matemático que envolva 
o gasto energético diário e a ingestão diária de energia (comida) 
para prever a melhor adequação de uma dieta a uma pessoa? 
 
Interpretação do Enunciado 
 
Passo 1: Matematização da Lei Física 
1A) Identifique as variáveis envolvidas no problema. 
1B) Qual a taxa de variação a ser analisada? 
 
 
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1C) Quais as relações entre as variáveis? 
1D) Tome como ponto de partida o seguinte modelo: 
()
(*
= +(, − .)), 
em que: 
• B é o peso corporal em Kg 
• A é o fator de conversão dietética que é igual a #$
%&&#'(
	12/14 (ou 
#
))$$
	12/,.5)1 
• C é a taxa diária de ingestão de energia, medida em KJ/dia 
• a = 167,36 (KJ/Kg) /dia (ou 40 (Cal/Kg) /dia)2 é o valor médio do gasto 
energético 
• t é o tempo, medido em dias 
 
Como seria essa equação se acrescentássemos o fator exercício? 
 
1E) Melhorando o modelo – adicionando o componente exercício 
Para construir o modelo de dieta e exercício, primeiro considere os fatores que 
desempenham um papel na determinação do peso corporal. Fatores importantes 
são a taxa diária de ingestão de energia, dada por C, e a taxa diária de gasto de 
energia a que varia de 146,44 a 188,28 (KJ/kg) /dia (35 a 45 (Cal/kg) /dia)3. Portanto, 
a taxa de alteração no peso corporal *+
*,
 seria proporcional a C-(40+d)B, em que d é 
obtido do exercício. Dessa forma, devemos ter a seguinte equação diferencial de 
primeira ordem: 
 
1 (CHARALAMPOS, 2004). 
2 Ibidem. 
3 Ibidem. 
 
 
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()
(*
= +(, − #)), 
em que b=40+d deve ser determinado, e o fator de conversão dietético + =
	
#$
%&&#'(
12/14 (MACKARNESS, 1988). 
Um experimento com 20 voluntários de peso médio 65Kg gastou uma 
energia média de 512,3308 KJ na esteira em 3,2Km/h. Isso resultou na seguinte razão 
entre energia gasta e o peso corporal: 7,876 Kg/Kg. Assim, na equação anterior 
temos: 
b = a+7,876. 
Acha que essa nova equação com o componente exercício é razoável? 
 
Passo 2: Resolução da equação diferencial do modelo 
2A) Considerando a equação dada em 1E: 
()
(*
= +(, − #)), 
 
Qual é a solução dessa equação? (Resolva explicitamente essa equação, indicando o 
método usado). Lembre-se que B varia no tempo e as demais letras são constantes. 
 
Passo 3: Condições iniciais ou de contorno 
Estabeleça as condições iniciais ou de contorno. 
 
Passo 4: Substituição das constantes dadas 
No instante inicial t = 0, temos B(0) =? 
 
 
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Passo 5: Cálculos solicitados no problema: explicite o que se pede 
5A) A solução de equilíbrio depende da ingestão de energia e do termo b. Qual é a 
solução de equilíbrio, isto é, quando *+
*,
= 0? 
 
Passo 6: Modelo Matemático do fenômeno (equação encontrada) 
Explicite a equação obtida que descreve o fenômeno estudado tendo em vista o 
exemplo a seguir. 
Um exemplo de foi considerada uma pessoa com 1,70 m de altura e 90 kg de peso. 
A ingestão diária de energia escolhida foi de 10460 KJ/dia (ou 2500 calorias / dia), o 
que é normal para um homem que trabalha. O peso ideal para essa pessoa é de cerca 
de 68 kg, de acordo com o IMC.Passo 7: Gráfico do modelo 
7A) Esboce o gráfico da função solução obtida do fenômeno e analise o gráfico 
quanto a variação de valores. 
7B) A fim de avaliar a efetividade e os importância do componente do exercício, 
esboce o gráfico dos dois modelos. Lembre-se que o segundo modelo com o 
componente exercícios é: 
()
(*
= +(, − #)), 
Já o primeiro modelo, sem o componente exercício é (como apresentado em 1D): 
()
(*
= +(, − .)), 
Faça um esboço dos dois modelos num mesmo gráfico. 
 
 
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7C) Se o valor de b for aumentado o que ocorre com o gráfico (no modelo com 
exercício)? O que significa isso na prática, no mundo real? 
7D) Analisando os dois gráficos, o que poderia concluir a respeito de se fazer 
exercícios para a perda de peso corporal? 
 
Passo 8: Descrição sintética do fenômeno 
A partir de seu entendimento do comportamento do fenômeno, escreva um breve 
texto (entre 2 e 3 parágrafos) comparando os gráficos e equações. 
 
Passo 9: Análise da adequação do modelo 
O que achou do modelo obtido: se adequa com a realidade? Quais pontos observa 
serem positivos e quais os negativos nesse modelo? O que poderia ser aprimorado? 
Qual a interferência da frequência e o tipo de exercício no modelo? 
 
Passo 10: Análise crítica do modelo 
Como criar um modelo matemático que envolva o gasto energético diário e a 
ingestão diária de energia (comida) para prever a melhor adequação de uma dieta a 
uma pessoa? (tente responder criticamente a partir do trabalho de modelagem 
realizado!) 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Atividade de modelagem 2 A — modelando o 
comportamento de compra de um consumidor 
 
Sugestões 
Essa atividade de Modelagem é para ser feita em grupo, conforme já orientado. 
Lembre-se que o objetivo não é verificar uma correta solução matemática e técnicas 
de resolução de equações diferenciais. O objetivo é averiguar como se dá a linha de 
raciocínio de cada grupo ao resolver o problema em questão. Dessa forma é natural, 
além de esperado, que as respostas de cada grupo sejam diferentes (podem ser até 
mesmo bem diferentes!). Espero que vocês fiquem atentos a normas contra plágios 
e cópias de trabalhos de colegas e/ou da internet – lembrem-se que eu verificarei 
cada trabalho e levarei isso em conta na pontuação final (além de seguir as diretrizes 
das Normas de Graduação e da Norma Disciplinar). 
Por outro lado, com a devida cautela, fiquem à vontade para usar meios disponíveis, 
sejam físicos ou eletrônicos, para consultarem ao realizar a atividade. Mantenham 
uma boa comunicação com cada um do grupo! As respostas serão melhores quanto 
mais claras e objetivas. Assim, não se limitem a poucas palavras, mas procurem se 
expressar bem (de forma clara, completa). 
 
Comportamento de compra do consumidor 
 
Problema: Como criar um modelo matemático que equacione 
a motivação e o nível de compra de uma determinada marca 
e como isso evolui com o tempo? 
 
 
 
 
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Interpretação do Enunciado 
Passo 1: Matematização da Lei Física 
Consideraremos o processo de decisão de um consumidor individual e, daí, 
formularemos um modelo para prever o comportamento do consumidor em relação 
a um determinado produto, digamos a marca X. 
1A) Identifique as variáveis envolvidas no problema. 
1B) Qual a taxa de variação a ser analisada? 
1C) Quais as relações entre as variáveis? 
1D) Um modelo matemático pode ser formulado. As variáveis básicas, com o tempo 
t, são: 
• B(t): nível de compra da marca X. 
• M(t): motivação (e atitude) em relação à marca X. 
• C(t): nível de comunicação (por exemplo, publicidade) da marca X. 
 
Essas variáveis são assumidas como relacionadas por 
()
(*
= #(9 − :)) 
 
(9
(*
= .() − ;9) + =,, 
 
em que ;, :, =, .	&	# são constantes que para a maioria dos artigos são positivas. 
Você acha que esse modelo é razoável para descrever o fenômeno em questão? 
 
 
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1E) Tendo em vista o modelo obtido no item anterior, chegamos a um sistema de 
equações diferenciais. Você acha que esse sistema poderia ser simplificado para uma 
única equação? Como? 
 
Passo 2 - Resolução da Equação Diferencial do modelo 
2A) Considerando o sistema de equações dado em 1D, resolva o sistema de 
equações (sistema 2x2) da forma tradicional de resolução de um sistema de 
Equações Diferenciais de 1ª ordem. 
2B) Embora tenhamos um sistema de duas Equações Diferenciais acopladas de 1ª 
ordem, podemos substituir M da segunda equação na primeira equação. Para isso, 
derivamos mais uma vez a primeira equação e obtemos: 
(
(*
	>
1
#
()
(*
+ :)@ = . >) −
;
#
()
(*
− ;:)@ + =, 
Ou seja, 
(&)
(*&
+ (#: + .;)
()
(*
+ .#(;: − 1)) = #=, 
 
Encontre a solução da parte homogênea desta equação. 
2C) Encontre uma solução particular da EDO do item anterior. 
 
Passo 3: Condições iniciais ou de contorno 
Estabeleça as condições iniciais ou de contorno. 
 
Passo 4: Substituição das constantes dadas 
 
 
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Analise os casos (veja o que ocorre com a função e o comportamento no infinito). 
 
1. Caso ;: > 1. 
 
2. Caso ;: < 1. 
 
Passo 5: Cálculos solicitados no problema: explicite o que se pede 
Escolha uma determinada marca e encontre os valores (de forma razoável, 
aproximada) das constantes estabelecidas. Como se chegou a esses valores? Quais 
foram as pesquisas feitas? Onde foram coletados os dados? 
 
Passo 6: Modelo Matemático do fenômeno (equação encontrada) 
Qual foi a solução encontrada? 
 
Passo 7: Gráfico do modelo 
7A) Esboce o gráfico da função solução (tendo em vista cada caso mencionado no 
Passo 5) obtida do fenômeno e analise o gráfico quanto a variação de valores. 
7B) Qual o comportamento das soluções da parte homogênea e a solução particular 
quando o tempo tende a infinito? 
 
Passo 8: Descrição sintética do fenômeno 
A partir de seu entendimento do comportamento do fenômeno, escreva um breve 
texto (entre 2 e 3 parágrafos) comparando os gráficos e equações. 
 
 
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Passo 9: Análise da adequação do modelo 
O que achou do modelo obtido: se adequa com a realidade? Qual dos dois casos 
analisados parece ser mais provável de ocorrer e por quê? Quais pontos acha 
positivos e quais acha negativos nesse modelo? O que poderia ser aprimorado? Qual 
é a interferência do tipo de marca nos gráficos e no modelo? 
 
Passo 10: Análise crítica do modelo 
Como criar um modelo matemático que equacione a motivação e o nível de compra 
de uma determinada marca e como isso evolui com o tempo? (tente responder 
criticamente a partir do trabalho de modelagem realizado!) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Atividade de modelagem 2B — propagação de uma 
epidemia 
 
Sugestões 
Essa atividade de Modelagem é para ser feita em grupo, conforme já orientado. 
Entretanto, apenas uma pessoa do grupo deverá fornecer a resposta (os dados dos 
demais componentes do grupo serão inseridos no início, conforme Sugestões da 
plataforma). 
Lembre-se que o objetivo não é verificar uma correta solução matemática e técnicas 
de resolução de equações diferenciais. O objetivo é averiguar como se dá a linha de 
raciocínio de cada grupo ao resolver o problema em questão. Dessa forma é natural, 
além de esperado, que as respostas de cada grupo sejam diferentes (podem ser até 
mesmo bem diferentes!). Espero que vocês fiquem atentos a normas contra plágios 
e cópias de trabalhos de colegas e/ou da internet – lembrem-seque eu verificarei 
cada trabalho e levarei isso em conta na pontuação final (além de seguir as diretrizes 
das Normas de Graduação e da Norma Disciplinar). 
Por outro lado, com a devida cautela, fiquem à vontade para usar meios disponíveis, 
sejam físicos ou eletrônicos, para consultarem ao realizar a atividade. Mantenham 
uma boa comunicação com cada um do grupo! As respostas serão melhores quanto 
mais claras e objetivas. Assim, não se limitem a poucas palavras, mas procurem se 
expressar bem (de forma clara, completa). 
 
Epidemias 
 
Uma aplicação clássica de Equações Diferenciais é modelar a propagação de 
epidemias entre populações, geralmente com o modelo SIR tradicional. Esse modelo 
básico pode ser aumentado para dar conta de outros fatores do mundo real na 
propagação da doença, como imunidades, taxas de contato e vacinas. Ao analisar os 
 
 
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modelos mais complexos, podemos obter informações úteis sobre patógenos 
comuns, como a eficácia das vacinas na erradicação de uma doença infecciosa. 
 
Problema: Como formular um modelo que mostre a propagação de uma epidemia 
e qual é a importância de tais modelos atualmente? 
 
Interpretação do Enunciado 
Passo 1: Matematização da Lei Física 
1A) Identifique as variáveis envolvidas no problema. 
1B) Qual a taxa de variação a ser analisada? 
1C) Quais as relações entre as variáveis? 
1D) Um dos modelos epidêmicos mais básicos foi criado por W. O. Kermack e A. G. 
McKendrick em 1927, conhecido como modelo SIR. O modelo lida exclusivamente 
com uma população fixa, negligenciando o efeito de nascimentos e imigração no 
tamanho geral da população. 
 
A população é dividida em três grupos distintos dos quais o modelo deriva 
seu nome.	C(*) é a porção não infectada da população que ainda é suscetível à 
doença, no momento t. Da mesma forma, D(*) é o número de pessoas que foram 
infectadas com a doença no momento t e são capazes de espalhá-la para aquelas do 
grupo C(*). 
Finalmente, !(*) representa a parte "removida" da população: aqueles que 
não são mais capazes de infectar ou espalhar a infecção devido à recuperação e 
subsequente imunidade, quarentena ou morte. O "fluxo" geral do modelo prevê que 
membros da população C(*) façam a transição para o grupo D(*) e terminem, 
finalmente, no grupo !(*). 
 
 
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A população total é representada por E, de modo que E = C(*) + D(*) +
!(*). Usando : como a taxa de infecção da doença e 1/= como o período médio de 
infecção, Kermack e McKendrick derivaram três equações diferenciais: 
(C
(*
= −
:CD
E
 
									
(D
(*
=
:CD
E
− =D 
(!
(*
= =D 
Dois conceitos importantes se tornam evidentes apenas examinando o 
modelo SIR básico. 
Inicialmente, você pode notar que a soma das três equações diferenciais é 0: 
(C
(*
+
(D
(*
+
(!
(*
= 0. 
Lembre-se de que a soma de C(*), D(*) e !(*) representa a população total 
E: 
E = C(*) + 	D(*) + 	!(*) 
A diferenciação de ambos os lados das equações gera uma nova equação: 
(E
(*
= 	
(C
(*
+
(D
(*
+
(!
(*
= 0. 
Como *-
*,
= 0, pode-se inferir que nossa população total E está fixa e não é 
uma função do tempo. Mais importante, isso significa que nenhum membro da 
população pode finalmente entrar ou sair do sistema, apenas passar do grupo 
suscetível para o grupo infectado e, finalmente, para o grupo removido. Por isso, 
nosso segundo conceito é mais óbvio. Se expressarmos E como E = 1, todos os 
valores numéricos de C(*), D(*) e !(*) serão expressos como uma fração ou 
porcentagem da população total E. Isso tornará nossas simulações mais 
 
 
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relacionáveis, além de simplificar nosso modelo. O modelo SIR usado daqui em 
diante assume E = 1 e pode ser reescrito da seguinte forma: 
(C
(*
= −:CD 
									
(D
(*
= :CD − =D 
(!
(*
= =D 
Finalmente, pode-se notar que cada equação é diretamente proporcional ao 
tamanho do grupo infectado, D(*). Imitando o comportamento de um patógeno da 
vida real, se não houver indivíduos infectados na população (D(*) = 0), a doença não 
poderá se espalhar. 
 
Esse sistema de equações foi construído para formular a propagação de uma 
epidemia. O que você pode dizer desse modelo? Você acha razoável? (Justifique). 
 
Passo 2: Resolução da Equação Diferencial do modelo 
2A) Considerando o sistema de equações dado em 1D, resolva o sistema de 
equações (sistema 2x2) da forma tradicional de resolução de um sistema de 
Equações Diferenciais de 1ª ordem. 
 
Passo 3: Condições iniciais ou de contorno 
3A) G e H: Existem mais duas variáveis constantes no nosso sistema. O primeiro é :, 
a taxa de infecção da doença. No modelo SIR, todos os membros do grupo suscetível 
têm a mesma probabilidade de contrair a doença; portanto, : é apenas uma 
constante que expressa a probabilidade de um indivíduo saudável no grupo 
suscetível de encontrar e ser infectado por um indivíduo infectado. grupo. Como 
 
 
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alternativa, : pode ser expresso como o número de contatos por unidade de tempo. 
Isso é um pouco mais óbvio se expressarmos o inverso de : como I. = :/#, se I. 
for o tempo típico entre os contatos. 
A outra constante é =, a taxa média que os indivíduos movem do grupo 
infectado para o grupo removido. No mundo real, essa é a taxa média de 
morte/recuperação. O inverso de = também é importante para conceituar, sendo o 
período médio de infecciosidade, tal que I0==/#. 
Um indivíduo na população suscetível tem a mesma chance que qualquer 
outro de ser infectado. 
O número básico de reprodução, J1: Uma proporção importante no 
modelo epidêmico de SIR é !$, o número básico de reprodução. 
Para derivar esse valor, devemos primeiro dividir a equação (1) pela equação 
(2), do sistema obtido no Passo 1, expressando efetivamente a alteração no grupo 
suscetível, S(t) por alteração no grupo removido, !(*), em função de C[*]: 
(C
(!
=
−:C
=
 
Encontre a solução S[t] (justificando os passos). 
3B) !$ é conhecido como número básico de reprodução e é a razão entre :, a taxa 
de infecção, e =, o período de infecciosidade. 
!$ =
:
=
 
Tendo em vista a solução S[t] e o número básico de reprodução, determine R[t]. 
3C) À medida em que t avança, a epidemia termina (D[*] = 0), o grupo removido !(*) 
pode ser expresso da seguinte maneira: 
![*] = 1 − C$&/2!(2[,]/2($)) 
 
 
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Uma análise rápida dessa equação mostra que, a menos que o grupo 
suscetível inicial esteja vazio de modo que C(0) = 0, sempre haverá um grupo 
suscetível na população total. Indo um pouco mais a fundo, podemos assumir que 
as epidemias modeladas pelo sistema SIR terminam com a falta de indivíduos 
infectados, e não com a falta de indivíduos suscetíveis. !$ é muito importante para 
determinar o comportamento de epidemias. Para ilustrar isso, substituiremos !$ na 
equação (3), a 3ª equação do sistema do Passo 1: 
(D
(*
= (!$C − 1)(=D) 
= e D devem ser ambos positivos, de modo que o sinal de D7(*) é definido pelo 
número básico de reprodução, de modo que, se !$ >
#
8($)
, o número de indivíduos 
infectados aumenta (causando uma epidemia), mas se !$ <
#
8($)
, o número de 
indivíduos infectados diminuirá. 
Encontre o valor de !$ para algumas doenças (cerca de 4), incluindo o COVID-
19. 
 
Passo 4: Substituição das constantes dadas 
Escolha uma cidade (como Itabira, onde estuda, ou sua cidade natal, por 
exemplo, ou alguma outra) e determine as constantes envolvidas no sistema 
modelado (nesse caso, estudaremos a evolução da COVID-19). Veja como base, por 
exemplo, o blog do biólogo Prof. Marco, onde temos várias referências confiáveis de 
dados no mundo todo:https://marcoarmello.wordpress.com/2020/03/30/covid19/ 
https://marcoarmello.wordpress.com/2020/03/29/coronavirus_recursos/ 
https://marcoarmello.wordpress.com/2020/03/13/coronavirus1/ 
 
 
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Passo 5: Cálculos solicitados no problema: explicite o que se pede 
Detalhe alguns cálculos feitos até agora (com os dados do anterior, encontre I(t) R’(t) 
e R(t)). 
 
Passo 6: Modelo Matemático do fenômeno (equação encontrada) 
Com as constantes determinadas, explicite o modelo encontrado. 
 
Passo 7: Gráfico do modelo 
7A) Com os dados do Passo 4, esboce em um mesmo gráfico, as funções S(t), I(t), R(t) 
no caso de 
!$ <
1
C(0)
 
7B) Com os dados do Passo 4, esboce em um mesmo gráfico, as funções S(t), I(t), R(t) 
no caso de 
!$ >
1
C(0)
 
7C) O caso vacinado: No mundo real, as doenças contagiosas dificilmente são 
“deixadas por conta própria” para se espalhar entre as populações. Uma das 
contramedidas mais importantes para o surto de doenças infecciosas é o uso da 
vacinação em massa. Nos próximos casos, examinaremos o efeito de vacinar uma 
parte da população sobre o comportamento de uma epidemia. 
Nossa vacina contém algumas suposições, no entanto. A vacina é apenas 
preventiva e 100% eficaz. Além disso, o tamanho do grupo vacinado será estático 
acima de t, ou seja, apenas uma parcela inicial da população será vacinada e 
 
 
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ninguém mais será vacinado ao longo do tempo t. Para este exemplo, o grupo 
vacinado inicial M(0) é de cerca de 20% da população total. 
Inclua nos gráficos feitos em 7A e 7B: #
(9($)	/;	($))
. 
 
7D) Verifique o que acontece com a taxa de crescimento inicial I(t) no caso analisado 
pelo grupo. 
Ainda podemos usar o número de reprodução básico !$ para ajudar a 
determinar o comportamento das doenças, mas compararemos com #
(9($)	/;	($))
, 
dessa vez, substituindo o novo tamanho do suscetível inicialmente grupo de 
(S(0) 	− V	(0)) por S(0). 
Neste exemplo, nosso !$ ainda ultrapassa 
#
9($)
− M(0) e, como antes, o grupo 
infectado cresce inicialmente. No entanto, a taxa de crescimento inicial de D[*] é 
extremamente deprimida, graças à presença do grupo vacinado. 
 
* Complete de acordo com os dados do grupo! 
Como resultado, a contagem final de indivíduos que pegaram a doença é 
reduzida em aproximadamente *______ apesar de apenas 20% sendo vacinados. 
Este efeito é chamado imunidade de rebanho. O conceito básico é que, como os 
indivíduos vacinados não podem espalhar a doença de pessoa para pessoa, o grupo 
vacinado retarda o surto da doença, dando aos indivíduos suscetíveis uma menor 
possibilidade de encontrar a doença. 
Em nosso último caso, o grupo vacinado é grande o suficiente para produzir 
			!$ <
#
9($)
− M(0). 
Portanto, pode-se esperar que D[*] tenha um derivado inicialmente negativo 
e seja rapidamente erradicado. 
 
 
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7E) Nível crítico de vacinação: Nossos dois casos vacinados levantam uma questão 
interessante. Para um determinado valor de !$, podemos prever o nível de 
vacinação necessário para evitar uma epidemia? O nível de vacinação que 
procuramos é conhecido como nível crítico de vacinação. Podemos determinar esse 
nível reorganizando a relação entre !$ e 
#
8($)/<($)
 : 
!$ =
1
C(0) − M(0)
 
Para começar, definiremos C(0) = 1, implicando que todos os indivíduos da 
população são suscetíveis à doença antes da vacinação e que o tamanho do grupo 
infectado inicial é desprezível: 
!$ =
1
1 − M(0)
 
A resolução para M(0) produz: 
M(0) = 1 −
1
!
$
 
Isso expressa M(0) como o nível crítico de vacinação, ou o nível de vacinação 
necessário para dar a D[*] uma taxa de crescimento inicialmente negativa e 
interromper a potencial epidemia. 
Faça o gráfico de V (0) (eixo y) versus R0 (eixo x). 
7F) Taxa de Remoções: Tendo em vista o sistema inicial e que P = =
0
, C(0) = 	C$, Q =
>
-
, mostre que: 
D = 	E − C + P log
C
C
$
. 
 
 
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7G) Como temos que 	 *
*,
	(C + D + !) = 0, temos que *?
*@
 é positivo (respectivamente, 
negativo) para A
@
> 1 (A
@
< 1), isto é, D é uma função crescente (decrescente) para C <
P (C > P). Também, D → −∞ quando C → 0 e D = D$ (> 0) quando C = C$. Daí, existe 
pelo menos um ponto, digamos CB, quando D = 0. De fato, CB é um ponto único e 
de *8
*,
 e *?
*,
, podemos ver que C = CB, D = 0 é um ponto de equilíbrio. 
Esboce as trajetórias típicas no plano C − D	 (infecciosos versus susceptíveis). 
 
7H) Vemos que à medida em que t aumenta, o ponto (C, D) se move ao longo da 
trajetória com C diminuindo e I diminui monotonicamente se C$ < P. Por outro lado, 
se C$ > P, inicialmente I aumenta atingindo um pico quando C = P e depois 
diminuindo para zero. Claramente, o parâmetro P é um parâmetro vital. É chamado 
valor limiar, pois uma epidemia ocorre apenas se o número inicial de suscetíveis, C$, 
for maior que o valor limiar. 
Assumindo C$ > P, podemos deduzir do teorema do valor limiar da 
Epidemiologia que afirma que, se C$ − P é pequeno comparado a P, o número de 
indivíduos que contrai a doença é aproximadamente 2(C$ − P). 
Para provar esse resultado, basta assumir C$ = P + X, onde X ≪ P (ou seja, X 
é muito menor que P) e usar a função obtida I. Assim, obtemos que C$ − CB ≈ 2X, o 
que prova o resultado. 
As estatísticas de saúde pública geralmente registram o número de novas 
remoções a cada dia ou semana. Portanto, para comparar os resultados previstos 
desse modelo com dados reais, devemos determinar *2
*,
 como uma função durante 
o tempo, t. Agora, de D + C + ! = E e de *2
*,
= =D: 
(!
(*
= =(DE − ! − C) 
enquanto podemos determinar S como uma função de R de: 
 
 
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 C
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S 
(C
(!
=
(C
(*
(!
(*
= −
QCD
=D
= 	−
C
P
. 
Resolvendo para S, temos C = C$&
/
"
#. Substituindo na equação acima de *2
*,
, 
obtemos: 
(!
(*
= X [DE − ! − C$&
/
2
A\. 
Infelizmente, essa equação não pode ser resolvida explicitamente, a menos 
que assumamos que s 2
A
 seja razoavelmente pequeno: 
 
&
/
2
A ≅ 1 −
!
P
+ >
!
P
@
&
+⋯ 
Dessa forma, 
(!
(*
	≅ 	X _E − ! − C$ [1 −
!
P
+
!&
2P&
\` 
ou seja, 
(!
(*
= X _E − C$ + >
C$
P
− 1@! −
C$	!&
2P&
`. 
 
Pode-se verificar que essa equação tem a seguinte solução: 
! = P&
C
$
P − 1 + ; tanh e
;X*
2 − fg
C
$
, 
em que 
 
 
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; = _>
C$
P
− 1@
&
+ 2C$
(E − C$)
P&
`
#/&
	&				f = *.hℎ/# j
C
$
P − 1
;
k 
Como *
*D
	(tanh l) = m&nℎ	&(l), obtemos 
(!
(*
=
P&;&X
2C
$
m&nℎ	& >
;X*
2
− f@, 
Mostre como essa variação dR/dt foi obtida. 
 
7I) A função dR/dt define uma curva em forma de sino, conhecida como curva 
epidêmica. Seu valor máximo ocorre em * = &E
FG
. 
Kermack e McKendrick usaram esse modelo para descrever uma praga em 
Bombaim. Eles levaram valores de parâmetros para que: 
(!
(*
= 890	m&nℎ	&(0,2* − 3,4), 
em que t foi medido em semanas. Podemos comparar *2
*,
 com o número de mortos 
por semana, já que quase todos os casos terminaram fatalmente. 
Tendo em vista os dados obtidos pelo grupo, explicite a função dR/dt obtida 
e faça um gráfico da taxa de remoções dR/dt pelo tempo t e identifique o valor 
máximo da curva (o ponto de início da “descida”). Qual o melhor para o parâmetro t: 
dias, semanas ou meses? 
 
Passo 8: Descrição sintética do fenômeno 
8A) A partir de seu entendimento do comportamento do fenômeno, escreva um 
breve texto (entre 2 e 3 parágrafos) comparando os gráficos e equações. 
 
 
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8B) O que pode serdito como conclusão a respeito do modelo epidêmico de SIR 
como ferramenta para prever o comportamento das epidemias? E o que dizer sobre 
as modificações possíveis, como por exemplo, ser modificado para descrever o efeito 
das vacinas na propagação de doenças? 
 
Passo 9: Análise da adequação do modelo 
O que achou do modelo obtido: se adequa com a realidade? Quais pontos acha 
positivos e quais acha negativos nesse modelo? O que poderia ser aprimorado? Qual 
é a interferência do tipo de doença nos gráficos e no modelo? 
 
Passo 10: Análise crítica do modelo 
Como formular um modelo que mostre a propagação de uma epidemia e qual é a 
importância de tais modelos atualmente? (tente responder criticamente a partir do 
trabalho de modelagem realizado!) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Sugestões de resposta 
 
6.1 Sugestão para a modelagem 1 A 
 
Absorção de álcool no organismo e o risco de acidentes 
Um modelo matemático pode ser formulado para relacionar o risco de ter um 
acidente de carro, R, e o nível de álcool no sangue, b. O modelo é o seguinte: 
(!
(#
= s!. 
Na equação diferencial de primeira ordem acima, tem-se uma constante 
positiva k. Se em b=0 (nenhum consumo de álcool) o risco de um acidente é de 1%, 
ou seja, R0=1, então a solução da equação diferencial acima é dada por: 
!(#) = &!" . 
 Dessa forma, o modelo prevê um aumento exponencial do risco de acidente 
com o aumento do nível de álcool no sangue. 
 Para validar o modelo, devemos usar um dado disponível para estimar a 
constante k. Por exemplo, usado o dado em que temos R=20% em b=0,14%, temos: 
s = 	
1
0,14
ln 20 = 21,4 
 Dessa forma, a solução para o modelo é dada por: 
!(#) = &&#,I" 
 Podemos esboçar a curva e verificar que ela possui um crescimento 
exponencial. Uma limitação desse modelo é que, enquanto b cresce, o nível de risco 
aumenta para até 100%. Por exemplo, se R=100, o que significa que uma batida irá 
certamente ocorrer, o valor correspondente para o nível de álcool no sangue é: 
 
 
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S 
# =
1
21,4
ln 100 = 0,22 
 Assim, de acordo com o modelo, quando o nível de álcool no sangue é de 
22%, a probabilidade de ocorrer um acidente é de 100%. Refletindo, já que isso 
ocorre depois de 12 drinks de whisky, talvez essa conclusão tenha sido razoável! 
Parece mais provável que a pessoa está completamente inapta para dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
Beber de 
modo 
responsável. 
. 
Risco ao 
combinar 
beber e 
dirigir. 
Irresponsabilidade 
por uma intoxicação 
pela bebida, 
particularmente se 
 dirigir. 
 Sintomático de um 
problema com 
bebida. 
R0 
10 
20 
30 
40 
50 
0,05 0,10
 
0,15
 
0,20
 0,14
 
R 
Absorção alcoólica e o risco de acidente 
Ri
sc
o 
re
la
ti
vo
 d
e 
ac
id
en
te
 (%
) 
Figura – Nível de álcool no sangue e o risco de acidente 
Quantidades de doses de whisky com teor alcóolico de 36% para um 
homem de 72kg e dentro de 2 horas depois de comer. 
 
 
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6.2 Sugestão para a modelagem 1B 
 
Modelando a adequação de uma dieta 
 
A obesidade depende principalmente de dois fatores: ingestão de energia e 
gasto de energia; e o que controla o peso corporal é o equilíbrio entre esses dois 
fatores. Quando o balanço é positivo o corpo terá excesso de energia que será 
armazenada como gordura, enquanto quando esse saldo é negativo, a gordura 
armazenada é usada para fornecer ao corpo a energia necessária (CHIN et al., 1992). 
 A restrição de energia é a mais eficiente e tradicional tratamento para 
obesidade. No entanto, dietas de baixa e muito baixa energia, que levam a uma 
grande redução de energia, pode não ser a melhor maneira para perda de peso, 
porque eles levarão a muitos outros problemas relacionados ao consumo reduzido 
de energia. Um desses problemas é a redução da taxa metabólica basal (TMB) em 
30%, o que pode levar à alteração do balanço energético o corpo de volta na direção 
do armazenamento de energia e, como resultado a pessoa ganhará peso em vez de 
perdê-lo (ABDEL-HAMID, 2003). 
Há muito tempo, o problema da obesidade tem sido considerado como 
resultado de hábitos alimentares desordenados. O consumo de energia é o fator que 
desempenha o papel principal de armazenar gordura no corpo. No entanto, um 
estudo recente realizado com 107 homens e 109 mulheres, com idades entre 12 e 71 
anos, mostraram que a quantidade de ingestão diária de energia medida em 
quilojoules por quilograma para as pessoas normais e obesas foram idênticos (CHIN 
et al., 1992). As pessoas com peso normal foram capazes de manter suas peso na 
faixa saudável, apesar de consumirem mais energia que as pessoas obesas, porque 
se exercitaram. Isso enfatiza a importância da atividade física como um meio eficaz 
fator para manter o peso saudável. 
 
 
 
 
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Um Modelo Matemático 
 
Iremos tomar como ponto de partida o seguinte modelo (CHARALAMPOS, 
2004): 
()
(*
= +(, − .)), 
em que: 
• B é o peso corporal em Kg. 
• A é o fator de conversão dietética que é igual a #$
%&&#'(
	12/14 (ou 
#
))$$
	12/,.5). 
• C é a taxa diária de ingestão de energia, medida em KJ/dia. 
• a=167,36 (KJ/Kg) /dia (ou 40 (Cal/Kg) /dia) é o valor médio do gasto 
energético. 
• t é o tempo, medido em dias. 
 
Melhorando o modelo 
Para construir o modelo de dieta e exercício, primeiro considere os fatores 
que desempenham um papel na determinação do peso corporal. Fatores 
importantes são a taxa diária de ingestão de energia, dada por C, e a taxa diária de 
gasto de energia a que varia de 146,44 a 188,28 (KJ/kg) /dia (35 a 45 (Cal/kg) /dia) 
(CHARALAMPOS, 2004). Portanto, a taxa de alteração no peso corporal *+
*,
 seria 
proporcional a C-(40+d)B, em que d é obtido do exercício. Dessa forma, devemos ter 
a seguinte equação diferencial de primeira ordem: 
()
(*
= +(, − #)), 
em que b=40+d deve ser determinado, e o fator de conversão dietético + =
	
*+#$
%&&#'(
12/14 (MACKARNESS, 1988). 
 
 
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Adicionando o componente Exercício 
Um experimento com 20 voluntários de peso médio 65Kg gastou uma energia média 
de 512,3308 KJ na esteira em 3,2Km/h. Isso resultou na seguinte razão entre energia 
gasta e o peso corporal: 7,876 Kg/Kg. Assim, na equação anterior temos: b=a+7,876 
(AZZEH, ALHUSSAIN, SAMRA, 2011). 
 
Resolvendo a equação diferencial 
Lembramos que a função peso B(t) depende apenas do tempo e os demais 
parâmetros são constantes. Começando com a equação diferencial: 	*+
*,
=
+(, − #)), temos: 
()
(*
+ +#) = +,. 
Agora, multiplicamos pelo fator integrante &J", . Dessa forma obtemos: 
&J",
()
(*
+ +#)&J", = +,&J", . 
 
Essa equação é equivalente a: 
(
(*
(&J",)(*)) = +,&J", . 
Integrando os dois lados desta última equação obtemos: 
&J",)(*) =
,
#
&J", + s, 
sendo k uma constante real. No instante inicial t=0, temos B(0) − K
"
= s. 
Multiplicando a equação anterior por &/J", , obtemos, portanto, o peso, dado por: 
 
 
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)(*) =
,
#
+>)$ −
,
#
@ &/J", , 
sendo, 
 
• + = #$
%&&#'(
	12/14 (ou #
))$$
	12/,.5). 
• b=a+7,876 (KJ/Kg) /dia = 175,236 (KJ/Kg) /dia (ou 41,8824 (Cal/Kg) /dia). 
• )$ = )(0) é o peso inicial, medido em Kg. 
• *+
*,
 é a mudança de peso ao longo do tempo. 
• C é a ingestão diária de energia, medida em KJ/dia. 
• t é o tempo, medido em dias. 
 
Análise e interpretação 
O modelo ilustrado com a última equação anterior fornece recursos muito 
ricos 
informações relacionadas à dieta de alguém. Usando este modelo, é possível 
determinaro tempo necessário para uma pessoa obesa atingir seu peso perfeito se 
ele ou ela tiver realizado 30 minutos de caminhada todos os dias. 
A fim de avaliar a efetividade e os importância do componente do exercício, 
podemos plotar os dois modelos. Um exemplo de foi considerada uma pessoa com 
1,70 m de altura e 90 kg de peso. A ingestão diária de energia escolhida foi de 10460 
KJ/dia (ou 2500 calorias / dia), o que é normal para um homem que trabalha 
(FITRAKIS, 1985). 
O peso ideal para essa pessoa é de cerca de 68 kg, de acordo com o IMC. Na 
figura a seguir, o peso ideal é mostrado como uma linha tracejada (uma reta 
horizontal y=68), a curva azul se refere ao primeiro modelo, enquanto a curva 
vermelha é para o modelo melhorado, ou seja, o modelo com o exercício. Usando o 
primeiro modelo, que é a dieta inicial, o sujeito atingirá seu peso ideal após 313 dias. 
 
 
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Depois de adicionar o componente do exercício, o sujeito pode atingir seu peso 
perfeito após apenas 240 dias. 
Observe que a solução de equilíbrio depende da ingestão de energia e do 
termo b. De fato, se *+
*,
= 0, então ) = K
"
. Portanto, usar b que é igual a + 7,876 (KJ / 
kg) / dia, em vez de a no modelo, reduz a solução de equilíbrio efetivamente. 
Se o valor de b for aumentado, o termo exponencial em da equação que 
descreve o modelo diminuirá. Consequentemente, o peso ideal e o limite de peso 
corporal são atingidos mais rapidamente. Caminhar a uma velocidade de 0,889 m/s 
(ou 3,2 km / h) em uma esteira por 30 minutos ajudou a adicionar 7,876 (KJ / kg) /dia 
(ou 1,8824 (Cal / kg) /dia) ao valor médio da energia dispendida e, portanto, também 
ao componente exponencial. Isso novamente enfatiza a importância de caminhar. 
No entanto, os resultados encontrados experimentalmente não são 
totalmente precisos, pois o experimento foi realizado em um pequeno tamanho de 
amostra (além disso não havia obesos de fato e os dados dos participantes foram 
similares, como tamanho, idade e peso corporal). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B(t) 
Dias 
200 400 600 800 1000 
60 
65 
70
 
75
 
Figura: Comparação entre os modelos 
 
 
 
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Limitações e perspectivas 
Fatores genéticos influenciam em como o corpo responde à dieta e ao 
exercício (BELL, WALLEY, FROGUE, 2005). A idade também influencia, pois quanto 
mais velha a pessoas for, mais difícil fica queimar energia (MCCARGAR, SALE, 
CRAWFORD, 1996). Além disso, o padrão de ingestão de energia influencia: quem 
toma café da manhã tende a gastar mais energia do que quem prolonga o desjejum, 
pois o corpo começa a funcionar e gastar energia mais cedo (CHO et al., 2003; WYATT 
et al., 2001). 
No modelo aprimorado, levamos em consideração os fatores mais eficazes 
que são os componentes da dieta e do exercício. No entanto, também existem 
outros fatores que desempenham um papel relevante na determinação do peso 
corporal, como a temperatura ambiente e o metabolismo. Quando a temperatura 
ambiente é bem diferente da temperatura corporal, o corpo precisa regular sua 
temperatura, o que é a termo regulação. 
Assim, se incluirmos o efeito da temperatura ambiente no modelo, espera-se 
que o modelo produza o seguinte resultado: 
)(*) = +(, − (# + t(I)))) 
sendo F(T) a função dependente da temperatura ambiente. 
 
Conclusão 
Concluindo, o modelo matemático exponencial escolhido foi adequado e 
realista e leva em consideração os fatores de dieta e exercício. 
Este modelo matemático pode fornecer uma previsão relativamente útil do 
peso corporal em função do tempo. Isso é muito útil no sentido de ajudar as pessoas 
a combater e a eliminar o fenômeno da obesidade que está aumentando 
rapidamente. 
 
 
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Portanto, ajudará as pessoas a diminuir as doenças associadas, como o 
diabetes II. Isso os incentivará e motivará a exercitar-se e caminhar mais. Além disso, 
fornecerá informações qualitativas e quantitativas sobre a ingestão diária de energia 
que eles devem adquirir. 
Esta pesquisa mostrou que um exercício periódico muito simples e fácil 
poderia ter um grande efeito no peso corporal. 
Essa pesquisa ainda é incipiente e precisa de mais precisão, levando em 
consideração outros fatores, como temperatura ambiente, metabolismo e estilo de 
vida, além de amostras maiores para experimentos. Além disso, esta pesquisa 
assumiu um consumo diário de energia constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.3 Sugestão para a modelagem 2 A 
 
Comportamento de compra do consumidor 
 
Consideraremos o processo de decisão de um consumidor individual e, daí, 
formularemos um modelo para prever o comportamento do consumidor em relação 
a um determinado produto, digamos a marca X. As variáveis básicas, com o tempo t, 
são: 
• B(t): nível de compra da marca X. 
• M(t): motivação (e atitude) em relação à marca X. 
• C(t): nível de comunicação (por exemplo, publicidade) da marca X. 
 
Essas variáveis são assumidas como relacionadas por: 
*+
*,
= #(9 − :)) e *L
*,
= .() − ;9) + =,, 
em que ;, :, =, .	&	# são constantes que para a maioria dos artigos são positivas. 
 Embora tenhamos um sistema de duas equações diferenciais acopladas de 
primeira ordem, podemos substituir M da segunda equação na primeira equação. 
Para isso, derivamos mais uma vez a primeira equação e obtemos: 
(
(*
	>
1
#
()
(*
+ :)@ = . >) −
;
#
()
(*
− ;:)@ + =, 
Ou seja, 
(&)
(*&
+ (#: + .;)
()
(*
+ .#(;: − 1)) = #=, 
 
 
 
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Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem que relaciona a 
compra da marca X ao nível de comunicação C. Sabemos que a solução desta 
equação diferencial é dada por: 
) = 	). + )M 
Na solução geral temos a solução particular )M que dependerá do nível de 
comunicação C e a solução ). da parte homogênea: 
(&)
(*&
+ (#: + .;)
()
(*
+ .#(;: − 1)) = 0 
Determinaremos inicialmente a solução ). da parte homogênea. Para isso 
usaremos a equação auxiliar: 
u& + (#: + .;)u + .#(;: − 1) = 0 
Assim, temos que: 
u =
v−(#: + .;) ± [(#: + .;)& − 4.#(;: − 1)]#/&x
2
 
 
=
v−(#: + .;) ± [(#: + .;)& − 4.#]#/&x
2
 
 
Dessa forma, as soluções u# e u& são: 
u# =
v−(#: + .;) + [(#: + .;)& − 4.#]#/&x
2
 
 
u& =
v−(#: + .;) − [(#: + .;)& − 4.#]#/&x
2
 
 
 
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Claramente, se todos os parâmetros forem positivos, os valores u# e u& serão 
reais e u& < 0. O sinal de u# depende do sinal de (;: − 1). Se ;: > 1, então pode 
ser mostrado que u# < 0, enquanto se ;: < 1, teremos u# > 0. Assim, podemos 
escrever a solução como: 
). = +&N$, + +&N%, . 
Note que ). → 0, se ;: < 1. Voltemos nossa atenção a solução particular )M, 
que claramente depende de C. Tomando o caso mais simples de analisar, suponha 
que o nível de comunicação seja mantido constate ao longo do tempo t>0. Dessa 
forma, podemos ver que a solução particular de 
(&)
(*&
+ (#: + .;)
()
(*
+ .#(;: − 1)) = #=, 
é dada por )M =	
=K
O(F>/#)
 . Assim, temos dois casos a considerar. 
 
Caso ;: > 1. 
 
Nesse caso, da solução da parte homogênea sabemos que u#, u& < 0 e daí, que 
). → 0 quando * → ∞ e 
) → )M =	
=,
.(;: − 1)
. 
Em outras palavras, o nível de compras tende a um equilíbrio, que depende da 
magnitude de C. Isso é ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
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Caso ;: < 1. 
 Nessa situação, a solução particular é negativa, mas isso não tem significado, 
porque a outra parte da solução ). nãotende mais a zero quando * → ∞. De fato, 
como ilustrado na figura a seguir, ). , e, portanto, ), tende a ∞ quando * → ∞, e 
temos uma situação instável. 
Para aplicação prática, esperamos ;: > 1, e o comportamento ilustrado 
anteriormente tem maior probabilidade de ocorrer. 
 
 
 
 
!"
#$ − 1 
Tempo t 
Nível de compra B 
Figura - Nível de compra para '( > 1 
 
 
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!"
#$ − 1 
Tempo t 
Nível de compra B 
Figura - Nível de compra para '( < 1 
 
 
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6.4 Sugestão para a modelagem 2B 
 
Epidemias 
 
Consideraremos o problema de uma doença infecciosa que foi introduzida 
numa população fechada. Queremos estimar: quantas pessoas da população irão 
pegar a doença? 
Inicialmente assumiremos que quem se recuperou da doença então possui 
imunidade permanente e que a doença tem um período de incubação insignificante 
e curto. Dividimos a população em três casos: 
1) Infecciosos, digamos I, que podem transmitir a doença. 
2) Susceptíveis, dizem S, capazes de contrair a doe 
3) Remoções, digamos R, que tiveram a doença e estão mortas ou 
recuperadas, imunes ou isoladas. 
 
Se N é o tamanho da população, devemos ter: 
D + C + ! = E 
Podemos descrever o modelo em termos de equações diferenciais: 
(C
(*
= −QCD 
									
(D
(*
= −QCD − =D 
(!
(*
= =D 
 
 
 
 
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S 
Aqui r, a taxa de infecção e =, a taxa de remoção, são constantes positivas. 
 Como *8
*,
 e *?
*,
 não dependem de R, podemos inicialmente considerar apenas 
essas duas equações para S e I. Então, ou *2
*,
 pode ser usados para determinar R ou, 
em alternativa, usamos que D + C + ! = E. Usando esta equação temos: 
(
(*
	(C + D + !) = 0. 
Combinando as equações de *8
*,
 e *?
*,
, temos: 
(D
(m
=
QCD − =D
−QCD
= −1 +
P
C
, 
em que P = =
0
. Integrando, temos então: 
D = 	−C + P log C + 1 
Se, em * = 	0, temos D = 	 D$ e C = 	C$ = E (e !$ = 0), então: 
1 = 	E − P log C$. 
Isso nos dá, portanto, 
D = 	E − C + P log
C
C
$
. 
Como temos que 	 *
*,
	(C + D + !) = 0, temos que *?
*@
 é positivo 
(respectivamente, negativo) para A
@
> 1 (A
@
< 1), isto é, D é uma função crescente 
(decrescente) para C < P (C > P). Também, D → −∞ quando C → 0 e D = D$ (> 0) 
quando C = C$. Daí, existe pelo menos um ponto, digamos CB, quando D = 0. De 
fato, CB é um ponto único e de 
*8
*,
 e *?
*,
, podemos ver que C = CB, D = 0 é um ponto 
de equilíbrio. Trajetórias típicas no plano C − D	são esboçadas na figura a seguir. 
 
 
 
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Vemos que à medida que t aumenta, o ponto (C, D) se move ao longo da trajetória 
com C diminuindo e I diminui monotonicamente se C$ < P. Por outro lado, se C$ >
P, inicialmente I aumenta atingindo um pico quando C = P e depois diminuindo 
para zero. Claramente, o parâmetro P é um parâmetro vital. É chamado valor limiar, 
pois uma epidemia ocorre apenas se o número inicial de suscetíveis, C$, for maior 
que o valor limiar. 
 Assumindo C$ > P, podemos deduzir do teorema do valor limiar da 
Epidemiologia (HETHCOTE, 1989) que afirma que, se C$ − P é pequeno comparado 
a P, o número de indivíduos que contrai a doença é aproximadamente 2(C$ − P). 
 Para provar esse resultado, deixe C$ = P + X, onde X ≪ P (ou seja, X é 
muito menor que P). Também assumimos que D$, o número inicial de infecciosos, é 
pequeno. Agora, de 	D = 	E − C + P log 8
8!
, quando * → ∞, 
0 = E − CB + P log >
CB
C
$
@ 
,∞ 
Suscetíveis S 
Infecciosos I 
Figura - Trajetórias do plano de fase 
(,", /") 
 
(,, /) 
 
 
 
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e então E ≅	C$.	 
														0 = C$ − CB + P log y
C$ − (C$ − CB)
C
$
z 
		= C$ − CB + P log y1 −
CB
C
$
z 
																																					= C$ − CB + P	 {>1 −
CB
C
$
@ −
1
2
>1 −
CB
C
$
@
&
	⋯ | 
Isto é, 
0	 = (C$ − CB) _1 −
P
C
$
− [
P
2C
$
&
\ (C$ − CB)`. 
Logo, 
C$ − CB =	
2C
$
&
P
>1 −
P
C
$
@ 
= 	2C$ >
C$
P
− 1@ 
=	
2(P + X)(P + X − P)
P
,					}~�m		C$ = P + X 
=	
2X(P + X)
P
 
≈	
2XP
P
, }~�m		X ≪ 	P 
Assim, obtemos que C$ − CB ≈ 2X, o que prova o resultado. A figura a seguir 
indica a situação. 
 
 
 
 
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As estatísticas de saúde pública geralmente registram o número de novas 
remoções a cada dia ou semana. Portanto, para comparar os resultados previstos 
desse modelo com dados reais, devemos determinar *2
*,
 como uma função durante 
o tempo, t. Agora, de D + C + ! = E e de *2
*,
= =D: 
(!
(*
= =(DE − ! − C) 
 
enquanto podemos determinar S como uma função de R de 
(C
(!
=
(C
(*
(!
(*
= −
QCD
=D
= 	−
C
P
. 
'0 
Figura – O teorema do valor limite da epidemiologia 
Infecciosos I 
Suscetíveis S 
,∞ ,0 1 
2 2 
 
 
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Resolvendo para S, temos C = C$&
/
"
#. Substituindo na equação acima de *2
*,
, 
obtemos: 
(!
(*
= X [DE − ! − C$&
/
2
A\. 
Infelizmente essa equação não pode ser resolvida explicitamente a menos que 
assumimos 2
A
 seja razoavelmente pequeno: 
&
/
2
A ≅ 1 −
!
P
+ >
!
P
@
&
+⋯ 
Dessa forma, 
(!
(*
	≅ 	X _E − ! − C$ [1 −
!
P
+
!&
2P&
\` 
Ou seja, 
(!
(*
= X _E − C$ + >
C$
P
− 1@! −
C$	!&
2P&
`. 
Pode-se verificar que essa equação tem a seguinte solução 
! = P&
C
$
P − 1 + ; tanh e
;X*
2 − fg
C
$
, 
 
em que 
; = _>
C$
P
− 1@
&
+ 2C$
(E − C$)
P&
`
#/&
	&				f = *.hℎ/# j
C
$
P − 1
;
k 
Como *
*D
	(tanh l) = m&nℎ	&(l), obtemos que: 
 
 
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(!
(*
=
P&;&X
2C
$
m&nℎ	& >
;X*
2
− f@, 
E isso define uma curva em forma de sino, conhecida como curva epidêmica. Seu 
valor máximo ocorre em * = &E
FG
, como ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kermack e McKendrick usaram esse modelo para descrever uma praga em 
Bombaim. Eles levaram valores de parâmetros para que 
(!
(*
= 890	m&nℎ	&(0,2* − 3,4), 
em que t foi medido em semanas. Podemos comparar *2
*,
 com o número de mortos 
por semana, já que quase todos os casos terminaram fatalmente. A figura a seguir 
ilustra a curva prevista (pela equação anterior) com os dados reais. 
Figura – Taxa prevista de remoções 
Taxa de remoções dR/dt 
Tempo t 
2)
#* 
 
 
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Figura – Taxa prevista de remoções 
Mortes 
Semanas 
900 
700 
500 
300 
5 10 15 20 25 
 
 
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. 
Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED 
da Universidade Federal de Ouro Preto, 
em novembro de 2020 
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