Tópicos de Física 1 - Caderno de Estudos-022-024

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20 CADERNO DE ESTUDOS
Propriedade média da velocidade escalar 
Considere um gráfico v 3 t, de uma partícula com aceleração escalar positiva e v
0
 . 0.
Observe que a área A abaixo do gráfico, entre t
1
 e t
2
, é numericamente igual à variação 
do espaço.
0
a
t
a A
t
1
t
2Dt
a
Propriedade do gráfico da aceleração escalar em função do tempo
Considere um movimento uniformemente variado (MUV) com aceleração escalar (a) 
positiva. A figura a seguir mostra o gráfico a 3 t.
Dizemos, então, que a área A, em destaque na imagem, delimitada pela aceleração a e 
pelos instantes t
1
 e t
2
, é uma medida da variação de velocidade escalar da partícula.
A 5 Dv
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
A > Ds 5 s
2
 2 s
1
Se v
1
 corresponde à velocidade escalar do móvel no instante t
1
 e v
2
 corresponde à velocidade 
escalar do móvel no instante t
2
, a velocidade escalar média pode ser calculada por:
v
v v
2m
2 15
1
Função horária do espaço
A equação horária dos espaços de um móvel em MUV é dada por:
s s v t
2
t0 0
2
5 1 1
a
0
v
t
A
t
1
t
2
v
1
v
2
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212 | MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
s
0
0
s
t
s
0
0
s
t
s
0
0
s
t
0
s
t
s
0
0
s
t
s
0
0
s
t
s
0
Mas também podemos escrever da seguinte forma:
s v t
2
t0
2
D 5 1
a
Note que essa função é quadrática, descrita por um polinômio do segundo grau.
Gráfico do espaço em função do tempo
Considere as representações gráficas s 3 t, quando a . 0.
Equação de Torricelli
A equação de Torricelli é uma equação do movimento uniformemente variado (MUV) que 
permite determinar a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido.
v2 5 v2
0
 1 2aDs
Queda livre e lançamento vertical para cima
Nas proximidades do solo, independentemente de suas massas, formas ou materiais, 
todos os corpos em queda livre caem verticalmente com a mesma aceleração: a ace-
leração da gravidade, g.
Para calcular o deslocamento escalar desse corpo utilizamos a equação:
s
g
2
t2D 5
Para o cálculo do tempo de subida utilizamos a equação:
T
v
g
0
5
E para encontrar a altura máxima:
H
v
2g
máx
0
2
5
Em seguida, temos as representações gráficas s 3 t, quando a , 0.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
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22 CADERNO DE ESTUDOS
Aplique o que aprendeu
Exercícios resolvidos
 1. (EFOMM-RJ) Um trem deve partir de uma estação A e parar na estação B, distante 4 km de A. A aceleração 
e a desaceleração podem ser, no máximo, de 5,0 m/s2, e a maior velocidade que o trem atinge é de 72 km/h. 
O tempo mínimo para o trem completar o percurso de A a B é, em minutos, de: 
a) 1,7 b) 2,0 c) 2,5 d) 3,0 e) 3,4
Resolução:
Primeiro, vamos transformar o valor da velocidade máxima para unidades de m/s: v
máx
 5 72 km/h 5 20 m/s
(I) Cálculo do tempo necessário para o trem atingir a velocidade máxima:
⇒ ⇒a 5 D
D
5
2
D
D 5
v
t
5
20 0
t
t 4 s
1 1
1
(II) Cálculo da distância percorrida pelo trem até atingir a velocidade máxima:
v2 5 v2
0
 1 2aDs
1
 ⇒ 202 5 02 1 2 ? 5 ? Ds
1
 ⇒ Ds
1
 5 40 m
(III) Depois de atingida a velocidade máxima, no trecho final o trem gastará o mesmo tempo e percorrerá a 
mesma distância até parar. Logo: Dt
3
 5 4s e Ds
3
 5 40 m
(IV) Para o trecho intermediário, o trem deve desenvolver uma velocidade constante igual à máxima para 
que o tempo de percurso seja mínimo. Desse modo: Ds
2
 5 4 000 2 2 ? 40 5 3 920 m
⇒ ⇒5
D
D
5
D
D 5v
s
t
20
3920
t
t 196 s2
2 2
2
Assim, o tempo total do percurso será: Dt 5 Dt
1
 1 Dt
2
 1 Dt
3
 5 (4 1 196 1 4)s 5 204 s ⇒ Dt 5 3,4 min
Resposta: E
 2. (PUC-PR) Um automóvel parte do repouso em uma via plana, onde desenvolve movimento retilíneo unifor-
memente variado. Ao se deslocar 4,0 m a partir do ponto de repouso, ele passa por uma placa sinalizadora 
de trânsito e, 4,0 s depois, passa por outra placa sinalizadora 12 m adiante. Qual a aceleração desenvolvida 
pelo automóvel? 
a) 0,50 m/s2. b) 1,0 m/s2. c) 1,5 m/s2. d) 2,0 m/s2. e) 3,0 m/s2.
Resolução:
Analisando o movimento do automóvel em cada instante, temos:
No instante 0: 





5
5
D 5
v 0
t 0
S 0
0
0
0
 No instante 1: 





5
D 5
v
t t
S 4 m
1
1
1
 No instante 2: 5 1
D 5
v
t t 4
S 16m
2
2
2
A partir daí podemos encontrar expressões matemáticas que representam as velocidades nos dois intervalos.
De 0 a 1, temos que: v2
1
 5 v2
0
 1 2 ? a ? DS
1 
⇒
 
v 2 S1 15 ? a ? D 
De 0 a 2, temos que: v2
2
 5 v2
0
 1 2 ? a ? DS
2 
⇒
 
v 2 S2 25 ? a ? D
Mas v
2
 5 v
1
 1 α ? Dt, onde Dt 5 t
2
 2 t
1
 5 4s. Então:
? a ? D 5 ? a ? D 1 a ? D2 S 2 S t2 1 ⇒ ( )a ? D 5 ? a ? D 2 Dt 2 S S2 1
( ) ⇒a ? 5 ? a ? 2 a 5 54 2 4 16 8
16
0,5 m s2 2
2 2
Resposta: A
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