Semana I - Apostila de Matemática Aplicada à Administração

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Matemática aplicada a 
Administração 
Curso Técnico em Administração - Prof. Alex Reis da Silva 
alexreis.silva@ifsuldeminas.edu.br 
 Apresentação do Professor 
Prof. Alex Reis da Silva - http://lattes.cnpq.br/3060712430179982 
 
Mestrado em Matemática pela Universidade Federal de Lavras (2013), 
Especialização em Gestão Educacional - Administração, Supervisão e Orientação 
pela Universidade de Iguaçu (2007), Especialização em Matemática e Ensino pelo 
Centro Universitário do Sul de Minas (2002) e graduação em Matemática pelo Centro 
Universitário do Sul de Minas (2001) , . É professor de Matemática da Educação Básica Técnica e 
Tecnológica no Instituto Federal do Sul de Minas Gerais - IFSULDEMINAS - Campus Avançado Três 
Corações.Tem experiência na área de Matemática. 
 
 
 
mailto:emailprofessor@ifsuldeminas.edu.br
http://lattes.cnpq.br/3060712430179982
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CURSO TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO - IFSULDEMINAS - Campus Avançado de Três Corações - MG 
Matemática Aplicada à Administração - Prof. Me. Alex Reis da Silva 
 
Semana 1 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
Nessa semana iremos abordar o estudo da regra de três, e este material irá te auxiliar na busca deste 
aprendizado, que está presente em diversas questões do cotidiano. 
No estudo da proporção, na matemática, estudamos a relação entre as grandezas e, podemos observar em 
alguns momentos, que essas são diretamente proporcionais, de forma que o aumento de uma implica 
também no aumento da outra. Frisamos, entretanto, que em outros momentos, elas são inversamente 
proporcionais, de forma que o aumento de uma implica na redução da outra. Para ambos casos, podemos 
aplicar a regra de três simples ou composta para resolver questões relacionadas. 
(Fonte: https://www.todoestudo.com.br/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta) 
A matemática financeira possui grande importância dentro do sistema econômico ao qual todos estão 
submetidos. Várias das situações em que a matemática financeira é necessária são percebidas no dia a dia 
das pessoas. Exemplos não faltam, como financiar um carro, solicitar empréstimo, compras no cartão de 
crédito e por aí vai. 
Basicamente todas as movimentações financeiras ocorrem pautadas na matemática financeira. Para 
qualquer tipo de transação deste espectro, uma estipulação prévia de taxas futuras de juros é necessária. É 
neste ponto que entra o conceito a ser apreendido. 
Em uma situação hipotética, por exemplo, ao realizar um empréstimo bancário. O acordado é o pagamento 
mensal de prestações com acréscimo de juros junto de quem empresta. 
Assim, o valor de quitação final do empréstimo sempre será maior do que o valor inicial solicitado. Nesta 
diferença entre valor pago e valor recebido inicialmente dá-se o nome de juros. 
 
Desejo um bom estudo a todos! 
 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta
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Objetivos da Semana 
 
1. Entender o que são grandezas diretamente proporcionais e grandezas 
inversamente proporcionais. 
2. Identificar e resolver regras de três simples e compostas. 
Material Didático 
1 Regra de três 
1.1 Grandezas Diretamente Proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentam ou diminuem na mesma proporção.
 Ex.: Uma máquina produz, em 2 horas, um total de 3.000 parafusos. A mesma máquina irá 
produzir, em 4 horas, um total de 6.000 parafusos. 
Horas Parafusos 
 
2 3.000 
4 6.000 
 
As grandezas horas e parafusos são grandezas diretamente proporcionais, pois se uma aumenta a 
outra também aumenta. 
 
 
1.2 Grandezas Inversamente Proporcionais 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza aumenta e a outra grandeza 
diminui na mesma proporção. 
Ex.: Um livro tem 80 páginas, tendo 50 linhas por página. Se fosse impresso com 40 linhas por página, 
ele teria 100 páginas. 
 
Páginas Linhas 
 
80 50 
100 40 
 
As grandezas páginas e linhas são grandezas inversamente proporcionais, pois se uma aumenta a outra 
diminui. 
 
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1.3 Regra de Três Simples 
 
É uma técnica matemática usada para encontrar um valor não identificado a partir da relação de 
proporção entre duas grandezas. 
 
1.3.1 Identificação de uma Regra de Três Simples 
 
● A questão tem duas grandezas com quantidades diferentes em duas situações. 
● Uma situação tem a quantidade das duas grandezas. 
● A outra situação tem a quantidade de apenas uma delas. 
● O objetivo é encontrar a quantidade da grandeza que está faltando na segunda situação. 
 
Obs.: 
a) O nome é regra de três por ter três informações conhecidas. 
b) As grandezas em questão podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. 
c) Quando as grandezas são diretamente proporcionais, elas constituem uma regra de três direta. 
d) Quando as grandezas são inversamente proporcionais, elas constituem uma regra de três 
inversa. 
 
 
 
1.3.2 Resolução 
 
Ex.: Às 6 horas da manhã, o relógio da matriz demora 20 segundos para dar as seis badaladas. Ao meio 
dia, para dar as 12 badaladas, demora quantos segundos? 
 
Vamos fazer o passo a passo: 
 
1. Separar em colunas os valores do mesmo tipo de grandeza. 
 
Badaladas Tempo 
 (segundos) 
 
 6 20 
12 x 
 
2. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
● Colocar uma marcação na grandeza que tem o valor desconhecido (costuma ser uma seta ou um 
sinal de mais ou de menos, eu costumo usar a seta). 
 
 
 
Badaladas Tempo 
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 (segundos) 
 
 6 20 
12 x 
 
● Fazer a pergunta: 
 
 MAIS primeira grandeza , ação do enunciado MAIS OU MENOS segunda grandeza ? 
 
a) A ação do enunciado é um verbo. No exemplo o verbo que indica a ação é o verbo demorar. 
b) Não importa qual grandeza seja a primeira ou a segunda, mas caso a pergunta não fique clara, o 
ideal é trocar a ordem delas na pergunta. 
 
MAIS badaladas, demoram MAIS OU MENOS tempo? 
Resposta: MAIS tempo. 
 
c) Caso os advérbios de intensidade das grandezas fiquem iguais, elas serão diretamente proporcionais 
e por isso a seta da outra grandeza será no mesmo sentido da primeira seta. 
 
d) Caso os advérbios de intensidade das grandezas fiquem diferentes, elas serão inversamente 
proporcionais e por isso a seta da outra grandeza será no sentido oposto da primeira seta. 
 
MAIS badaladas, demoram MAIS tempo 
 
Os advérbios de intensidade ficaram iguais, logo as grandezas são diretamente proporcionais e por isso 
as setas terão o mesmo sentido. 
 
Badaladas Tempo 
 (segundos) 
 
 6 20 
12 x 
 
 
3. Montar o cálculo algébrico (Proporção). 
 
● Colocar no primeiro membro da proporção os valores da grandeza que tem o termo 
desconhecido, na mesma ordem apresentada junto à seta. 
 
● Colocar no segundo membro da proporção os valores da outra grandeza da seguinte forma: 
 
a) Se for diretamente proporcional: na mesma ordem apresentada juntoà seta. 
b) Se for inversamente proporcional: inverte-se os valores apresentados junto à seta. 
 
No exemplo acima, foi diretamente proporcional, logo mantemos a ordem dos valores da segunda 
grandeza. 
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20
𝑥
=
6
12
 
 
4. Resolver o cálculo algébrico (Proporção). 
 
Usar a propriedade fundamental da proporção. 
 
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos” 
 
20
𝑥
=
6
12
 
6x = 20.12 
6x = 240 
x = 
240
6
 
x = 40 
 
R.: Para o relógio dar 12 badaladas demora 40 segundos. 
 
 
 
 
1.4 Regra de Três Composta 
 
As regras de três compostas relacionam três ou mais grandezas entre si. 
 
1.4.1 Resolução 
 
Ex.: José e Pedro decidiram fazer uma viagem de férias para o litoral brasileiro. José, que já havia feito 
este percurso, afirmou que rodando uma média de 8 horas por dia a uma velocidade de 60 km/h, tinha 
levado 6 dias para completá-lo. Pedro, comprometeu-se a dirigir 9 horas por dia à velocidade média de 
80km/h. 
Considerando que Pedro vá dirigindo, calcule a quantidade de dias que levarão para completar o percurso 
da viagem. 
 
 
 
 
 
 
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Vamos fazer o passo a passo: 
 
1. Separar em colunas os valores do mesmo tipo de grandeza. 
 
Horas por dia Velocidade Dias 
 (km/h) 
 
 8 60 6 
 9 80 x 
 
2. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
● Colocar uma marcação na grandeza que tem o valor desconhecido (costuma ser uma seta ou um 
sinal de mais ou de menos, eu costumo usar a seta). 
 
Horas por dia Velocidade Dias 
 (km/h) 
 
 8 60 6 
 9 80 x 
 
 
● Fazer a pergunta: 
 
 Na regra de três composta a análise através da pergunta é feita entre duas grandezas (a grandeza que 
tem o termo desconhecido e cada uma das outras, sendo uma por vez). Na análise considera-se que as 
grandezas que não fizerem parte da pergunta não sofreram mudança em sua quantidade. 
 
a) Entre dias e horas por dia 
 
Com a mesma velocidade 
Com MAIS dias, vou percorrer com MAIS OU MENOS horas por dia? 
Achei que ficou estranho, logo vou inverter a ordem das grandezas. 
 
Com a mesma velocidade 
 Com MAIS horas por dias, vou percorrer em MAIS OU MENOS dias? 
Resposta: MENOS dias, grandezas inversamente proporcionais. 
 
b) Entre dias e velocidade 
 
Rodando a mesma quantidade de horas por dia 
Com MAIS velocidade, vou percorrer em MAIS OU MENOS dias? 
Resposta: MENOS dias, grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
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Logo as duas setas são opostas à seta dos dias. 
 
Horas por dia Velocidade Dias 
 (km/h) 
 
 8 60 6 
 9 80 x 
 
 
3. Montar o cálculo algébrico (Proporção). 
 
● Colocar no primeiro membro da proporção os valores da grandeza que tem o termo 
desconhecido, na mesma ordem apresentada junto à seta. 
 
● Colocar no segundo membro o produto das razões dos valores das outras grandezas da seguinte 
forma: 
 
c) Se for diretamente proporcional: na mesma ordem apresentada junto à seta. 
d) Se for inversamente proporcional: inverte-se os valores apresentados junto à seta. 
No exemplo acima, as duas foram inversamente proporcionais, logo inverte-se a ordem dos valores das 
duas grandezas.. 
 
6
𝑥
=
9
8
.
80
60
 
 
4. Resolver o cálculo algébrico (Proporção). 
 
● Simplificar todos os valores possíveis (lembrando que os termos que se multiplicam, não se 
simplificam). 
● Multiplicar as razões do segundo membro. 
● Usar a propriedade fundamental da proporção. 
 
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos” 
 
6
𝑥
=
9
8
.
80
60
 
2
𝑥
=
1
1
.
1
2
 
9 __________________________________________________________________________________ 
 
 
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2
𝑥
=
1
2
 
x = 4 
 
R.: Completarão a viagem em 4 dias. 
 
 
 
 
 
Videoaula(s) da Semana 
 
● https://youtu.be/t9nvGcQNWk4 
 
Saiba Mais 
https://youtu.be/alLifth7gxE 
 
Resumo do conteúdo apresentado na semana 
 
Nessa semana vimos que : 
 
● Diretamente proporcional: quando uma grandeza aumenta, a outra aumenta também, ou 
seja, se dobrar uma grandeza, a outra será dobrada. 
● Inversamente proporcional: quando uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, se 
dobrar uma grandeza, a outra será reduzida pela metade. 
● Regra de três simples: envolve duas grandezas. 
● Regra de três composta: envolve três ou mais grandezas. 
 
 
 
https://youtu.be/t9nvGcQNWk4
https://youtu.be/alLifth7gxE
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Bibliografia da semana 
 
 
Bibliografia Básica: 
 
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira: com HP 12C e Excel. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2008. 
468 p. (Finanças na prática). ISBN 978-85-224-5141-8 (broch.). 
 
LAPPONI, J. C. Matemática financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. ISBN 
9788535274417. 
 
PADOVEZE, C. L. Matemática financeira. Editora Pearson 140 ISBN 9788564574502. 
 
Bibliografia Complementar: 
 
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira 
engenharia econômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 11. ed. São Paulo: Atlas, 
2010.411 p. ISBN 978-85-224-5789-2 (broch.). 
 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada - 
2ª edição. Editora Pearson 322 ISBN 9788576055662. 
 
IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações: volume 1: ensino médio. São Paulo: Atual, 2014. 
448 p. ISBN 978-85-357-1959-8. 
 
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. S. V. Matemática ensino médio. 8.ed. São Paulo: Saraiva, 2013. 320 
p. (v.3). ISBN 978-85-02-19179-2 (broch.). 
 
TAHAN, M. Matemática divertida e curiosa. 33. ed. Rio de Janeiro: Record, 2017. 158 p. SBN 
978-85-01-03375-8 (broch.)