C1 Lista Semanal 4 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 4
Questão 1. Calcule o limite, quando ele existir:
a) lim
x→0
sen(4x)
x
b) lim
x→0
sen3(x)
x2
c) lim
x→π+
sen(x)
x− π
d) lim
x→0
1− cos(4x)
x
e) lim
x→0
sen(sen(x))
x
Solução:
a) lim
x→0
sen(4x)
x
= lim
x→0
(
4
4
· sen(4x)
x
)
= 4 · lim
x→0
sen(4x)
4x
Fazendo a mudança de variável u = 4x e quando x → 0, u → 0, então:
lim
x→0
sen(4x)
x
= 4 ·
�
��
�
��*
1
lim
u→0
sen(u)
u
= 4.
b) lim
x→0
sen3(x)
x2
= lim
x→0
(
x
x
· sen
3(x)
x2
)
= lim
x→0
(
x · sen(x)
x
· sen(x)
x
· sen(x)
x
)
Então:
lim
x→0
sen3(x)
x2
=
�
�
��>
0
lim
x→0
x ·
��
�
��
�*1
lim
x→0
sen(x)
x
·
�
��
�
��*
1
lim
x→0
sen(x)
x
·
�
��
�
��*
1
lim
x→0
sen(x)
x
= 0.
c) lim
x→π+
sen(x)
x− π
= lim
x→π+
sen(x− π + π)
x− π
= lim
x→π+
− sen(x− π)
x− π
Fazendo a mudança de variável u = x− π e quando x → π+, u → 0+, então:
(−1) · lim
x→π+
sen(x− π)
x− π
= (−1) ·
�
��
�
��
�*1
lim
u→0+
sen(u)
u
= −1.
d) lim
x→0
1− cos(4x)
x
= lim
x→0
2 sen2(2x)
x
= lim
x→0
(
4x
4x
·2 sen
2(2x)
x
)
= lim
x→0
(
8x·sen
2(2x)
4x2
)
Fazendo a mudança de variável u = 2x e quando x → 0, u → 0, então:
lim
x→0
(
8x · sen
2(2x)
4x2
)
= 8 ·
(
�
�
��>
0
lim
x→0
x
)
·
(
�
��
�
��
��*
1
lim
u→0
sen(u)
u
)2
= 0
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 4
e) lim
x→0
sen(sen(x))
x
= lim
x→0
(
sen(x)
sen(x)
· sen(sen(x))
x
)
= lim
x→0
(
sen(x)
x
· sen(sen(x))
sen(x)
)
Fazendo a mudança de variável u = sen(x) e quando x → 0, u → 0, então:
lim
x→0
(
sen(x)
x
· sen(sen(x))
sen(x)
)
=
��
��
��*
1
lim
x→0
sen(x)
x
·
��
�
��
�*1
lim
u→0
sen(u)
u
= 1
Questão 2. Use o teorema do confronto para determinar os limites:
a) lim
x→0
f(x), onde f é uma função com a seguinte propriedade:
1− cos2(x) ≤ f(x) ≤ x2 para todo x no intervalo aberto (−1
2
π, 1
2
π).
b) lim
x→1
(
(x− 1)2 sen
(
1
3
√
x− 1
))
.
c) lim
x→4
g(x), onde g é uma função com a seguinte propriedade:
|g(x) + 5| ≤ 3(4− x)2 para todo x no intervalo [3, 5].
Solução:
a)
lim
x→0
(1− cos2(x)) ≤ lim
x→0
f(x) ≤ lim
x→0
x2
0 ≤ lim
x→0
f(x) ≤ 0
Logo:
lim
x→0
f(x) = 0
.
b) Sabe-se que a função seno é limitada, então:
−1 ≤ sen
(
1
3
√
x− 1
)
≤ 1
−1(x− 1)2 ≤ (x− 1)2 sen
(
1
3
√
x− 1
)
≤ 1(x− 1)2
lim
x→1
−(x− 1)2 ≤ lim
x→1
(x− 1)2 sen
(
1
3
√
x− 1
)
≤ lim
x→1
(x− 1)2
0 ≤ lim
x→1
(x− 1)2 sen
(
1
3
√
x− 1
)
≤ 0
Logo:
lim
x→1
(x− 1)2 sen
(
1
3
√
x− 1
)
= 0
.
c)
−3(4− x)2 ≤ g(x) + 5 ≤ 3(4− x)2
lim
x→4
−3(4− x)2 − 5 ≤ lim
x→4
g(x) ≤ lim
x→4
3(4− x)2 − 5
−5 ≤ lim
x→4
g(x) ≤ −5
Logo:
lim
x→4
g(x) = −5
2
Cálculo I Lista de Exercícios 4
Questão 3. Ache os limites no infinito:
a) lim
y→+∞
2y2 − 3y
y + 1
b) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
c) lim
w→−∞
√
w2 − 2w + 3
w + 5
d) lim
t→+∞
(
1 +
3
t
)t
e) lim
x→+∞
2x+ 7
4− 5x
f) lim
t→+∞
(
3 +
3
t
)5
Solução:
a) lim
y→+∞
2y2 − 3y
y + 1
= lim
y→+∞
y�2
(
2−
�
�
���
0
3
y
)
�y
(
1 +
�
�
���
0
1
y
) = limy→+∞ 2y1 = +∞
b) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
= lim
x→−∞
��x
3
(
4 +
�
�
���
0
2
x
−
�
�
���
0
5
x3
)
��x
3
(
8 +
�
�
���
0
1
x2
+
�
�
���
0
2
x3
) = 48 = 12
c) lim
w→−∞
√
w2 − 2w + 3
w + 5
= lim
w→−∞
√
w2
(
1− 2
w
+
3
w2
)
w ·
(
1 +
5
w
) = lim
w→−∞
|w| ·
√
1− 2
w
+
3
w2
w ·
(
1 +
5
w
) =
= lim
w→−∞
−��w ·
√
1−
�
�
���
0
2
w
+
�
�
���
0
3
w2
��w ·
(
1 +
�
�
���
0
5
w
) = −1
d) Fazendo uma mudança de variável no limite: t = 3u, t → +∞, u → +∞, tem-se:
lim
t→+∞
(
1 +
3
t
)t
= lim
u→+∞
(
1 +
3
3u
)3u
=
(
lim
u→+∞
(
1 +
1
u
)u)3
= e3
e) lim
x→+∞
2x+ 7
4− 5x
= lim
x→+∞
�x
(
2 +
�
�
���
0
7
x
)
�x
(
�
�
���
0
4
x
− 5
) = −25
f) lim
t→+∞
(
3 +
3
t
)5
= lim
t→+∞
(
3 +
�
�
���
0
3
t
)5
= 35 = 243
Questão 4. Para cada uma das seguintes funções, calcule as assíntotas horizontais e
verticais. Utilizando apenas essa informação, esboce o gráfico e diga se a função tem
ou não raízes. Caso tenha, demonstre utilizando o Teorema do Valor Intermediário.
Confirme seu resultado calculando explicitamente as raízes.
Sugestão: compare seus esboços com os obtidos com uma ferramenta computacional.
3
Cálculo I Lista de Exercícios 4
a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
b) g(x) = 1− 1
x
c) h(x) =
2√
x2 − 4
Solução:
a)
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
2x+ 1
x− 3
= lim
x→3+
���
��:7(2x+ 1) · lim
x→3+
�
�
�
�
��>
+∞(
1
x− 3
)
= +∞
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
2x+ 1
x− 3
= lim
x→3−
��
���:
7
(2x+ 1) · lim
x→3−
�
�
�
�
��>
−∞(
1
x− 3
)
= −∞
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
2x+ 1
x− 3
= lim
x→+∞
�x
(
2 +
�
�
���
0
1
x
)
�x
(
1−
�
�
���
0
3
x
) = 2
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
2x+ 1
x− 3
= lim
x→−∞
�x
(
2 +
�
�
���
0
1
x
)
�x
(
1−
�
�
���
0
3
x
) = 2
Note que, existem duas assíntotas, uma assíntota horizontal: y = 2 e uma assíntota
vertical: x = 3.
Sabe-se que: f(−1) = 1
4
e f(1) = −3
2
, como a função f é contínua no intervalo
de [−1, 1] existe um c, tal que f(c) = 0.
f(c) = 0
2c+ 1
c− 3
= 0
c = −1
2
Figure 1: Esboço da função f.
4
Cálculo I Lista de Exercícios 4
b)
lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
(
1−
�
�
���
+∞
1
x
)
= −∞
lim
x→0−
g(x) = lim
x→0−
(
1−
�
�
���
−∞
1
x
)
= +∞
lim
x→+∞
g(x) = lim
x→+∞
(
1−
�
�
���
0
1
x
)
= 1
lim
x→−∞
g(x) = lim
x→−∞
(
1−
�
�
���
0
1
x
)
= 1
Note que, existem duas assíntotas, uma assíntota horizontal: y = 1 e uma assíntota
vertical: x = 0.
Sabe-se que: g(0, 5) = −1 e g(2) = 0, 5, como a função g é contínua no intervalo
de [1
2
, 2] existe um c, tal que g(c) = 0.
g(c) = 0
1− 1
c
= 0
1 =
1
c
c = 1
Figure 2: Esboço da função g.
c)
lim
x→2+
h(x) = lim
x→2+
2
��
���:
0√
x2 − 4
= +∞
lim
x→−2−
h(x) = lim
x→−2−
2
��
���:
0√
x2 − 4
= +∞
lim
x→+∞
h(x) = lim
x→+∞
2√
x2 − 4
= lim
x→+∞ �
�
���
0
2
x
· 1√
1−
�
�
���
0
4
x2
= 0
5
Cálculo I Lista de Exercícios 4
lim
x→−∞
h(x) = lim
x→−∞
2√
x2 − 4
= lim
x→−∞ �
�
���
0
2
x
· 1√
1−
�
�
���
0
4
x2
= 0
Note que, existem três assíntotas, uma assíntota horizontal: y = 0, uma assíntota
vertical: x = −2 e a assíntota vertical: x = 2.
Sabe-se que a imagem de h é somente positiva, por isso ela não tem uma raiz para
um x real finito no domínio de h.
Figure 3: Esboço da função h.
Questão 5. Prove que a função é descontínua no número a. Então, determine se a
descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, redefina f(a) de forma a
remover a descontinuidade.
a) f(x) =
x2 + 2x− 8
x2 + 3x− 4
, a = −4 b) f(x) =
|2x− 1|
2x− 1
, a = 1
2
Solução:
a) Substituindo x = −4 na expressão dada de f(x), chegamos a seguinte indetermi-
nação:
��
�
��
�HH
HHHH
f(−4) = 0
0
. Logo, f(−4) não está definida. Mas, calculando o seguinte
limite:
lim
x→−4
x2 + 2x− 8
x2 + 3x− 4
= lim
x→−4
(x− 2)����(x+ 4)
���
�(x+ 4)(x− 1)
= lim
x→−4
x− 2
x− 1
=
−6
−5
=
6
5
Logo, a descontinuidade é removível, f(x) =

x2 + 2x− 8
x2 + 3x− 4
x ̸= −4
6
5
x = −4
b) Substituindo x = 1
2
na expressão dada de f(x), chegamos a seguinte indetermi-
nação:
��
�
��HH
HHH
f(1
2
) =
0
0
. Logo, f(1
2
) não está definida. Assim, calculando os seguintes
limites:
lim
x→ 1
2
+
|2x− 1|
2x− 1
= lim
x→ 1
2
+
���
�2x− 1
��
��2x− 1
= 1
lim
x→ 1
2
−
|2x− 1|
2x− 1
= lim
x→ 1
2
−
−����
�
(2x− 1)
��
��2x− 1
= −1
6
Cálculo I Lista de Exercícios 4
Limites laterais são diferentes. Logo, a descontinuidade é essencial.
Questão extra:
Sabendo que f(x) =
cossec(3x)( 4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1)
x2 cotg(x)
. Calcule o lim
x→0
f(x).
Solução:
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
cossec(3x)( 4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1)
x2 cotg(x)
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(
cossec(3x)
cotg(x)
· (
4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1)
x2
)
Sabe-se que o limite do produto é o produto dos limites. Então, basta encontrar
o limite de cada parcela que está sendo multiplicada. Como existem 2 fatores sendo
multiplicados, pode-se calcular cada um dos 2 limites separadamente. Calculando o
primeiro limite:
lim
x→0
(
cossec(3x)
cotg(x))
= lim
x→0
(
3x
3x
· sen(x)
sen(3x) cos(x)
)
= lim
x→0
(
1
3
· sen(x)
x
· 3x
sen(3x)
· 1
cos(x)
)
Fazendo a mudança de variável u = 3x e quando x → 0, u → 0, então:
lim
x→0
(
cossec(3x)
cotg(x)
)
= lim
x→0
1
3
·
��
��
��*
1
lim
x→0
sen(x)
x
·
��
�
��
�*1
lim
u→0
u
sen(u)
·
�
��
�
��*
1
lim
x→0
1
cos(x)
=
1
3
Calculando o segundo limite:
lim
x→0
(
( 4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1)
x2
)
= lim
x→0
(
1−
√
x2 + 1
x2
− 1−
4
√
x4 + 1
x2
)
Sabe-se que o limite da soma é a soma dos limites. Então, pode-se quebrar esse
limite em mais dois limites da soma. Para a primeira parcela da soma, tem-se:
lim
x→0
(
1−
√
x2 + 1
x2
)
= lim
x→0
(
1−
√
x2 + 1
x2
· 1 +
√
x2 + 1
1 +
√
x2 + 1
)
= lim
x→0
(
1− (x2 + 1)
x2(1 +
√
x2 + 1)
)
= lim
x→0
(
−��x2
��x
2(1 +
√
x2 + 1)
)
= lim
x→0
(
−1
(1 +
√
x2 + 1)
)
= −1
2
7
Cálculo I Lista de Exercícios 4
Para a segunda parcela da soma, tem-se
lim
x→0
(
− 1−
4
√
x4 + 1
x2
)
= lim
x→0
(
4
√
x4 + 1− 1
x2
·
4
√
x4 + 1 + 1
4
√
x4 + 1 + 1
)
= lim
x→0
(
4
√
(x4 + 1)2 − 1
x2( 4
√
x4 + 1 + 1)
)
= lim
x→0
(
4
√
(x4 + 1)2 − 1
x2( 4
√
x4 + 1 + 1)
·
4
√
(x4 + 1)2 + 1
4
√
(x4 + 1)2 + 1
)
= lim
x→0
(
4
√
(x4 + 1)4 − 1
x2( 4
√
x4 + 1 + 1)( 4
√
(x4 + 1)2 + 1)
)
= lim
x→0
(
x4 + �1− �1
x2( 4
√
x4 + 1 + 1)( 4
√
(x4 + 1)2 + 1)
)
= lim
x→0
(
��x
2 · x2
��x
2( 4
√
x4 + 1 + 1)( 4
√
(x4 + 1)2 + 1)
)
= lim
x→0
(
x2
( 4
√
x4 + 1 + 1)( 4
√
(x4 + 1)2 + 1)
)
=
0
2 · 2
= 0
Sendo assim, o segundo limite é:
lim
x→0
(
( 4
√
x4 + 1−
√
x2 + 1)
x2
)
= −1
2
+ 0 = −1
2
Portanto:
lim
x→0
f(x) =
1
3
·
(
− 1
2
)
= −1
6
8