C2 Lista Semanal 16 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 16
Questão 1. Encontre a equação em coordenadas cilíndricas para as seguintes super-
fícies, cujas equações em coordenadas cartesianas são dadas por:
a) x2 + y2 + z2 = 9
b) z = x2 + y2
c) x2 + y2 = 4z
Solução:
1. A equação em coordenadas cilíndricas para a superfície x2 + y2 + z2 = 9 é
ρ2 + z2 = 9, onde ρ representa o raio do cilindro e z representa a altura.
2. A equação em coordenadas cilíndricas para a superfície z = x2 + y2 é ρ2 = z,
onde ρ representa o raio do cilindro e z representa a altura.
3. A equação em coordenadas cilíndricas para a superfície x2 + y2 = 4z é ρ2 = 4z,
onde ρ representa o raio do cilindro e z representa a altura.
Questão 2. Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a superfície cuja
equação em coordenadas cartesianas é dada por x2 + y2 = 9 e justifique sua resposta.
Solução: A equação em coordenadas cartesianas x2 + y2 = 9 representa uma
circunferência de raio 3 no plano xy, centrada na origem (0, 0). Para encontrar a
equação em coordenadas esféricas correspondente a essa superfície, podemos usar as
relações de conversão entre as coordenadas cartesianas e esféricas.
Em coordenadas esféricas, temos as seguintes relações:
x = r sin(θ) cos(ϕ)
y = r sin(θ) sin(ϕ)
z = r cos(θ)
Substituindo essas relações na equação da superfície x2 + y2 = 9, temos:
(r sin(θ) cos(ϕ))2 + (r sin(θ) sin(ϕ))2 = 9
r2 sin2(θ) cos2(ϕ) + r2 sin2(θ) sin2(ϕ) = 9
r2 sin2(θ)(cos2(ϕ) + sin2(ϕ)) = 9
r2 sin2(θ) = 9
Usando a identidade trigonométrica sin2(ϕ) + cos2(ϕ) = 1, podemos reescrever a
equação como:
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 14
r2 sin2(θ) = 9
ou ainda
rsin(θ) = 3
Essa é a equação em coordenadas esféricas para a superfície correspondente à equação
x2 + y2 = 9 em coordenadas cartesianas.
Questão 3. Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
∫ ∫ ∫
D
dV , onde
D está delimitado pelos planos xz, xy e a esfera x2 + y2 + z2 = 4
Solução: ∫ ∫ ∫
D
dv =
∫ 2
0
∫ π
0
∫ π
2
0
ρ2 senϕdϕdθdρ
=
∫ 2
0
∫ π
0
−ρ2 cosϕ
∣∣∣∣∣
π
2
0
dθdρ
=
∫ 2
0
∫ π
0
ρ2dθdρ
=
∫ 2
0
ρ2θ
∣∣∣∣∣
π
0
dρ
=
∫ 2
0
πρ2dρ = π
ρ3
3
∣∣∣∣∣
2
0
=
8π
3
.
Questão 4. Calcule a integral tripla
∫ ∫ ∫
G
dxdydz, onde G é o conjunto x ≥ 0,
x2 + y2 + z2 ≤ 1.
Solução: Vamos usar as coordenadas esféricas∫ π
2
−π
2
∫ π
0
∫ 1
0
ρ2 sin(ϕ)dρdϕdθ =
∫ π
2
−π
2
∫ π
0
ρ3
3
sin(ϕ)
∣∣∣∣∣
1
0
dϕdθ
=
∫ π
2
−π
2
∫ π
0
1
2
sin(ϕ)dϕdθ
=
1
2
∫ π
2
−π
2
−cos(ϕ)
∣∣∣∣∣
π
0
dθ
=
1
2
∫ π
2
−π
2
2πdθ = 2
π
2
θ
∣∣∣∣∣
π
2
−π
2
= π2.
Questão 5. Calcule o volume da região limitada pelas esferas x2 + y2 + z2 = 4 e
x2 + y2 + z2 = 9.
2
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Solução: Para calcular o volume da região limitada pelas esferas x2 + y2 + z2 = 4 e
x2 + y2 + z2 = 9, vamos utilizar coordenadas esféricas.
As equações das esferas em coordenadas esféricas são: Esfera interna: ρ = 2 Esfera
externa: ρ = 3
Vamos determinar os limites das coordenadas esféricas: 0 ≤ ρ ≤ 3 0 ≤ ϕ ≤ π
0 ≤ θ ≤ 2π
O volume V pode ser calculado através da integral tripla:
V =
∫∫∫
dV =
∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 3
2
ρ2 sin(ϕ) dρ dϕ dθ.
Resolvendo a integral, temos:
V =
∫ 2π
0
∫ π
0
[
ρ3
3
sin(ϕ)
]3
2
dϕ dθ.
Simplificando, obtemos:
V =
∫ 2π
0
∫ π
0
27
3
sin(ϕ)− 8
3
sin(ϕ) dϕ dθ.
Integrando em relação a ϕ, temos:
V =
∫ 2π
0
[
−19
3
cos(ϕ)
]π
0
dθ.
Simplificando, obtemos:
V =
∫ 2π
0
38
3
dθ.
Integrando em relação a θ, temos:
V =
[
38
3
θ
]2π
0
.
Simplificando, obtemos:
V =
38
3
(2π − 0) = 76π
3
.
Portanto, o volume da região limitada pelas esferas x2+y2+z2 = 4 e x2+y2+z2 =
9 é 76π
3
.
3