Livro 1 - Mat e Nat-115-120

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MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 1
Nome Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo interno 120° 135° 140°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos 
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um 
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
A) triângulo. 
B) quadrado.
C) pentágono. 
D) hexágono.
E) eneágono.
Exercícios Propostos
01. Um artesão foi contratado para ornamentar os vitrais de uma 
igreja em fase fi nal de construção. Para realizar o serviço, 
ele precisa de pedaços triangulares de vidro, os quais serão 
cortados a partir de um vidro pentagonal, com ou sem 
defeito, que possui n bolhas de ar (n = 0, 1, 2, ...).
Sabendo que não há 3 bolhas de ar alinhadas entre si, nem 
2 delas alinhadas com algum vértice do pentágono, e nem
1 delas alinhada com dois vértices do pentágono, o artesão, 
para evitar bolhas de ar em seu projeto, cortou os pedaços 
de vidro triangulares com vértices, coincidindo ou com uma 
bolha de ar ou com um dos vértices do pentágono.
bolha de ar
vidro pentagonal
Nessas condições, determine a lei de formação do número 
máximo de triângulos (T) possíveis de serem cortados pelo 
artesão, em função do número (n) de bolhas de ar contidas 
no vidro utilizado.
A) T = 2n – 1 
B) T = 2n 
C) T = 2n +1 
D) T = 2n + 3
E) T = 2n + 5
02. Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma 
de n – 1 ângulos (internos) do polígono é 2004º, determine 
o número n de lados do polígono.
A) 8 
B) 10
C) 12 
D) 14
E) 20
03. Tales tem várias peças idênticas com a forma de um pentágono 
regular e cola as peças face com face, de modo a completar 
um aro circular, como o representado na fi gura a seguir.
Quantas peças tem o aro construído por Tales?
A) 15 B) 12
C) 10 D) 9
E) 8
04. (CMRJ) A fi gura a seguir mostra um quadrado emoldurado por 
octógonos regulares, isto é, tais que cada lado do quadrado é 
um lado de um octógono e cada par de octógonos adjacentes 
tem um lado comum. Que polígono regular admite uma 
moldura de pentágonos regulares?
01
40
-M
12
-B
G
A) Nenhum. B) Triângulo.
C) Pentágono. D) Hexágono.
E) Decágono.
05. (PUC-PR) Unindo-se três a três os vértices de um polígono regular, 
obtém-se 120 triângulos. Qual é o polígono?
A) Hexágono. B) Pentágono.
C) Icoságono. D) Decágono.
E) Octógono.
06. (UFSCar) Uma placa de aço quadrada vai ser transformada 
em um octógono regular, recortando-se os quatro cantos do 
quadrado de forma a obter o maior polígono possível, como 
mostra a fi gura a seguir.
L
x
x
Sendo a medida do lado do quadrado igual a L, calcule, em 
função de L, a medida de x.
A) 
( )2 2
4
− ⋅L
B) 
( )3 2
4
− ⋅L
C) 
( )4 2
2
− ⋅L
D) 
( )3 2
2
− ⋅L
E) 
( )2 2
2
− ⋅L
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MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
07. A imagem a seguir mostra um polígono regular de 14 lados e 
todas as suas diagonais:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O número de diagonais traçadas é
A) 77 B) 79
C) 80 D) 98
E) 104
08. Um projetista desenhou uma engrenagem dividindo uma 
circunferência em arcos de mesma medida. Em cada um dos 
pontos que dividem a circunferência será desenhado um dente 
da engrenagem, conforme mostra a fi gura.
Esses pontos são vértices de um polígono regular cujos ângulos 
externos medem 15° cada um. Quantos dentes terá essa 
engrenagem?
A) 60 B) 45
C) 30 D) 24
E) 20
09. (Enem/2011)
Re
pr
od
uç
ão
/E
ne
m
 2
01
1
Disponível em: <http://www.diaadia.pr.gov.br>. 
Acesso em: 28 abr. 2010.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por 
rotações, em torno de seu centro, de
A) 45º B) 60º
C) 90º D) 120º
E) 180º
10. (Fuvest) Considerando um polígono regular de n lados, 
n > 4, e tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, 
a probabilidade de que ela passe pelo centro é
A) 0, se n é par. B) 
1
2
, se n é par.
C) 1, se n é par. D) 
1
n
, se n é ímpar.
E) 1
3( )n −
, se n é par.
Fique de Olho
• (UFF/2004) A fi gura a seguir esquematiza uma situação obtida 
por meio de um sistema de captação e tratamento de imagens, 
durante uma partida de vôlei.
Q
N
P
α
M
T
R
30º
30º30º hh
Nos pontos M e N da fi gura estão localizados dois jogadores que 
estão olhando para a bola com um ângulo de visada de 30º, em 
relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos (pontos P e Q) 
de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m (PM = QN = 2,0 m), 
que a distância entre os jogadores é igual a 1,5 m (MN = 1,5 m) 
e que cos .α = 3
4
 A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão
(h = RT) é
 A) 2,5 m B) 3,0 m
 C) 3,7 m D) 4,5 m
 E) 5,2 m
Solução:
De acordo com o exposto, encontramos:
Q
N
P
2 x
2 x
α
M
T
2
x
2
1,5
30º
hh
3x
3x
3x
3x
30º30º
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MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 1
Veja: ∆NTM
T
H3/4 3/4
MN
αα αα
3
2
3x3
x
cos .
:
.
α = = → =
= + =
3
4
3
3
4
1
1 2 3
x
x
Logo
h m
Resposta: B
Seção Videoaula
Polígonos
Aula 05: 
Triângulos
Classifi cação
Quanto aos lados
Isósceles
(2 lados congruentes)
Escaleno
(3 lados diferentes)
Equilátero
(3 lados congruentes)
60º
60º60º
Quanto aos ângulos
40º
60º 80º
Acutângulo
(3 ângulos agudos)
Retângulo
(1 ângulo reto)
Obtusângulo
(1 ângulo obtuso)
120º
C-2 H-7, 8
C-3 H-12Aula
05
Condição de existência
Sabemos que a menor distância entre dois pontos distintos 
é representada pelo segmento de reta que une estes pontos.
Então:
A
C a
cb
B
Qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma 
dos outros dois e maior que a diferença em módulo dos outros dois.
b c a b c− < < +
Reconhecimento da natureza de um triângulo
A
C B
cb
a
Se a é o maior lado do triângulo, temos:
a2 = b2 + c2 ⇒ triângulo retângulo
a2 < b2 + c2 ⇒ triângulo acutângulo
a2 > b2 + c2 ⇒ triângulo obtusângulo
Exercícios de Fixação
01. (Enem/2017) A manchete demonstra que o transporte de 
grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando 
feito em vias urbanas.
CAMINHÃO ENTALA EM VIADUTO NO CENTRO
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto 
no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro 
da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, 
na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre 
e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na 
foto.
Re
pr
od
uç
ão
/E
ne
m
 2
01
7
Disponível em: <www.caminhoes-e-carretas.com>. 
Acesso em: 21 mai. 2012. Adaptado.
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MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
 Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 
0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceira, cuja 
parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a 
vista traseira do empilhamento dos canos.
0,60 m
 A margem de segurança recomendada para que um veículo passe 
sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, 
no mínimo, 0,50 m menor que a altura do vão do viaduto.
Considere 1,7 como aproximação para 3.
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para 
que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?
A) 2,82 B) 3,52
C) 3,70 D) 4,02
E) 4,20
02. Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo 
de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com 
exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo 
deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A fi gura ilustra 
um triângulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes, dois a 
dois, que podem ser construídos é
A) 3 B) 5
C) 6 D) 8
E) 10
03. As “áreas de cobertura” a serem atendidas por um serviço de 
telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas 
por estações-radiobase localizadas no centro delas.
As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes 
frequências, a fi m de que uma não interfi ra na outra. Porém, 
é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra 
relativamente distante, desde que a segunda não interfi ra na 
primeira.
Cluster é o nome dado ao conjunto de célulasvizinhas, o qual 
utiliza todo o espectro disponível. Uma confi guração muito 
utilizada está exemplifi cada na Figura 1, que representa um 
modelo matemático simplifi cado da cobertura de rádio para 
cada estação-base.
O formato hexagonal das células é o mais prático, pois 
permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem 
sobreposições.
A Figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência 
por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a 
mesma frequência.
1
7
6
2
3
5
4
Figura 1: cluster de sete células 1
7
6
2
3
5
4 1
7
6
2
3
5
4
1
7
6
2
D 3
5
4
Figura 2: reuso de frequência
Disponível em: <www.teleco.com.br>. Acesso em: 5 out. 2012. Adaptado.
Na Figura 2, os hexágonos são congruentes, regulares, têm lado 
de medida R e cobrem uma superfície plana. Para determinar a 
distância D, distância mínima entre os centros de duas células 
que permite o uso da mesma frequência, pode-se traçar um 
triângulo cujos vértices são os centros de células convenientemente 
escolhidas, conforme a Figura 3.
1
7
6
2
3
5
4 1
7
6
2
3
5
4
1
7
6
2
3
5
4
Figura 3
Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a
A) R 21
B) 5R
C) 3 3R
D) R 30
E) 6R
04. A via de acesso a uma empresa será pavimentada por lajotas 
hexagonais regulares. O projeto prevê que serão necessárias fi leiras 
com lajotas para cobrir seus 5,1 metros de largura, conforme 
mostra o esquema a seguir.
5,1 m
Desconsiderando o espaço entre as lajotas, obtém-se que as 
lajotas encomendadas deverão ter arestas cuja medida, em 
centímetros, está entre
 Dados: 3 1 73= ,
A) 25,0 e 27,5 B) 30,0 e 32,5
C) 20,0 e 22,5 D) 27,5 e 30,0
E) 22,5 e 25,0
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MateMática e suas tecnoloGias Matemática IV
Anual – Volume 1
05. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros 
a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu 
nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente 
Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz 
parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, 
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do 
comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu 
após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: <http://www.correiodobrasil.com.br>. Acesso em: 02 maio 2010.
Balão
1,8 km A B
60º 30º
3,6 km
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma 
estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um 
ângulo de 60º; a outra estava a 5,4 km da posição vertical do 
balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme 
se vê na fi gura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
 Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A) 1,8 km 
B) 1,9 km
C) 3,1 km 
D) 3,7 km
E) 5,5 km
Exercícios Propostos
01. Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança 
em um condomínio fechado, representado pelo polígono da 
fi gura abaixo.
T
S
P Q
R
• A
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, 
localizada no ponto A, indicado na fi gura, que seja equidistante 
dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão 
instalados os equipamentos de segurança.
 Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3000 m e as 
medidas dos outros lados são iguais à distância do ponto A 
aos vértices do polígono.
Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos 
vértices do polígono.
A) 500 3 m B) 750 3 m
C) 1000 3 m D) 1500 3 m
E) 2000 3 m
02. Na fi gura a seguir, AB e AC são congruentes. A medida,
em graus, do ângulo x é
A
E
D
B C
x
20º
20º50º
A) 8º B) 10º 
C) 12º D) 14°
E) 15°
03. Uma empresa precisa comprar uma tampa para o seu 
reservatório, que tem a forma de um tronco de cone circular 
reto, conforme mostrado na fi gura.
Considere que a base do reservatório tenha raio r m= 2 3 e 
que sua lateral faça um ângulo de 60º com o solo.
60º
 Se a altura do reservatório é 12 m, a tampa a ser comprada 
deverá cobrir uma área de
A) 12p m²
B) 108p m²
C) 12 2 3
2
2+( ) π m
D) 300p m²
E) 24 2 3
2
2+( ) π m
04. No centro de uma praça, deve ser pintada uma linha com o 
formato de um polígono regular não convexo, como mostra o 
projeto a seguir.
Se os vértices pertencem às circunferências de raios 4 m e 2 m, 
respectivamente, o comprimento total da linha a ser pintada, 
em metros, é igual a
A) 5 2 2− B) 8 5 2⋅ −( )
C) 16 5 2⋅ −( ) D) 4 5 2 2⋅ −( )
E) 16 5 2 2⋅ −( )
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MateMática e suas tecnoloGiasMatemática IV
Anual – Volume 1
05. Uma fábrica de tubos acondiciona tubos cil índricos 
menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura 
mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão 
acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá 
os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou 
folgas, quatro tubos cilíndricos menores.
 Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual 
a 6 cm, a máquina, por você operada, deverá ser ajustada 
para produzir tubos maiores, com raio da base igual a
A) 12 cm 
B) 12 2 cm
C) 24 2 cm
D) 6 1 2+( ) cm
E) 12 1 2+( ) cm
06. Duas rodovias retilíneas, A e B, se cruzam, formando um 
ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, 
a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea 
C, perpendicular à rodovia B. A distância do posto de gasolina 
à rodovia B, indo através de C, em quilômetros, é
A) 
2
8
B) 
2
4
C) 
3
2
D) 2
E) 2 2
07. Para determinar a distância de um barco até a praia, um 
navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um 
ponto A, mediu o ângulo visual a, fazendo mira em um ponto 
fi xo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu 
até um ponto B, de modo que fosse possível ver o mesmo ponto 
P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2a. A fi gura ilustra 
essa situação:
P
A B
Trajetória do barco2aa
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo a = 30º e, 
ao chegar ao ponto B, verifi cou que o barco havia percorrido 
a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo 
a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto
fi xo P será
A) 1000 m 
B) 1000 3 m.
C) 2000
3
3
m.
D) 2000 m
E) 2000 3 m.
08. Sabendo-se que o terreno de um sítio é composto de um setor 
circular, de uma região retangular e de outra triangular, com as 
medidas indicadas na fi gura a seguir, qual a área aproximada 
do terreno?
45º
7 
km
45º
4 km
es
tra
da
po
nt
e
rio
região
triangular
região
retangular
região
circular
A) 38,28 km2 
B) 45,33 km2
C) 56,37 km2 
D) 58,78 km2
E) 60,35 km2
09. Três pedaços de arame de comprimento 60 cm foram moldados: 
um na forma de quadrado, um na forma de triângulo equilátero 
e outro na forma de círculo. Se A
Q
, A
T
 e A
c
 são, respectivamente, 
as áreas das regiões limitadas por esses arames, então, é 
verdade que
A) A
Q
 < A
T
 < A
C 
B) A
C
 < A
T
 < A
Q 
C) A
c
 < A
Q
 < A
T
D) A
T
 < A
C
 < A
Q
E) A
T
 < A
Q
 < A
C
10. A fórmula que determina a altura H de uma pilha de tubos, 
todos com forma cilíndrica circular reta e com raio externo R, 
conforme a fi gura, é
H
A) H R= +( )3 2 B) H R= +( )3 2 1
C) H R= 2 3 D) H R= +( )2 3 1
E) H R= +( )2 3