aula4 Conceitos básicos de simulação de monte carlo

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4ºAula
Conceitos básicos de simulação de 
Monte Carlo
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• identificar os principais processos que fazem parte do modelo Monte Carlo; 
• definir os padrões estabelecidos para se começar um modelo de simulação da produção;
• definir as características que vamos praticar nos exemplos demonstrados através de figuras e exercícios;
• elaborar um modelo futuro de simulação da produção para auxílio da gestão.
Prezados(as) alunos(as), após ter estudado a Aula 3 e ter 
aprendido sobre amostragem e teste de aderência, visto diversos 
conceitos e funções que fazem parte da simulação, vamos dar 
início a nossa aula 4. 
 Na Aula 4, descreveremos o que é simulação de Monte 
Carlo, como funciona essa simulação e as características 
fundamentais que precisamos saber para dar continuidade 
ao nosso conhecimento. Aprenderemos uma técnica nova 
de simulação, através do Excel, com aplicações e exemplos 
práticos, aprenderemos um pouco de estática. Conheceremos 
os padrões das principais ideias de Monte Carlo, a ideia genérica 
do modelo, dentre outras vertentes apresentadas nesta aula. 
Boa Aula!
Bons estudos!
24Simulação da Produção
Seções de estudo
1- O que é Simulação de Monte Carlo?
2- Como funciona a simulação de Monte Carlo
3- Características Fundamentais
4- Simulação do Método Monte Carlo no Excel
1- O que é Simulação de Monte Carlo?
A Simulação de Monte Carlo surgiu em 1946 com o 
matemático Stanislaw Ulam, durante um jogo de paciência 
tentando calcular as probabilidades de sucesso de uma 
determinada jogada utilizando a estatística básica que no caso 
é a análise combinatória.
Após um tempo estimado fazendo cálculos, ele percebeu 
que tinha uma alternativa muito mais fácil e prática. De início, 
ele pensou em realizar inúmeras jogadas, por exemplo, jogou 
mais de mil vezes e contou quantas vezes cada resultado 
estava ocorrendo. 
Ulam sabia que existia técnicas de amostragem estatística, 
como análise combinatória e não eram tão utilizadas por 
serem demoradas e sujeitos a erro, nesse tempo coincidiu 
de fi car pronto o primeiro computador da época, o ENIAC, 
antes dele somente se utilizavam dispositivos mecânicos para 
fazerem diversos cálculos. Porém, o que fi cou em evidência foi 
a versatilidade e a rapidez desse computador, tal equipamento 
causou espanto na época, pois poderiam aplicar todas os 
métodos de amostragem, para solucionar um problema, com 
os conhecimentos que eles tinham, difundindo, assim, sua 
aplicação (ULAM, 1997).
Logo após o método começou a se utilizar a estatística 
no computador e fi cou conhecido como método de Monte 
Carlo, o nome foi inspirado em um tio de Ulam, que era 
frequentador assíduo de um cassino de Monte Carlo cujo 
aspecto aleatório das roletas também estava ligado ao método 
(ULAM, 1997).
O método de Monte Carlo foi formalizado em 1949, por 
meio de um artigo que foi publicado em Mônaco, o nome do 
artigo era “Monte Carlo Method”.
Nos dias de hoje, o método pode ser descrito como 
simulação estatística que utiliza sequência de números 
aleatórios para desenvolver diversas simulações, ou seja, um 
método para resolução de problemas, tomadas de decisões, 
por meio de amostragem aleatória que já aprendemos o termo 
na aula 3.
O método passou a ser empregado em diversos campos 
devido ao seu poder de resolução que vai de aplicações mais 
complexas envolvendo fenômenos físicos até as áreas mais 
comuns. 
Algumas áreas que são aplicadas: Atuária (como 
expectativa de vida, casamento, etc.), fi nanças (como séries 
macroeconômicas, opções futuras, hedge etc.), computação 
gráfi ca (como redução de artefatos, espalhamento etc.), 
geologia (como caracterização de reservatórios), análise de 
projetos (como opções reais), jogos (como geração de redes), 
dentre outros (ULAM, 1997). 
Hoje, encontramos o método Monte Carlos em muito 
mais áreas do que imaginamos. Vamos continuar com os 
exemplos: fi nanças é usado na modelagem e simulação 
de mercado de opções de acordo com (SETZU, 2008). 
Em engenharia, na gestão de portfólio de uma empresa de 
seguros, de acordo com (NORGAARD, 1966); na análise de 
um problema de estoque, de acordo com o (RAUN, 1963); 
em Biologia, usado principalmente em sistemas de tratamento 
de câncer (LEHRACH, 2012); essa simulação é utilizada nos 
campos mais amplos e mais comuns do nosso dia a dia.
Algumas características nesse modelo são essenciais 
e torna desnecessário escrever as equações diferenciais que 
descrevem o comportamento de sistemas complexos. 
A exigência do modelo é que o sistema seja físico ou 
matemático e seja descrito, ou seja, modelado em termos 
de funções de densidade de distribuição de probabilidade, 
conhecido pela sigla FDP. 
De acordo com as distribuições conhecidas, a simulação 
de Monte Carlo precede fazendo amostragens aleatórias a 
partir do modelo escolhido, tendo sempre como pressuposto 
que utilizaremos a estatística como ferramenta de auxílio e que 
o resultado vai ser obtido por meio dessas técnicas estatísticas 
(média, desvio, padrão etc.) sobre uma amostra.
2- Como funciona a simulação de 
Monte Carlo
Bom, como já sabemos existe diversas formas de 
distribuições empregadas na estatística, dentre elas, a 
distribuição normal, distribuição de Poisson, Distribuição 
exponencial, qui-quadrado, Binomial, Bernolli, dentre outras 
(ULAM, 1997).
A simulação de Monte Carlo, além de nos auxiliar 
ver a situação como um todo, nos ajuda a tomar decisões. 
Essas decisões vão ser embasadas dentro do nosso modelo, 
com nossas variáveis. A principal maneira de observar essas 
variáveis é como ela se comporta dentro do modelo, através 
de gráfi cos e histograma.
Além dos diversos softwares que temos para empregar 
a simulação, agora vamos aprender com uma ferramenta que 
todos tem ao alcance que é o Excel, mas não se preocupem 
que vamos fazer passo a passo para o melhor entendimento.
Vamos lá?
 Analisando a fi gura abaixo, o que vemos?
Figura 01: Introdução de distribuição. 
Na fi gura 01, vemos um objeto que tem as bordas pretas, 
25
cheio de bolas vermelhas, certo?
Esse objeto é como se fosse um funil, onde as bolinhas 
caem e formam como se fosse uma distribuição normal, 
dentro de um dado intervalo de confi ança. Essa simulação é 
para entender que as variáveis podem ser aleatórias e possuir 
diversos tipos de entradas e diversas distribuições, como 
aleatórias e contínuas.
Na fi gura 02, a seguir, existe um intervalo de confi ança. 
Temos uma distribuição normal e um intervalo de 
confi ança quando existe uma simétrica em torno da média, 
o que torna implícito que a média, mediana, moda são todas 
coincidentes e a área demarcada em amarela preenchida 
de bolinhas azuis, nos remete a dizer que essas “bolinhas” 
preenchem o intervalo de confi ança aleatoriamente.
A soma de valores uma variável aleatória converge a uma 
distribuição normal, pois se acumulam em torno da média, 
com valores mais extremos longe dessa média e fora do 
intervalo de confi ança. 
Figura 02: Demonstração de variáveis aleatórias em um intervalo de confi ança.
 
Tá, mas você deve estar se perguntando o que fazer 
depois que tiver as variáveis do meu modelo?
Bom, dada as variáveis, vamos analisar o intervalo de 
confi ança, que são utilizados para indicar a confi abilidade 
de um estimativa, por exemplo os intervalos de confi ança 
podem ser usados para descrever o quanto os resultados de 
uma pesquisa são confi áveis, tendo sempre como base que 
um intervalo de confi ança pequeno é muito mais confi ável 
que um intervalo de confi ança maior. 
Nós vamos interpretar os intervalos dada uma 
determinada medida, é importante ressaltar as informações 
contidas no intervalo de confi ança, ele vai nos dizer o que 
estará acontecendo com nossos valores. 
Figura 03: Demonstração de intervalo de confi ança.
Intervalo de confi ança é a área onde se tem confi ança de 
que a média populacional, que normalmente é desconhecida 
está presente, com umgrau de confi ança de 1- , por 
exemplo, vamos adotar como 5%, onde garantimos que 
95% de certeza a média está presente. Caso o desvio padrão 
seja desconhecido, precisamos ter uma amostra da população, 
teremos o desvio padrão amostral. 
De acordo com as estatísticas ocorridas, conseguimos 
interpretar nossos dados, dado as variáveis e a sequência de 
vezes que determinado evento acontece.
Neste processo, algumas características são essenciais. 
Vamos aprender algumas delas no tópico seguinte.
3- Características Fundamentais
Dado as estatísticas que aprendemos nas seções 
anteriores, vamos agora aprender algumas características que 
são fundamentais para o nosso processo de simulação da 
produção.
Tudo que aprendemos até aqui, passa um processo 
simples. Vejamos na próxima fi gura:
Figura 04: Ideia genérica do Método Monte Carlo 
Quando aplicamos na prática diante de uma situação 
envolvendo diversas incertezas, realizamos a simulação 
Monte Carlo e, para otimizar e achar uma solução consistente, 
seguimos 4 padrões, são eles:
a) Modelar o problema defi nindo uma Função de 
Distribuição de Probabilidade, assim, representamos 
o comportamento de cada uma das incertezas, dado 
um problema;
b) Vamos gerar valores, “aleatórios” que tenham 
aderência a nossa função de distribuição do 
problema;
c) Vamos calcular o resultado determinístico 
substituindo as incertezas pelos valores gerados, 
para observar o problema simulado;
d) Vamos agregar e manipular os resultados da amostra 
de forma a obter uma estimativa da solução do 
problema. 
Esse tipo de método nos direciona a aproximação da 
solução, portanto, é fundamental analisar também o erro. 
Evidentemente, quanto maior a amostra, menor o erro de 
aproximação.
O passo b e c, vamos repeti-los até obter uma amostra de 
forma que seja com o tamanho desejado de realizações.
Vamos de exemplo prático?
 Aplicando os 4 passos anteriores, vamos pensar 
em dois dados. Na simulação Monte Carlo, os dados 
nos direcionam a probabilidade de ocorrências de cada 
número, nesse caso, vamos pensar no número 7, levando 
26Simulação da Produção
em consideração que nossos dados possuem 6 interfaces, 
vejamos:
a) As incertezas envolvidas serão o resultado que cada 
dado obterá ao ser jogado. Os valores pode ser de 1 
a 6, que gera uma incerteza de cada probabilidade de 
ocorrer, precisamos estimular uma função para ter 
mais resultado tendo a nossa incerteza;
b) Os dois valores do dado serão inteiros e aderentes a 
nossa função, eles vão de acordo com o resultado ao 
jogar os dados;
c) O resultado obtido vai ser determinístico, é resultado 
da soma dos dois dados que foram obtidos no passo 
b, e os valores podem ser de 2 a 12, se o valor obtido 
for 7, temos um resultado positivo.
d) Com base na nossa amostra podemos contar quantas 
vezes tivemos um resultado positivo e dividir 
pelo tamanho das nossas amostras e vamos ter a 
probabilidade de ocorrência.
Repetindo os passos b e c, conseguiremos obter uma 
amostra sufi ciente de acordo com as nossas n realizações.
Outra maneira de obter um resultado é fazer análise 
combinatória para simplifi car a amostra e a simulação se 
tornar mais evidente que o esforço no computador. Assim, 
será ilustrado um erro de aproximação. Quanto menor o erro 
de aproximação maior o esforço computacional envolvido.
4- Simulação do Método Monte Carlo 
no Excel
Bom, vamos começar esta seção aplicando um exemplo 
no Excel. Adianto que temos também outras oportunidades 
e softwares que podem nos auxiliar neste gerenciamento, 
porém, temos o Excel que é mais acessível a todos. 
Vamos lá?
Vamos fazer um passo a passo para que façam junto 
comigo. Siga os passos abaixo e acompanhem as fi guras.
Primeiramente, vamos simular os dados aleatórios, como 
faremos isso?
Vamos na ferramenta DADOS, ANÁLISE DE 
DADOS, GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS. 
Para facilitar o entendimento vamos exemplifi car com 
fi guras.
Então, primeiramente, vamos a dados, em seguida, à 
análise de dados. A fi gura vai aparecer assim no Excel para 
vocês:
Figura 5: Análise de dados.
Dentro de análise de dados vamos escolher a função 
“Geração de número aleatório”, conforme fi gura 06 a seguir.
Figura 06: Análise de dados, função geração de número aleatório.
Na sequência, vamos escolher as opções da nossa 
simulação, no exemplo abaixo, escolhemos número de 1 a 
100, escolhemos o tipo de distribuição também, que vamos 
simular a distribuição normal, escolhemos nossa média, com 
o valor de 5 e nosso desvio padrão com o valor de 1. Esse é o 
cenário que estamos propondo.
Figura 7: Geração de números aleatórios.
Em seguida, vamos escolher o intervalo de saída, que é 
onde vai aparecer nossos resultados, no Excel chamamos de 
célula. 
Inserido nossos valores, vamos ter os resultados de 1 a 
100 na célula que destinamos que foi a A2 e vamos fazer um 
gráfi co para interpretar nossos valores, os valores da nossa 
amostra.
Vamos na aba de ferramentas do Excel, inserir gráfi co, 
vamos escolher o gráfi co de linhas para interpretar nossos 
dados, nossa amostra.
Gerado o nosso gráfi co de linhas, vamos analisar nossos 
valores. Confi ram na fi gura a seguir.
Figura 8: Gráfi co linhas demonstrando simulação Monte Carlo.
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Como a média que escolhemos foi 5, nos garante que 
nossa maior frequência gira em torno de 5, os valores fi cam 
concentrados em torno de 5.Porem, nosso maior conjunto de 
dados está entre 4 e 6, representando o padrão que escolhemos 
que no caso foi nosso desvio padrão de valor igual a 1.
Isso nos mostra que 95% dos dados gerados em nossas 
variáveis aleatórias são entre 4 e 6, agora vamos visualizar 
nossos resultados através de um histograma de frequência 
que vamos gerar na mesma ferramenta da fi gura 9, mas ao 
invés de escolher gerar números aleatórios, vamos escolher 
histograma, como demonstrado na fi gura abaixo. 
Para demonstrar o histograma é necessário o comando 
da fi gura 9 a seguir.
Figura 9: Fazer histograma de frequência
Clicando em histograma, vamos escolher o intervalo de 
entrada, que no nosso caso, são as células onde estão nossos 
números aleatórios de 1 a 100, em seguida nas opções de 
saída, vamos defi nir a celular onde vai aparecer o gráfi co, 
mas nesta opção vamos assinalar a caixinha que está escrito 
“Resultado gráfi co”, para aparecer o gráfi co demonstrado os 
dados da nossa amostra.
 Feito isso, vamos analisar nosso histograma na fi gura 
a seguir.
Figura 10: Histograma representando os dados da simulação.
Podemos reparar que o nosso histograma se aproxima 
muito da distribuição normal continua. Temos que o 
histograma aparece exatamente como o funil no primeiro 
exemplo anterior com as bolinhas, que resultavam em um 
desenho similar a distribuição normal.
Observando os valores entre o 4 e o 5, que é onde vemos 
que é o maior conjunto de dados, o intervalo de confi ança 
está entre 4 e 6, que é onde ocorre o maior aparecimento e a 
maior frequência.
Nós simulamos a distribuição normal. Existem diversos 
tipos de distribuições, como a uniforme por exemplo o que 
vai diferir são os resultados gráfi cos e as entradas nas planilhas.
O método Monte Carlo, como já estudamos 
anteriormente, é um tipo de método que possui variação 
estatística, com distribuição aleatória de um parâmetro, 
uma variável, aproximando um problema simulado ou uma 
situação real, da solução através de diversas ferramentas, uma 
delas é o Excel.
Para facilitar ainda mais o entendimento, vamos aplicar 
em outro exemplo, utilizando mais ferramentas do Excel, 
como algumas funções. Vamos aprender a simular sem 
complicação.
Bom, diante do contexto atual que estamos vivendo no 
Brasil, dona Maria se viu em uma situação desesperadora e 
começou a trabalhar mais, visto que seu esposo seu João, 
perdeu o emprego, dona Maria então começou se arriscando 
e vendendo sapatilhas, por ser muito querida na região, dona 
Maria tinha uma clientela boa.
As sapatilhas tinham um preço acessível, variavam de 
R$ 25,00 a R$50,00 Reais.Querendo saber se ia ter lucro ou 
prejuízo dona Maria chamou seu neto, Paulo, para ajudar a 
simular alguns cenários.
Então, Paulo, começou a simular e nós trouxe os 
seguintes dados: como o valor de venda ia entre R$25 e R$50 
reais, a demanda média foi de 18400 unidades da sapatilha, 
a demanda pode variar para mais ou para menos, em 2500 
unidades, essas 2500 unidades será nosso desvio- padrão.
Lembrando que o desvio – padrão nos mostra o quanto 
há de variação ou dispersão existente em relação a nossa 
demanda média, no caso as 18400 unidades.
Um baixo desvio – padrão indica que os dados tendem 
a estar próximos da média e um desvio – padrão alto indica 
que os dados estão espalhados por uma determinada gama de 
valores.
A demanda média é uma variável estocástica, ou seja, 
emprega o uso estatístico do cálculo de probabilidade. Os 
custos da Matéria Prima mínimo é de R$12,00 e o máximo é 
de R$18,00, as despesas fi xas são de R$80.000,00. 
Os fornecedores são as empresas A, B, C, e D. 
A empresa A, tem um valor mínimo de 0% a 15% com 
o custo da mão de obra a R$10,00 reais.
A empresa B, tem um valor mínimo de 16% a 35% com 
o custo da mão de obra a R$12,00 reais.
A empresa C, tem um valor mínimo de 36% a 70% com 
o custo da mão de obra a R$14,00 reais.
A empresa D, tem um valor mínimo de 71% a 100% 
com o custo da mão de obra a R$17,00 reais.
Diante da simulação de Paulo, vamos achar os valores 
das nossas variáveis através de funções do Excel como: INV.
NORM. N, ALEATORIO, DESV.PAD.A, DIST.NORM. 
N e PROCV.
Mas o que signifi ca cada uma delas? 
O INV.NORM. N, retorna o inverso da distribuição 
cumulativa normal para a média específi ca e o desvio padrão.
O ALEATORIO, retorna um número aleatório real, 
maior ou igual a 0 e menor que 1. Lembrando que a essa 
função sempre pode ser atualizada e fi car alternando.
O DESV.PAD.A, calcula o desvio padrão através de 
28Simulação da Produção
uma determinada amostra, é a medida do grau de dispersão 
dos valores em relação a média.
O DIST.NORM. N, retorna à distribuição cumulativa 
normal para média especifi cada e o desvio-padrão, essa 
função tem uma enorme variedade de aplicações estatísticas.
O PROCV serve basicamente para procurar valores 
específi cos em uma planilha e eximir resumidamente, ou seja, 
quando você tem um documento com inúmeros dados, mas 
precisa sintetizar algumas dessas informações em outra.
Para calcular a demanda vamos utilizar a função 
INV.NORM.N e a célula que acompanha vai solicitar a 
probabilidade, média e o desvio padrão. Nesse caso, como 
não temos o valor da probabilidade, vamos utilizar o aleatório 
para simulação, vamos travar os valores também para que não 
haja muita dispersão nos valores fi xos, como o da média e o 
desvio-padrão
Figura 11: Função INV. NORM. N.
Como anteriormente, vamos fazer a fórmula no cenário 
1 da demanda e arrastar para completar os seguintes valores. 
É necessário lembrar que vamos travar as nossas células que 
encontram o valor da demanda e do desvio padrão, com $ dos 
dois lados da letra.
Vamos visualizar a fi gura 12 a seguir para acompanharmos 
os cenários de demanda completos. Para acompanhar o 
preenchimento do quadro, siga os passos abaixo da fi gura 12.
 
Figura 12: Resultados estimados.
Depois de estimado a nossa demanda, vamos ao 
nosso PREÇO DE VENDA, que utilizaremos a fórmula 
= MENOR VALOR + (MAIOR VALOR - MENOR 
VALOR) * ALEATORIO ().
Estimando o Custo de Matéria-Prima, vamos utilizar a 
mesma fórmula do PRECO DE VENDA, ou seja, vamos 
implementar no Excel = MENOR VALOR + (MAIOR 
VALOR - MENOR VALOR) * ALEATORIO (). 
Estimando o Custo de Mão de Obra, vai variar conforme 
os valores que foram simulados para os fornecedores A, B, C 
e D, neste caso vamos utilizar a função PROCV.
De acordo com os valores simulados por Paulo, temos 
os fornecedores na sequência A, B, C e D, na fi gura a seguir.
 
Figura: Matriz utilizada para o cálculo do PROCV
Para calcular essa função, vamos implementar no 
Excel a seguinte fórmula = PROCV (ALEATORIO (); os 
valores da matriz acima, número de índice de colunas (3); 
VERDADEIRO), assim serão simulados valores entre nosso 
intervalo escolhido.
Temos a coluna de Custo Fixo, que é R$80.000,00 e não 
varia, pois é fi xo, e então vamos calcular nosso lucro, mas 
como vamos achar o lucro do nosso modelo simulado?
A fórmula que vamos inserir é Preço de venda – Custo 
de Matéria Prima – Custo de Mão de Obra * Demanda – 
Custo Fixo.
Inserindo esses valores, vamos ter nosso lucro ou 
prejuízo na fi gura x. Os valores que aparecerem em vermelho 
são considerados prejuízo e os valores que aparecem em 
verde são lucros. 
Para fazer o balanço fi nal do exemplo, vamos achar, 
então, o lucro médio, desvio padrão dados nossos valores 
estimados e a probabilidade de ser menor que zero os nossos 
valores.
Como resultado fi nal, vamos calcular nosso lucro médio, 
que é a nossa média do lucro todo, da nossa última coluna da 
fi gura x, inserindo = MÉDIA e selecionando toda a coluna 
de lucro.
Calculando o lucro, vamos achar o desvio-padrão 
inserindo = DESV.PAD.A e selecionamos a coluna do lucro. 
Observem a fi gura a seguir.
Figura 13: Resultado fi nal da simulação da Dona Maria.
Então, signifi ca que os lucros estão bem distantes da 
média.
Estamos quase no fi nal da nossa simulação, agora 
vamos calcular a probabilidade de lucro ou prejuízo do nosso 
negócio.
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A probabilidade que chamamos de P (X<0), inserimos a 
função DIST.NORM.N, colocando, = (DIST.NORM.N; 0; 
lucro médio; Verdade), com essa fórmula, vamos descobrir 
a probabilidade do lucro ser menor que 0, ou seja, de termos 
prejuízo ou lucro.
Diante das simulações geradas, qual a probabilidade de 
dar prejuízo neste cenário estimado por Paulo?
Como nosso resultado foi de 24,58%, concluímos que 
temos essa porcentagem de probabilidade de dar prejuízo.
Chegamos ao fi nal de mais uma aula. Tudo certo até 
aqui? Vamos recordar!
Retomando a aula
1- O que é Simulação de Monte Carlo?
Nesta seção, aprendemos o que é simulação da produção, 
vimos algumas áreas que podem ser aplicadas e entendemos 
algumas características essenciais que precisamos utilizar 
quando simularmos algum modelo etc.
2- Como funciona a simulação de Monte Carlo
Nesta seção, aprendemos como funciona o Monte Carlo. 
Vimos que a base da simulação de Monte Carlo é a estatística, 
então, já aprendemos alguns conceitos como: distribuição 
normal, intervalos de confi ança. No próximo tópico vamos 
aprender sobre algumas características fundamentais para 
continuar utilizando Monte Carlo na simulação.
3- Características Fundamentais
Nesta seção, aprendemos as características fundamentais 
que são aplicadas ao Método Monte Carlo. Aprendemos 
sobre a maneira genérica que o método é aplicado. Também 
vimos os padrões para guiar o nosso estudo, e, em seguida, 
vamos aprender a simular no Excel.
4- Simulação do Método Monte Carlo no Excel
Nesta seção, vimos o método Monte Carlo. Aprendemos 
as suas diversifi cadas funções, conhecemos ferramentas 
do Excel, entendemos para que serve algumas funções, 
aprendemos a fazer uma simulação de Monte Carlo, 
aprendemos a simular utilizando o Excel, vimos alguns 
resultados através do gráfi co e do histograma e verifi camos 
como analisar o gráfi co e histograma dentro da simulação que 
estimamos como exemplo para o nosso entendimento. 
Até a próxima aula!
Disponível em: https://blog.luz.vc/como-fazer/
simulacao-de-monte-carlo/.
Vale a pena acessar
https://www.youtube.com/watch?v=bpz9I1gngWI.
Vale a pena assistir
https://revista.pgsskroton.com/index.php/rcger/
article/view/2032.
Vale a pena ler
Vale a pena
Minhas anotações