Variáveis aleatórias discretas unidimensionais

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DESCRIÇÃO
Introdução a variáveis aleatórias discretas, distribuições Bernoulli e binomial, distribuições geométrica e hipergeométrica, distribuição
de Poisson.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias discretas e as principais distribuições discretas de probabilidade.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais
MÓDULO 2
Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial
MÓDULO 3
Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica
MÓDULO 4Processing math: 39%
Descrever a distribuição de Poisson
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS
MÓDULO 1
 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais
INTRODUÇÃO
Iniciaremos o estudo de um dos tópicos mais importantes da teoria das probabilidades. Aqui serão vistos todos os conceitos
fundamentais que nos levarão ao bom entendimento de variáveis aleatórias discretas unidimensionais e das principais distribuições
de probabilidades discretas.
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X que associa o número real
X(s) a cada elemento s ∈ S é chamada variável aleatória.
X : S → ℝ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 39%
EXEMPLO
Considere o experimento aleatório de lançar 3 moedas. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras nesse
experimento.
S = { (C, C, C), (C, C, K), ... , (K, K, K)}
X : S → R, onde os valores que X assume são 0, 1, 2 e 3. Por exemplo:
X({C, C, C)) = 3, X((C, C, K) = 2, ... X((K, K, K) = 0.
Seja X uma variável aleatória que representa o número de acidentes de trânsito por dia em determinado local.
X = {0, 1, 2, 3, …}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Seja X uma variável aleatória. Se os possíveis valores assumidos por X forem finitos ou infinitos enumeráveis, dizemos que X é uma
variável aleatória discreta.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
(FUNÇÃO DE MASSA DE PROBABILIDADE)
É uma função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória uma probabilidade dada por:
P(X = X) OU SIMPLESMENTE P(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devendo satisfazer às seguintes condições:
I P XI > 0
II ∑ P XI = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
) ( )
) ( )
Processing math: 39%
3. Considere o exemplo do lançamento de 3 moedas. Determine a distribuição da probabilidade desse experimento e obtenha seu
respectivo gráfico.
X 0 1 2 3 Somatório
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Fonte: Wikipedia
FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (REPARTIÇÃO)
Seja X uma variável aleatória discreta. Define-se por função distribuição acumulada a seguinte expressão:
FX(X) = P(X ≤ X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
A) LIM
X → - ∞
FX(X) = FX(-∞) = 0
B) LIM
X → ∞
FX(X) = FX(∞) = 1
C) P(A < X ≤ B) = F(B) - F(A)
D) SE X1 < X2 → F X1 X1 < F X2 X2
E) FX X É CONTÍNUA À DIREITA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )( ) ( )( )
( )
Processing math: 39%
EXEMPLO
4. Exemplo do lançamento das 3 moedas. Determine a função distribuição acumulada.
FX(X) =
 0 , SE X < 0, P(X < 0) = 0 
1
8 , SE 0 ≤ X < 1, FX(0) = P(X ≤ 0) =
1
8
4
8 , SE 1 ≤ X < 2, FX(1) = P(X ≤ 1) =
1
2
7
8 , SE 2 ≤ X < 3, FX(2) = P(X ≤ 2) =
7
8
 1 , SE X ≥ 3, FX(3) ≤ P(X ≤ 3) = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESPERANÇA MATEMÁTICA
(VALOR ESPERADO OU MÉDIA)
Seja X uma variável aleatória. O valor esperado ou média de uma variável aleatória é representado pela seguinte expressão:
ΜX = E(X) = ∑
X
X. P(X = X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
5. Exemplo das 3 moedas. Seja X: “Número de caras no lançamento de 3 moedas”. Então, a esperança matemática de X é dada por:
E(X) = 0. P(X = 0) + 1. P(X = 1) + 2. P(X = 2) + 3. P(X = 3) E(X) = 0.
1
8 + 1.
3
8 + 2.
3
8 + 3.
1
8 =
3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
Considere X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes. Então:
a) E(aX)=a.E(X);
{
Processing math: 39%
b) E(aX±b)=a.E(X)±b;
c) E(aX±bY)=a.E(X)±b.E(Y);
d) E(XY)=E(X).E(Y), se X e Y forem independentes; e
e) E(XY)=E(X).E(Y)+cov(X,Y), se X e Y não forem independentes.
Em que cov(X,Y)=[(X-E(X))(Y-E(Y))] é chamada covariância de X e Y.
VARIÂNCIA
Seja X uma variável aleatória discreta. Então, a variância de X é dada por:
V(X) = ∑
X
X - ΜX 2P(X = X)
V(X) = E X - X̄ 2 = E X2 - E(X)2, EM QUE E X2 = ∑
X
X2P(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
Sejam X e Y variáveis aleatórias e a e b constantes, então:
a)V(a) = 0
b) V(aX + b) = a2. V(X)
c) V (X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem independentes, caso contrário:
d) V aX ± bY = a2. V X + b2. V Y ± 2ab. cov X, Y , Em que cov(X,Y)=E(XY)-E(X).E(Y) é a covariância.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA MOEDA HONESTA. JOGA-SE ESSA MOEDA 4 VEZES. SEJA X A VARIÁVEL
ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE CARAS. QUAIS OS POSSÍVEIS VALORES DESSA
VARIÁVEL ALEATÓRIA?
A) {0, 1, 2, 3}
B) {1, 2, 3}
C) {0, 1, 2, 3, 4}
D) {1, 2, 3, 4}
E) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
( )
[( ) ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Processing math: 39%
2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O VALOR ESPERADO DO NÚMERO DE
CARAS?
A) 1
B) 2
C) 5/2
D) 3
E) 10/3
3. UM JOGADOR PARTICIPA DE UM JOGO DE APOSTA QUE CONSISTE EM LANÇAR UM DADO. SE O
DADO RESULTAR EM FACE 6, ELE GANHA R$10,00, CASO CONTRÁRIO, ELE PERDE R$5,00. DEPOIS
DE 2 RODADAS, OU SEJA, DE LANÇARMOS O DADO DUAS VEZES, QUAL A PROBABILIDADE DESSE
JOGADOR TER GANHO POSITIVO?
A) 1/36
B) 1/6
C) 5/18
D) 11/36
E) 1/3
4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA O GANHO ESPERADO DO JOGADOR?
A) -5
B) 0
C) 5
D) 10
E) 20
5. SUPONHA QUE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TENHA A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO DE
PROBABILIDADE:
X 0 1 2 3
P(X = X) 0,10 0,30 0,40 0,20
DETERMINE A FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA X = 2.
Processing math: 39%
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 0,1
B) 0,3
C) 0,4
D) 0,7
E) 0,8
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR, QUAL SERIA A VARIÂNCIA DA VARIÁVEL ALEATÓRIA
X?
A) 0,81
B) 1,7
C) 3,7
D) 4,2
E) 4,64
GABARITO
1. Considere uma moeda honesta. Joga-se essa moeda 4 vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de
caras. Quais os possíveis valores dessa variável aleatória?
A alternativa "C " está correta.
Veja que, no lançamento de uma moeda 4 vezes, podem ocorrer de 0 a 4 faces cara!
2. Considerando o enunciado anterior, qual seria o valor esperado do número de caras?
A alternativa "B " está correta.
Para determinar o valor esperado de X, precisamos inicialmente apontar a distribuição de probabilidade de X, ou seja, definir a
probabilidade de cada um dos seus possíveis valores. Para facilitar o cálculo dessas probabilidades, considere o seguinte espaço
amostral associado ao experimento de lançar 4 moedas:
S =
(C, C, C, C), (C, C, C, K), (C, C, K, C), (C, K, C, C), (K, C, C, C), (C, C, K, K), (C, K, C, K),
(C, K, K, C), (K, C, C, K), (K, C, K, C), (K, K, C, C), (K, K, K, C), (K, K, C, K), (K, C, K, K),
(C, K, K, K), (K, K, K, K)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
X 0 1 2 3 4
{ }
Processing math: 39%
P(X = x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando o resultadodas probabilidades, temos:
X 0 1 2 3 4
P(X = x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o valor esperado de X é dado por:
E(X) = 0. P(X = 0) + 1. P(X = 1) + 2. P(X = 2) + 3. P(X = 3) + 4. P(X = 4)
E(X) = 0.
1
16 + 1.
1
4 + 2.
3
8 + 3.
1
4 + 4.
1
16 =
1
4 +
3
4 +
3
4 +
1
4 =
8
4 = 2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
3. Um jogador participa de um jogo de aposta que consiste em lançar um dado. Se o dado resultar em face 6, ele ganha
R$10,00, caso contrário, ele perde R$5,00. Depois de 2 rodadas, ou seja, de lançarmos o dado duas vezes, qual a
probabilidade desse jogador ter ganho positivo?
A alternativa "D " está correta.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
4. Considerando o enunciado anterior, qual seria o ganho esperado do jogador?
A alternativa "A " está correta.
Para calcular o ganho esperado, basta aplicar a fórmula da esperança matemática
E(X) = ( - 10). P(X = - 10) + 5. P(X = 5) + 20. P(X = 20)
E(X) = (-10).
25
36 + 5.
10
36 + 20.
1
36 =
- 250
36 +
50
36 +
20
36 =
- 180
36 = - 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 39%
5. Suponha que uma variável aleatória tenha a seguinte distribuição de probabilidade:
X 0 1 2 3
P(X = x) 0,10 0,30 0,40 0,20
Determine a função de distribuição acumulada para X = 2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Observe que a função de distribuição acumulada é dada por:
FX(X) =
0, SE X < 0 P(X < 0) = 0
0,1, SE 0 ≤ X ≤ 1 FX 0 = P X ≤ 0 = 0,1 
0,4, SE 1 ≤ X < 2 FX 1 = P X ≤ 1 = 0,1 + 0,3 = 0,4
0,8, SE 2 ≤ X < 3 FX 2 = P X ≤ 2 = 0,1 + 0,3 + 0,4 = 0,8
1, SE X ≥ 3 FX 3 = P X ≤ 3 = 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, Fx(2)=0,8
6. Considerando o enunciado anterior, qual seria a variância da variável aleatória X?
A alternativa "A " está correta.
Note que a variância de X é dada por:
V (X) = E X2 - E(X)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,3 + 2 × 0,4 + 3 × 0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
E X2 = 02 × 0,1 + 12 × 0,3 + 22 × 0,4 + 32 × 0,2 = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
V(X) = 3, 7 - (1, 7)2 = 0, 81
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 39%
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um banco oferece seguro residencial que cobre acidentes como incêndio e catástrofe no valor de R$100.000,00. Esse banco cobra
do segurado uma taxa anual de R$1.000,00. Sabendo que a probabilidade de ocorrer incêndio ou qualquer tipo de catástrofe em um
ano é de 0,001, qual será o lucro esperado por cliente do banco?
RESOLUÇÃO
ESPERANÇA (VALOR ESPERADO)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA FAMÍLIA PRETENDE TER 3 FILHOS. SUPONDO QUE A CHANCE DE TER UM MENINO É A
MESMA DE TER UMA MENINA, E SENDO X A VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE REPRESENTA O NÚMERO DE
MENINAS, DETERMINE A CHANCE DE X SER NO MÍNIMO IGUAL A 2.
A) 1/8
B) 3/8
C) 1/2
D) 5/8
E) 7/8
2. UM ESTUDANTE PODE ESCOLHER NO MÍNIMO UMA E NO MÁXIMO 4 DISCIPLINAS PARA FAZER NO
SEMESTRE. A PROBABILIDADE DE QUE O ESTUDANTE ESCOLHA 1, 2, 3 OU 4 DISCIPLINAS NO
SEMESTRE É DE, RESPECTIVAMENTE, 1/20, 1/4, 2/5 E 3/10. SABENDO QUE PARA CADA DISCIPLINA
ESCOLHIDA ELE PAGA R$300,00, QUAL É A DESPESA ESPERADA DESSE ESTUDANTE?
Processing math: 39%
A) 525
B) 640
C) 735
D) 885
E) 910
GABARITO
1. Uma família pretende ter 3 filhos. Supondo que a chance de ter um menino é a mesma de ter uma menina, e sendo X a
variável aleatória que representa o número de meninas, determine a chance de X ser no mínimo igual a 2.
A alternativa "C " está correta.
Para resolver a questão, precisamos determinar inicialmente a distribuição de probabilidade de X. Assim,
X 0 1 2 3
P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) =
3
8 +
1
8 =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um estudante pode escolher no mínimo uma e no máximo 4 disciplinas para fazer no semestre. A probabilidade de que o
estudante escolha 1, 2, 3 ou 4 disciplinas no semestre é de, respectivamente, 1/20, 1/4, 2/5 e 3/10. Sabendo que para cada
disciplina escolhida ele paga R$300,00, qual é a despesa esperada desse estudante?
A alternativa "D " está correta.
Considere a variável aleatória D: “Despesa com disciplina”. Então, para uma disciplina, o estudante terá uma despesa de R$300,00,
para duas disciplinas terá uma despesa de R$600,00, e assim por diante, de forma que a distribuição de probabilidade de X é dada
por:
D 300 600 900 1200
P(D = d) 1/8 3/8 3/8 1/8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E(D) = 300.
1
20 + 600.
1
4 + 900.
2
5 + 1200.
3
10 = 15 + 150 + 360 + 360 = 885
Processing math: 39%
Logo, a despesa esperada será de R$885,00.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial
INTRODUÇÃO
A ideia do estudo das distribuições de probabilidade é determinar uma formulação matemática para fenômenos que ocorrem
frequentemente no cotidiano ou que se deseja calcular. A seguir, apresentaremos duas das principais distribuições discretas de
probabilidade que têm características em comum e muitas aplicações práticas.
DISTRIBUIÇÕES DE BERNOULLI E BINOMIAL
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI
Considere uma única tentativa de um experimento que só tem dois possíveis resultados: Sucesso com probabilidade p e fracasso
com probabilidade q, na qual p+q=1.
Seja a variável aleatória X que representa o sucesso nessa única tentativa. Então, podemos dizer que X pode assumir dois valores: 0
(fracasso) e 1 (sucesso).
X 0 1
P(X=x) q p
Assim, a função de probabilidade da variável X pode ser dada por:
Processing math: 39%
P(X = X) = PX. Q1 - X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~BERNOULLI(P)
ESPERANÇA MATEMÁTICA (MÉDIA)
Como vimos, o conceito de esperança ou média é mais uma informação que é interessante conhecermos sobre a distribuição de
probabilidade. Assim,
E(X) = 0. Q + 1. P = P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÂNCIA
Assim como a média, a variância é outra informação importante sobre o comportamento da dispersão em torno da média da
distribuição de probabilidade. Dessa forma,
V(X) = E X2 - E(X)2
COMO E X2 = 02. Q + 12. P = P E E(X) = P
V(X) = E X2 - E(X)2 = P - P2 = P. (1 - P) = P. Q
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Observe que o desenvolvimento da distribuição de Bernoulli servirá como passo inicial para a formulação matemática de problemas
que já resolvemos na parte de probabilidade básica. No entanto, essa distribuição é limitada pelo fato de termos apenas uma única
tentativa no experimento.
Veremos a seguir uma generalização da distribuição de Bernoulli.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
( )
( )
( )
Processing math: 39%
A distribuição binomial abrange uma quantidade significativa de aplicações e, por isso, tem grande importância dentro do estudo das
probabilidades.
Vejamos como se caracteriza e quais informações podemos obter dessa distribuição.
Considere agora n tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento que admite apenas dois possíveis resultados:
Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, na qual p+q=1.
Seja X = o número de sucessos nas n tentativas .
Desejamos determinar a função de probabilidadede X, ou seja, P(X=x). Desse modo, considere inicialmente um resultado particular
(RP) dado por:
RP → SSS…S
⏟
K
FFF…F
⏟
N - K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as tentativas são sucessivas e independentes, temos:
P(RP) = P SSS…S
⏟
K
FFF…F
⏟
N - K
= PK. QN - K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando todas as possíveis maneiras de combinar os sucessos, temos:
P(X = K) =
N
K P
K(1 - P)N - K, K = 0, 1, …, N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~B(N,P)
EXEMPLO
1. Considere um atirador amador que tem 50% de chances de acertar um alvo. Suponha que atirou 40 vezes em um alvo. Qual a
probabilidade do atirador ter acertado o alvo 15 vezes?
Solução:
P(X = 15) =
40
15 .
1
2
15
.
1
2
25
= 0,036
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A chance de sucesso do atirador é de aproximadamente 4%, apenas.
( )
( )
( ) ( ) ( )
Processing math: 39%
ESPERANÇA MATEMÁTICA
E(X) = ∑
X
X. P(X) = ∑ NX = 0X.
N
X P
X(1 - P)N - X = ∑ NX = 1X.
N
X P
X(1 - P)N - X =
= ∑ NX = 1X.
N !
X . ( X - 1 ) ! . ( N - X ) ! . P
X(1 - P)N - X = ∑ NX = 1
N !
( X - 1 ) ! . ( N - X ) ! . P
X(1 - P)N - X
FAÇA Y = X-1
= ∑ N - 1Y = 0
N . ( N - 1 ) !
Y ! . ( N - Y - 1 ) ! . P
Y + 1(1 - P)N - Y - 1 = ∑ N - 1Y = 0N.
N - 1
X - 1 . P
Y. P1. (1 - P)N - X =
= NP∑ N - 1Y = 0
N - 1
Y . P
Y. (1 - P) ( N - 1 ) - Y
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do binômio de Newton, temos (x + a)n = ∑ nk = 0
n
k x
kan - k, daí por analogia
∑ N - 1Y = 0
N - 1
Y . P
Y. (1 - P) ( N - 1 ) - Y = (P + (1 - P))N = 1N = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
E(X) = NP
VARIÂNCIA
Vimos que a variância de uma variável aleatória é dada por:
V(X) = E X2 - E(X)2
Como já calculamos E(X) no item anterior, precisamos calcular a E(X2 ). Assim,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Processing math: 39%
E X2 = ∑
X
X2. P(X) = ∑ NX = 0X
2.
N
X P
X(1 - P)N - X = ∑ NX = 1X
2.
N
X P
X(1 - P)N - X =
= ∑ NX = 1 X(X - 1) + X.
N
X P
X(1 - P)N - X =
= ∑ NX = 1X(X - 1).
N
X P
X(1 - P)N - X + ∑ NX = 1X.
N
X P
X(1 - P)N - X
⏟
NP
=
= ∑ NX = 2X(X - 1).
N
X P
X(1 - P)N - X + NP = ∑ NX = 2
N !
( X - 2 ) ! ( N - X ) ! P
X(1 - P)N - X =
= N N - 1 . P2∑ NX = 2
N - 2
X - 2 P
X - 2
(1 - P)N - X + NP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo y = x-2, temos:
E X2 = N (N - 1). P2∑ N - 2Y = 0
N - 2
Y P
Y
(1 - P)N - Y - 2
⏟
( P + ( 1 - P ) ) N - 2 = 1
+ NP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
𝐸𝑋2 = 𝑛(𝑛 - 1) . 𝑝2 + 𝑛𝑝
Agora, calculando a variância de X, temos:
𝑉𝑋 = 𝐸𝑋2 - 𝐸𝑋2 = 𝑛(𝑛 - 1) .𝑝2 + 𝑛𝑝 - 𝑛𝑝2 =
= 𝑛2 𝑝2 - 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝 - 𝑛2 𝑝2 = 𝑛𝑝 - 𝑛𝑝2 = 𝑛𝑝1 - 𝑝 = 𝑛𝑝𝑞
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝑉𝑋 = 𝑛𝑝𝑞
MÃO NA MASSA
( ) ( ) ( )
[ ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 39%
1. UM DADO É LANÇADO UMA ÚNICA VEZ. SEJA A VARIÁVEL ALEATÓRIA X QUE REPRESENTA A
RETIRADA DE UM NÚMERO PAR NESSE ÚNICO LANÇAMENTO. QUAL O VALOR ESPERADO DE X?
A) 1/6
B) 1/4
C) 1/3
D) 1/2
E) 2/3
2. UMA MOEDA NÃO VICIADA É LANÇADA 10 VEZES. DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE OBTER
EXATAMENTE 2 CARAS.
A) 0,01
B) 0,04
C) 0,07
D) 0,10
E) 0,15
3.CONSIDERANDO O ENUNCIANDO DA QUESTÃO ANTERIOR, A PROBABILIDADE DE OBTERMOS NO
MÍNIMO 2 CARAS É APROXIMADAMENTE:
A) 0,90
B) 0,92
C) 0,95
D) 0,97
E) 0,99
4. UM CASAL QUER TER 5 FILHOS. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE, DESSES 5 FILHOS, NO MÁXIMO
UM SEJA MENINO? ADMITA QUE A PROBABILIDADE DE NASCER MENINO SEJA IGUAL A DE NASCER
MENINA.
A) 0,112
B) 0,157
C) 0,188
D) 0,212
E) 0,250
Processing math: 39%
5. NUMA FÁBRICA DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS, 2% DA PRODUÇÃO É FORMADA POR ITENS
DEFEITUOSOS. UM LOTE É ACEITO PELO COMPRADOR SE TIVER NO MÁXIMO 3% DOS
DISPOSITIVOS DEFEITUOSOS. ADMITA QUE UM LOTE TENHA 100 DISPOSITIVOS. QUAL A
PROBABILIDADE QUE O COMPRADOR REJEITE O LOTE?
A) 0,14
B) 0,20
C) 0,25
D) 0,30
E) 0,33
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE
DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS DEFEITUOSOS EM 10 LOTES.
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
GABARITO
1. Um dado é lançado uma única vez. Seja a variável aleatória X que representa a retirada de um número par nesse único
lançamento. Qual o valor esperado de X?
A alternativa "D " está correta.
Note que a variável aleatória X se caracteriza como uma distribuição de Bernoulli, pois temos uma única tentativa de um
experimento, nesse caso, o lançamento do dado, com dois resultados possíveis, sucesso quando o resultado do dado for
par e fracasso quando o resultado for ímpar. Além disso, sabemos que o valor esperado da distribuição de Bernoulli é p,
que é a probabilidade de sucesso, portanto, a resposta é 1/2, visto que p = 3/6 = 1/2.
2. Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes. Determine a probabilidade de se obter exatamente 2 caras.
A alternativa "B " está correta.
Seja X: “Obter cara no lançamento de uma moeda”. Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuição
binomial, visto que temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento, que nesse caso é o lançamento da
moeda. Além disso, só temos dois resultados possíveis para a variável aleatória que conta o número de caras, sucesso com
probabilidade p = 1/2 e fracasso com probabilidade q = 1/2. Assim,
𝑆𝑒 𝑋~𝐵𝑛,𝑝 ⇒ 𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝑥𝑝
𝑥 1 - 𝑝𝑛 - 𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
𝑃𝑋 = 2 = 102
1
2
2 1
2
8 = 0,044Processing math: 39%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3.Considerando o enunciando da questão anterior, a probabilidade de obtermos no mínimo 2 caras é aproximadamente:
A alternativa "E " está correta.
Considere a variável aleatória X que representa o resultado cara.
𝑃𝑋 ≥ 2 = 1 - 𝑃𝑋 < 2 = 1 - 𝑃𝑋 = 0 + 𝑃𝑋 = 1
= 1 - 100
1
2
0 1
2
10 + 101
1
2
1 1
2
9 = 0,9893
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um casal quer ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que, desses 5 filhos, no máximo um seja menino? Admita que a
probabilidade de nascer menino seja igual a de nascer menina.
A alternativa "C " está correta.
Seja a variável aleatória X que representa o número de meninos. Logo,
𝑃𝑋 ≤ 1 = 𝑃𝑋 = 0 + 𝑃𝑋 = 1 = 50
1
2
0 1
2
5 + 51
1
2
1 1
2
4 = 0,188
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Numa fábrica de dispositivos eletrônicos, 2% da produção é formada por itens defeituosos. Um lote é aceito pelo
comprador se tiver no máximo 3% dos dispositivos defeituosos. Admita que um lote tenha 100 dispositivos. Qual a
probabilidade que o comprador rejeite o lote?
A alternativa "A " está correta.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine o número médio de dispositivos eletrônicos defeituosos em 10
lotes.
A alternativa "C " está correta.
Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parâmetros n e p é igual a np, temos:
𝐸𝑋 = 𝑛𝑝 = 100 × 0,02 = 2
Como queremos a média para 10 lotes, temos: 10×2=20 dispositivos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
Processing math: 39%
TEORIA NA PRÁTICA
Um aluno está cursando a disciplina de Estatística na faculdade de Engenharia. Nas duas primeiras avaliações ele obteve
notas 10 e 9, respectivamente. No entanto, falta ainda a última avaliação na qual professor aplicará um teste de múltipla
escolha contendo 50 questões, cada uma com 5 itens. Sabe-se que a média para passar na disciplina é 7 e que o aluno só
precisa obter uma nota 2 para ser aprovado. O aluno, acreditando estar praticamente aprovado na disciplina, decide nãoestudar. Na aplicação do teste, ele observa que não sabe nenhuma das questões e decide escolher aleatoriamente os itens
de todas as perguntas. Qual a probabilidade desse aluno obter exatamente um 2 nesse teste?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA FÁBRICA DE MOTORES DE VENTILADORES MONTA 120 MOTORES POR MÊS E SEPARA 20
ITENS PARA INSPEÇÃO. SABE-SE QUE, DOS MOTORES MONTADOS MENSALMENTE, 6 NÃO
FUNCIONAM. QUAL A PROBABILIDADE DE TODOS OS MOTORES INSPECIONADOS FUNCIONAREM
BEM?
A) 0,05
B) 0,12
C) 0,15
D) 0,30
E) 0,36
2. UMA COMPANHIA REALIZA INSPEÇÃO EM CARREGAMENTOS DE FORNECEDORES, DE MODO A
DETERMINAR PRODUTOS NÃO CONFORMES. CONSIDERE QUE UM LOTE CONTENHA 1000 ITENS,
SENDO 1% DOS PRODUTOS NÃO CONFORMES. QUAL É O TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA, DE
Processing math: 39%
MODO QUE A PROBABILIDADE DE ESCOLHER, NO MÍNIMO, UM ITEM NÃO CONFORME NA AMOSTRA,
SEJA NO MÍNIMO 0,90?
A) 200
B) 212
C) 220
D) 229
E) 241
GABARITO
1. Uma fábrica de motores de ventiladores monta 120 motores por mês e separa 20 itens para inspeção. Sabe-se que, dos
motores montados mensalmente, 6 não funcionam. Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem
bem?
Seja a variável aleatória X: “O motor funcionar”. Assim, calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a
determinar a probabilidade que nenhum funcione. Daí,
𝑃𝑋 = 0 = 200 0,05
0 0,9520 = 0,3585
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes.
Considere que um lote contenha 1000 itens, sendo 1% dos produtos não conformes. Qual é o tamanho necessário da
amostra, de modo que a probabilidade de escolher, no mínimo, um item não conforme na amostra, seja no mínimo 0,90?
Seja X a variável aleatória que representa a quantidade de itens não conformes. Dessa forma, podemos dizer que X segue
um binomial (n, p = 0,01). Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no mínimo um item não conforme
na amostra seja de, no mínimo, 0,90.
𝑃𝑋 ≥ 1 ≥ 0,9 ⇒ 1 - 𝑃𝑋 < 1 ≥ 0,90 ⇒ 𝑃𝑋 = 0 ≤ 0,1
⇒ 𝑛00,01
0 0,99𝑛 ≤ 0,1 ⇒
⇒ 0,99𝑛 ≤ 0,1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver essa desigualdade, aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade. Assim,
ln0,99𝑛 ≤ ln0,1 ⇒ 𝑛 ≤ ln 0,1ln 0,99 = 229,11 ≃ 229
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 39%
MÓDULO 3
 Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica
INTRODUÇÃO
A seguir veremos mais duas distribuições de probabilidades com características parecidas com as distribuições de
probabilidades anteriores, mas que mantêm suas próprias particularidades e que também contemplam uma vasta gama de
aplicações. Neste módulo, tal como fizemos no anterior, vamos partir da caracterização das distribuições geométrica e
hipergeométrica e, em seguida, trataremos das informações (média e variância) inerentes a essas distribuições.
DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E HIPERGEOMÉTRICA
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatório que só admite dois possíveis resultados:
Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q, em que p+q=1.
Seja a variável aleatória X: “Número de tentativas até a ocorrência do 1º sucesso”. Assim, X pode assumir os seguintes
valores:
𝑋 = 1 → 𝑆 → 𝑃𝑋 = 1 = 𝑝
𝑋 = 2 → 𝐹𝐹𝑆 → 𝑃𝑋 = 2 = 𝑞𝑝
𝑋 = 3 → 𝐹𝐹𝐹𝑆 → 𝑃𝑋 = 3 = 𝑞2 𝑝
⋮
𝑋 = 𝑘 → 𝐹𝐹𝐹 … 𝐹⏟
𝑘 - 1
 𝑆 → 𝑃𝑋 = 𝑘 = 𝑞𝑘 - 1 𝑝
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 39%
Logo, a função de probabilidade de X é:
𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑞𝑥 - 1 .𝑝 = 1 - 𝑝𝑥 - 1 𝑝
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~G(P)
EXEMPLO
1. A chance de encontrar o monitor de Estatística na sala de monitoria é de 20%. Qual a probabilidade de que um aluno
tenha que ir à sala do monitor 4 vezes para encontrá-lo pela primeira vez?
Solução:
𝑃𝑋 = 4 = (0,8)4 - 1 . 0,2 = 0,83 . 0,2 = 0,1024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A probabilidade de que o aluno vá até a sala do monitor 4 vezes até encontrá-lo pela primeira vez é de
aproximadamente 10%.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
𝐸𝑋 = ∑
𝑥
𝑥 .𝑝𝑥 = ∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥 . 𝑞𝑥 - 1 .𝑝 = 𝑝 . ∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥 . 𝑞𝑥 - 1 = 𝑝 . ∑
𝑥 = 1
∞ 𝑑
𝑑𝑞𝑞
𝑥 = 𝑝 . 𝑑𝑑𝑞 ∑𝑥 = 1
∞ 𝑞𝑥
𝐸𝑋 = 𝑝 . 𝑑𝑑𝑞
𝑞
1 - 𝑞 = 𝑝
1 - 𝑞 - 1 . 𝑞
𝑝2
= 1𝑝
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, E(x)=1/p
VARIÂNCIA
De acordo com os conceitos vistos no módulo inicial, a variância é definida por:
V(X)=E(X2)-E(X)2
Como já conhecemos o valor da esperança, temos agora que determinar:
Processing math: 39%
𝐸𝑋2 = ∑
𝑥
𝑥2 .𝑝𝑥 = ∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥2 . 𝑞𝑥 - 1 .𝑝 = 𝑝∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥2 . 𝑞𝑥 - 1 = 𝑝∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥𝑥 - 1 + 𝑥 . 𝑞𝑥 - 1 =
= 𝑝∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥𝑥 - 1 . 𝑞𝑥 - 1 + 𝑝∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥 . 𝑞𝑥 - 1
⏟
𝐸𝑋 = 1𝑝
= 𝑝𝑞∑
𝑥 = 1
∞ 𝑥𝑥 - 1 . 𝑞𝑥 - 2 + 1𝑝 =
= 𝑝𝑞∑
𝑥 = 1
∞ 𝑑2
𝑑𝑞2
𝑞𝑥 + 1𝑝 = 𝑝𝑞 𝑑
2
𝑑𝑞2
∑
𝑥 = 1
∞ 𝑞𝑥
⏟
𝑞
1 - 𝑞
+ 1𝑝 = 𝑝𝑞 𝑑
2
𝑑𝑞2
𝑞
1 - 𝑞 +
1
𝑝 =
= 𝑝𝑞 2
(1 - 𝑞)3
+ 1𝑝 =
2𝑝𝑞
𝑝3
+ 1𝑝 =
2𝑞 + 𝑝
𝑝2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
𝑉𝑋 = 2𝑞 + 𝑝
𝑝2
- 1𝑝
2 ⇒ 𝑉𝑋 = 𝑞
𝑝2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
𝑉𝑋 = 𝑞
𝑝2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
Considere uma população com N elementos dos quais r têm determinada característica. A retirada de um desses r
elementos é definida como sucesso. Retiramos dessa população uma amostra sem reposição de tamanho n.
Seja X a variável aleatória que conta o número de sucessos na amostra. Do conceito de probabilidade frequentista, temos:
𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑛(𝑥)𝑛(𝑆)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que n(x) é o número de eventos favoráveis a x e n(S) o número de eventos favoráveis ao espaço amostral (S).
Porém, n(S) equivale ao número de maneiras de selecionar uma amostra de tamanho n, ou seja, 𝑛𝑆 = 𝑁𝑛. Além disso, observe
que temos 𝑟𝑥 de escolher os x sucessos (elementos com certa característica) e 𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥 maneiras de escolher os outros n-x
indivíduos sem a característica. Daí,
𝑃𝑋 = 𝑥 =
𝑟𝑥 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁𝑛
, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛 e 𝑥 ≤ 𝑟
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NOTAÇÃO: X~HIPERGEOMÉTRICA(N,R,N)
EXEMPLO
Processing math: 39%
2. Em uma população de 100 peças, sabe-se que 20 são defeituosas. Retira-se uma amostra de 10 peças. Qual a
probabilidade de obtermos 2 peças defeituosas?
Solução: Veja que o sucesso é a retirada da peça defeituosa, ou seja, a característica de interesse é que a peça seja
defeituosa. Dessa forma, para determinar tal probabilidade, podemos empregar a distribuição hipergeométrica, visto que
essas peças defeituosas fazem parte de uma população e dessa população será retirada uma amostra. Assim,
𝑃𝑋 = 2 =
20
2 .
80
8
100
10
≈ 0,32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A probabilidade de retirar uma peça defeituosa de uma amostra de tamanho 10 retirada de uma população de
tamanho 100 é de aproximadamente 32%.
ESPERANÇA MATEMÁTICA
𝐸𝑋 = ∑𝑥 = 0
𝑛 𝑥𝑃𝑋 = 𝑥 = ∑𝑥 = 0
𝑛 𝑥
𝑟𝑥 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁𝑛
= ∑𝑥 = 1
𝑛 𝑥
𝑟𝑥 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para desenvolver esse quociente entre combinações, precisamos usar algumas identidades conhecidas, tais como:
𝑥 . 𝑟𝑥 = 𝑟𝑟 - 1𝑥 - 1
E
𝑁𝑛 =
𝑁
𝑛
𝑁 - 1
𝑛 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
ASSIM,
𝐸𝑋 = ∑
𝑥 = 1
𝑛 𝑟𝑟 - 1𝑥 - 1 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁
𝑛
𝑁 - 1
𝑛 - 1
= 𝑛𝑟𝑁 ∑𝑥 = 1
𝑛 𝑟 - 1𝑥 - 1 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁 - 1
𝑛 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo y = x-1, temos:
𝐸𝑋 = 𝑛𝑟𝑁 ∑𝑦 = 0
𝑛 - 1
𝑟 - 1𝑦 .
(𝑁 - 1) - (𝑟 - 1
𝑛 - 1 - 𝑦
𝑁 - 1
𝑛 - 1
= 𝑛𝑟𝑁 ∑𝑦 = 0
𝑛 - 1 𝑃(𝑌 = 𝑦 | 𝑁 - 1, 𝑟 - 1,𝑛 - 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que ∑𝑦 = 0
𝑛 - 1 𝑃𝑌 = 𝑦𝑁 - 1, 𝑟 - 1,𝑛 - 1 = 1 , pois é a função de probabilidade hipergeométrica com parâmetros N-1, r-1 e n-
1. Logo,
𝐸𝑋 = 𝑛𝑟𝑁
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VARIÂNCIA
Processing math: 39%
Para o cálculo da variância, vamos omitir a demonstração pela quantidade excessiva de cálculos. Dessa forma, a variância
da distribuição hipergeométrica é dada por:
𝑉𝑋 = 𝑛𝑝1 - 𝑝 . 𝑁 - 𝑛𝑁 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. NO LANÇAMENTO DE UM DADO, QUAL A PROBABILIDADE DE TER QUE LANÇÁ-LO QUATRO
VEZES PARA SE OBTER FACE DOIS PELA PRIMEIRA VEZ?
A) 0,1
B) 0,15
C) 0,2
D) 0,25
E) 0,3
2.A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR DETERMINADO PRODUTO NA PRATELEIRA DE UM
SUPERMERCADO É DE 1/3. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE SE TENHA QUE IR AO
SUPERMERCADO NO MÁXIMO 2 VEZES PARA ENCONTRAR O PRODUTO PELA PRIMEIRA VEZ?
A) 1/3
B) 1/2
C) 5/9
D) 2/3
E) 7/9
3. CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A MÉDIA E A VARIÂNCIA,
RESPECTIVAMENTE, DE IDAS AO SUPERMERCADO?
A) 1 e 3
B) 2 e 4
C) 2 e 3
D) 3 e 6
E) 3 e 9
Processing math: 39%
4. UMA URNA CONTÉM 10 BOLAS BRANCAS E 20 BOLAS PRETAS. RETIRA-SE UMA AMOSTRA DE 5
BOLAS SEM REPOSIÇÃO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE ESSA AMOSTRA TENHA 2 BOLAS
BRANCAS?
A) 0,05
B) 0,125
C) 0,185
D) 0,25
E) 0,36
5. SABE-SE QUE 10% DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR DETERMINADA MÁQUINA SÃO DEFEITUOSAS.
RETIRA-SE UMA AMOSTRA DE TAMANHO 30 DE UMA POPULAÇÃO DE 150 PEÇAS PRODUZIDAS EM
UM DIA. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 5 PEÇAS SEJAM DEFEITUOSAS?
A) 0,05
B) 0,10
C) 0,15
D) 0,20
E) 0,25
6. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, DETERMINE A MÉDIA DE PEÇAS
DEFEITUOSAS NA AMOSTRA.
A) 0,3
B) 0,5
C) 1,0
D) 1,5
E) 2,0
GABARITO
1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de ter que lançá-lo quatro vezes para se obter face dois pela primeira
vez?
A alternativa "A " está correta.
Veja que o problema trata do número de tentativas para se obter um evento pela primeira vez. Portanto, possui a
característica da distribuição geométrica. Seja X a variável aleatória que representa o número de tentativas até a ocorrência
da primeira face dois. Então, X~G(p=1/6) e vimos que:
Se X é uma geométrica ⇒ 𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑞𝑥 - 1 𝑝
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 39%
Então,
𝑃(𝑋 = 4) = (5 / 6)
3 (1 / 6) = 0, 096 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2.A probabilidade de se encontrar determinado produto na prateleira de um supermercado é de 1/3. Qual a probabilidade de
que se tenha que ir ao supermercado no máximo 2 vezes para encontrar o produto pela primeira vez?
A alternativa "C " está correta.
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
3. Considerando os dados da questão anterior, qual seria a média e a variância, respectivamente, de idas ao supermercado?
A alternativa "D " está correta.
Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior tem distribuição geométrica com
parâmetro p = 1/3. Temos:
𝐸𝑋 = 1𝑝 = 11 / 3 = 3
𝑉𝑋 = 𝑞
𝑝2
= 2 / 31 / 9 = 6
4. Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Retira-se uma amostra de 5 bolas sem reposição. Qual a
probabilidade de que essa amostra tenha 2 bolas brancas?
A alternativa "E " está correta.
Observe que temos uma população de 30 bolas e que será retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a
probabilidade de termos 2 bolas brancas, que é uma característica que está dentro da população. Portanto, temos que a
questão se caracteriza como uma distribuição hipergeométrica. Assim,
𝑃𝑋 = 𝑥 =
𝑟𝑥 .𝑁 - 𝑟𝑛 - 𝑥
𝑁𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa questão temos N=30, r=10, n=5 e x=2. Daí,
𝑃𝑋 = 2 =
10
2 .
20
3
30
10
= 0,3599
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Sabe-se que 10% das peças produzidas por determinada máquina são defeituosas. Retira-se uma amostra de tamanho 30
de uma população de 150 peças produzidas em um dia. Qual a probabilidade de que 5 peças sejam defeituosas?
A alternativa "B " está correta.Processing math: 39%
Seja a variável aleatória X: “Número de peças defeituosas na amostra”. Nesse caso, X segue uma distribuição
hipergeométrica, em que N=150, r=15, n=30 e x=5. Assim,
𝑃𝑋 = 5 =
15
5 .
135
25
150
30
= 0,1019
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considerando o enunciado da questão anterior, determine a média de peças defeituosas na amostra.
A alternativa "A " está correta.
Sabendo que a variável aleatória X da questão anterior segue uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=150,
r=15 e n=30, temos:
𝐸𝑋 = 𝑛𝑝, em que 𝑝 = 𝑟𝑁
𝐷𝑎í, 𝑝 = 15 / 150 = 0, 01 ⇒ 𝐸(𝑋) = 30 × 0, 01 = 0, 3 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Numa população de 10.000 habitantes, temos que 0,5% dessa população sofre de certa doença. Retira-se uma amostra de
tamanho 80 dessa população. Qual a probabilidade que nessa amostra tenhamos 10 pessoas com essa doença?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NOS AEROPORTOS DE CERTO PAÍS, A PROBABILIDADE DE UM METAL PEQUENO NÃO SER
DETECTADO NO RAIO-X É DE 0,2. UM PASSAGEIRO QUE ESTÁ VIAJANDO PELO MODAL AÉREO,
NESSE PAÍS, VAI FAZER VÁRIAS CONEXÕES. SABE-SE QUE ELE ESQUECEU UMA MOEDA NOProcessing math: 39%
BOLSO. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O PASSAGEIRO SÓ TENHA A MOEDA DETECTADA NO
TERCEIRO RAIO-X?
A) 0,01
B) 0,03
C) 0,05
D) 0,10
E) 0,11
2. UM ESTACIONAMENTO DE UM CENTRO COMERCIAL TEM CAPACIDADE PARA 180 CARROS,
SENDO 30 VAGAS PARA IDOSOS. SABENDO QUE 20 VAGAS ESTÃO OCIOSAS NESSE
ESTACIONAMENTO, QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 3 DESSAS VAGAS SEJAM DE IDOSOS?
A) 0,10
B) 0,15
C) 0,25
D) 0,35
E) 0,50
GABARITO
1. Nos aeroportos de certo país, a probabilidade de um metal pequeno não ser detectado no raio-X é de 0,2. Um passageiro
que está viajando pelo modal aéreo, nesse país, vai fazer várias conexões. Sabe-se que ele esqueceu uma moeda no bolso.
Qual a probabilidade de que o passageiro só tenha a moeda detectada no terceiro raio-X?
A alternativa "B " está correta.
Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o passageiro terá que passar no raio-X para que a moeda
seja detectada pela primeira vez. Então, X~G(p=0,80). Assim,
𝑃𝑋 = 3 = 0,22 0,8 = 0,032
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um estacionamento de um centro comercial tem capacidade para 180 carros, sendo 30 vagas para idosos. Sabendo que
20 vagas estão ociosas nesse estacionamento, qual a probabilidade de que 3 dessas vagas sejam de idosos?
A alternativa "C " está correta.
Seja X a V.A. que representa as vagas de idosos nesse estacionamento. Portanto, X é uma distribuição hipergeométrica com
parâmetros N=180, r=30 e n=20. Assim,
Processing math: 39%
𝑃𝑋 = 3 =
30
3 .
150
17
180
20
= 0,25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Descrever a distribuição de Poisson
INTRODUÇÃO
A distribuição que veremos agora tem relevante papel no estudo da probabilidade, visto que se trata da distribuição que
calcula a probabilidade de eventos discretos que ocorrem em intervalos contínuos, o que agrega uma quantidade
considerável de aplicações.DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Antes de definir a distribuição de Poisson, é importante conceituar o que é um processo de Poisson, pois como veremos, as
probabilidades calculadas por essa distribuição se referem a este tipo de processo.
PROCESSO DE POISSON
É um processo no qual eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (tempo, comprimento, área, volume...).
Processing math: 39%
 EXEMPLO
Exemplos de processos de Poisson
Acidentes de trânsito por dia.
Focos de incêndio por área.
Número de chamadas telefônica por minuto.
Número de trocas de pneu por km2.
Seja X a variável aleatória discreta que representa o número de sucesso em um processo de Poisson. Então, dizemos que X
segue uma distribuição de Poisson, com a seguinte função de probabilidade:
𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! , 𝑥 = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que λ é a taxa média de ocorrência.
NOTAÇÃO: X~P(Λ)
ESPERANÇA MATEMÁTICA
𝐸𝑋 = ∑𝑥 𝑥 .𝑝𝑥 = ∑𝑥 = 0
∞ 𝑥 . 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! = ∑𝑥 = 1
∞ 𝑥 . 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! = 𝑒
-𝜆 . 𝜆 . ∑𝑥 = 1
∞ 𝜆𝑥 - 1
𝑥 - 1! =⏟
𝑒𝜆
𝜆
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Portanto,
𝐸𝑋 = 𝜆
VARIÂNCIA
Para o cálculo da variância, usaremos a mesma estratégia utilizada no cálculo da média. Assim,
𝑉𝑋 = 𝐸𝑋2 - 𝐸𝑋2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 39%
Como já conhecemos o valor da esperança de X, vamos calcular inicialmente a E(X2 ). Dessa forma,
𝐸𝑋2 = ∑
𝑥
𝑥2 .𝑝𝑥 = ∑
𝑥 = 0
∞ 𝑥2 . 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! = ∑𝑥 = 1
∞ 𝑥2 . 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! = ∑𝑥 = 1
∞ 𝑥𝑥 - 1 + 𝑥 . 𝑒
-𝜆 . 𝜆𝑥
𝑥! =
= 𝑒-𝜆 ∑𝑥 = 1
∞ 𝑥𝑥 - 1 . 𝜆
𝑥
𝑥! + 𝑒
-𝜆 ∑𝑥 = 0
∞ 𝑥 . 𝜆
𝑥
𝑥!⏟
𝜆
= 𝑒-𝜆 ∑𝑥 = 2
∞ 𝜆𝑥
(𝑥 - 2)! + 𝜆
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Fazendo y = x-2, temos:
𝐸𝑋2 = 𝑒-𝜆 𝜆2 ∑
𝑦 = 0
∞ 𝜆𝑥
(𝑦)!⏟
𝑒𝜆
+ 𝜆 = 𝑒-𝜆 . 𝜆2 . 𝑒𝜆 + 𝜆 = 𝜆2 + 𝜆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝑉𝑋 = 𝐸𝑋2 - 𝐸𝑋2 = 𝜆2 + 𝜆 - 𝜆2 = 𝜆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝑉𝑋 = 𝜆
Note que na distribuição de Poisson, a média é igual à variância.
Essa distribuição se aplica a eventos raros.
λ é proporcional ao intervalo contínuo considerado no problema.
Os eventos são independentes.
EXEMPLO
1. Sabe-se que o número de acidentes em determinada via segue uma distribuição de Poisson com média de 9 acidentes
por ano. Qual a probabilidade de que em determinado mês não ocorram acidentes nessa via?
Solução: Observe que a média está dada em meses, mas pede a probabilidade em anos. No entanto, como sabemos que
uma das propriedades da distribuição de Poisson é a proporcionalidade, então, se em um ano ocorrem nove acidentes, em
um mês ocorrerão 9/12 = 3/4 acidentes (λ = 0,75). Assim,
𝑃𝑋 = 0 = 𝑒
-0,75 . 0,750
0! ≈ 0,47
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Interpretação: A probabilidade de que não ocorra acidente na via em determinado mês é de aproximadamente 47%.
APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA
Processing math: 39%
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
 COMENTÁRIO
Essa aproximação foi muito útil durante o tempo em que os recursos computacionais eram escassos. Há alguns anos, a
maioria dos estudantes usavam calculadoras simples para resolver problemas que envolvessem cálculos matemáticos e
não tinham computadores pessoais. Além disso, mesmo as calculadoras mais potentes tinham limitações quanto ao cálculo
do fatorial. Portanto, para resolver essa limitação, aproximava-se a distribuição binomial pela distribuição de Poisson.
Faça a média da Poisson igual à média da Binomial, ou seja, λ=np e suponha que λ não é muito grande. Vimos da
distribuição de Poisson que o número de sucessos pode ser dado por 0,1,2,…. Considere o caso de termos zero sucessos,
assim, utilizando a distribuição binomial, teríamos:
𝑃𝑋 = 0 = 𝑛0𝑝
0 𝑞𝑛 = 𝑞𝑛
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, como λ=np→p=λ/n. Daí,
𝑃𝑋 = 0 = 𝑞𝑛 = 1 - 𝑝𝑛 = 1 - 𝜆𝑛
𝑛
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Nota:
lim
𝑛 → ∞
 1 - 𝜆𝑛
𝑛 = 𝑒-𝜆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Generalizando, temos:
𝑃𝑋 = 𝑛 = 𝑛𝑥𝜆𝑛
𝑥 1 - 𝜆𝑛
𝑛 - 𝑥
lim
𝑛 → ∞
 𝑛𝑥𝜆𝑛
𝑥 1 - 𝜆𝑛
𝑛 - 𝑥
lim
𝑛 → ∞
 𝑛!𝑥! .𝑛 - 𝑥!
𝜆
𝑛
𝑥 1 - 𝜆𝑛
𝑛 - 𝑥
lim
𝑛 → ∞
 𝑛𝑛 - 1 … 𝑛 - 𝑥 + 1
𝑛𝑥
𝜆𝑥
𝑥!1 -
𝜆
𝑛
𝑛 1 - 𝜆𝑛
-𝑥
lim
𝑛 → ∞
 𝑛𝑛 . 𝑛 - 1𝑛 . 𝑛 - 2𝑛 … 𝑛 - 𝑥 + 1𝑛𝑥 .
𝜆𝑥
𝑥!1 -
𝜆
𝑛
𝑛 1 - 𝜆𝑛
-𝑥
lim
𝑛 → ∞
 1 . 1 - 1𝑛 . 1 - 2𝑛 . 1 - 3𝑛 … 1 - 𝑥 - 1𝑛 . 𝜆
𝑥
𝑥!1 -
𝜆
𝑛
𝑛 1 - 𝜆𝑛
-𝑥
lim
𝑛 → ∞
 1 . 1 - 1𝑛 . 1 - 2𝑛 . 1 - 3𝑛 … 1 - 𝑥 - 1𝑛⏟
1
. 𝜆
𝑥
𝑥!1 -
𝜆
𝑛
𝑛 1 - 𝜆𝑛
-𝑥
lim
𝑛 → ∞
 𝜆
𝑥
𝑥!1 -
𝜆
𝑛
𝑛 1 - 𝜆𝑛
-𝑥 = 𝑒
-𝜆 𝜆𝑥
𝑥!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 39%
Portanto, podemos aproximar a distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Essa aproximação é boa quando n > 50 e
p < 0,10.
MÃO NA MASSA
1) UM POSTO POLICIAL RECEBE EM MÉDIA 2 CHAMADAS POR DIA. QUAL A PROBABILIDADE DE
RECEBER EXATAMENTE 3 CHAMADAS EM UM DIA?
A) 0,10
B) 0,15
C) 0,18
D) 0,20
E) 0,25
2. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE
POSTO RECEBER 7 CHAMADAS EM UMA SEMANA?
A) 0,01
B) 0,02
C) 0,03
D) 0,04
E) 0,05
3. UM JORNAL REGISTRA EM MÉDIA 3 ERROS ORTOGRÁFICOS A CADA 5 PÁGINAS IMPRESSAS.
QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM JORNAL COM 30 PÁGINAS CONTENHA EXATAMENTE 8
ERROS?
A) 0,001
B) 0,002
C) 0,003
D) 0,004
E) 0,005
4. CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE
JORNAL REGISTRAR MENOS DE 2 ERROS EM UMA PÁGINA?
A) 0,50Processing math: 39%
B) 0,62
C) 0,75
D) 0,82
E) 0,88
5. UMA OUVIDORIA RECEBE 5 RECLAMAÇÕES POR HORA. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE
RECEBA APENAS UMA RECLAMAÇÃO EM 10 MINUTOS?
A) 0,36
B) 0,42
C) 0,48
D) 0,54
E) 0,60
6. UMA FIRMA VISITA OS CLIENTES QUE COMPRARAM O SEU PRODUTO. SE A PROBABILIDADE DE
DEFEITO DO PRODUTO FOR DE 0,01, QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM 1000 VISITAS OCORRAM
NO MÍNIMO 3 DEFEITOS?
A) 0,956
B) 0,967
C) 0,975
D) 0,986
E) 0,997
GABARITO
1) Um posto policial recebe em média 2 chamadas por dia. Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em um
dia?
A alternativa "C " está correta.
Seja X a variável aleatória discreta que representa chamadas por dia. Veja que X representa o sucesso (chamadas) em um
processo de Poisson, em que eventos discretos ocorrem em intervalos contínuos (dia). Assim, pode-se dizer que X~P(λ=2),
ou seja,
𝑃𝑋 = 𝑥 = 𝑒
-𝜆 𝜆𝑥
𝑥!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Daí,
𝑃𝑋 = 3 = 𝑒
-2 23
3! = 0,18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse posto receber 7 chamadas em uma
semana?
Processing math: 39%
A alternativa "B " está correta.
Observe que, na questão anterior, a média λ era de 2 chamadas por dia. Utilizando a propriedade de proporcionalidade de λ,
temos que em uma semana λ = 14 (2 x 7). Logo,
𝑃𝑋 = 7 = 𝑒
-14 147
7! = 0,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Um jornal registra em média 3 erros ortográficos a cada 5 páginas impressas. Qual a probabilidade de que um jornal com
30 páginas contenha exatamente 8 erros?
A alternativa "D " está correta.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
4. Considerando o enunciado da questão anterior, qual seria a probabilidade desse jornal registrar menos de 2 erros em
uma página?
A alternativa "E " está correta.
Observe que, se em 5 páginas a média λ é igual a 3, portanto, em umapágina, teremos 3/5 erros. Então,
𝑃𝑋 < 2 = 𝑃𝑋 = 0 + 𝑃𝑋 = 1 = 𝑒
-3 / 5 3 / 50
0! +
𝑒-3 / 5 3 / 51
1! = 0,88
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5. Uma ouvidoria recebe 5 reclamações por hora. Qual a probabilidade de que receba apenas uma reclamação em 10
minutos?
A alternativa "A " está correta.
Seja a variável aleatória X: “Reclamações por hora”. Logo, X~P(λ=5). No entanto, o problema pede a probabilidade de que
receba apenas uma reclamação em 10 minutos. Portanto, em 10 minutos, λ = 5/6. Assim,
𝑃𝑋 = 1 = 𝑒
-5 / 6 5 / 61
1! = 0,36
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Uma firma visita os clientes que compraram o seu produto. Se a probabilidade de defeito do produto for de 0,01, qual a
probabilidade de que em 1000 visitas ocorram no mínimo 3 defeitos?
A alternativa "E " está correta.
Observe que a questão poderia ser resolvida por meio de uma distribuição Binomial, pois temos que a variável aleatória,
digamos X, representa o número de defeitos (sucessos) nas visitas, isto é:
𝑋~𝐵𝑛 = 1000, 𝑝 = 0,01
Dessa forma, a solução poderia ser obtida por:Processing math: 39%
𝑃𝑋 ≥ 3 = 1 - 𝑃𝑋 < 3 = 1 - 𝑃𝑋 = 0 + 𝑃𝑋 = 1 + 𝑃𝑋 = 2 =
= 1 -
1000
0 (0, 01)
0 (0, 99)1000 +
1000
1 (0, 01)
1 (0, 99)999 +
1000
2 (0, 01)
1 (0, 99)999 = 0, 9973
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que quanto maior o valor de x a calcular, mais trabalhoso seria o montante dos cálculos. Além disso, teríamos que
trabalhar com os fatoriais das combinações. Dessa forma, para facilitar os cálculos poderíamos usar a distribuição de
Poisson para resolver esta questão. Nesse caso, consideraremos a aproximação da distribuição Binomial pela distribuição
de Poisson, bastando fazer
λ = np = 1000 x 0,01 = 10. Assim,
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 - 𝑃(𝑋 < 3) = 1 - 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) =
= 1 - 𝑒
-10 100
0! +
𝑒-10 101
1! +
𝑒-10 102
2! = 0,9972
Observe que os resultados são bem aproximados.
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O número de mortes por febre amarela no Brasil é de 4 por ano. Qual a chance de que em seis meses morra no máximo 1
pessoa?
RESOLUÇÃO
UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Processing math: 39%
1. SUPONHA QUE A INCIDÊNCIA DE DETERMINADA DOENÇA NA POPULAÇÃO SEJA DE 1 CASO A
CADA 100.000 HABITANTES. EM UMA CIDADE DE 500.000 HABITANTES, DETERMINE A
PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR EXATAMENTE 2 CASOS DESSA DOENÇA NA REFERIDA
CIDADE.
A) 0,04
B) 0,08
C) 0,12
D) 0,16
E) 0,20
2. SABE-SE QUE EM MÉDIA 5 LÂMPADAS SE QUEIMAM A CADA 1000 LÂMPADAS TESTADAS. QUAL A
PROBABILIDADE DE QUE EM UM TESTE DE 10.000 LÂMPADAS, EXATAMENTE 40 LÂMPADAS SE
QUEIMEM?
A) 0,02
B) 0,04
C) 0,08
D) 0,16
E) 0,20
GABARITO
1. Suponha que a incidência de determinada doença na população seja de 1 caso a cada 100.000 habitantes. Em uma cidade
de 500.000 habitantes, determine a probabilidade de se encontrar exatamente 2 casos dessa doença na referida cidade.
A alternativa "B " está correta.
Seja a variável aleatória X: “Incidência da doença por habitante”. Veja que X~P(λ=1). Portanto, em uma cidade de 500.000
habitantes, X será uma Poisson com λ = 5. Assim,
𝑃𝑋 = 2 = 𝑒
-5 52
2! = 0,08
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabe-se que em média 5 lâmpadas se queimam a cada 1000 lâmpadas testadas. Qual a probabilidade de que em um teste
de 10.000 lâmpadas, exatamente 40 lâmpadas se queimem?
A alternativa "A " está correta.
Veja a probabilidade de uma lâmpada queimar com probabilidade 0,01 e poderíamos resolver utilizando a distribuição
binomial. No entanto, para evitar, usaremos a distribuição de Poisson com λ = 100.
Processing math: 39%
𝑃𝑋 = 40 = 𝑒
-50 5040
40! = 0,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui abordamos os conceitos fundamentais associados às variáveis aleatórias discretas. Além disso, apresentamos as
principais distribuições discretas de probabilidade, entre as quais, as de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica e
de Poisson.
Cada distribuição de probabilidade exerce um papel importante para o cálculo de probabilidades de fenômenos comuns que
acontecem no nosso dia a dia.
Todos os conceitos adquiridos neste tema são essenciais não apenas para a continuidade do estudo da teoria das
probabilidades, mas também para o bom entendimento de modelos estatísticos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
Meyer, P. Probabilidade – Aplicações à Estatística. 2. ed. São Paulo: LTC, 1987.
Morettin, P. A.; Bussab, W. de O. Estatística Básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Morettin, P. A. Estatística Básica – Probabilidade e Inferência. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2015.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, assista
Ao canal IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, YouTube.
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CONTEUDISTA
Paulo H. C. Maranhão
 CURRÍCULO LATTES
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