EXERCICIOS JUSTIFICADOS - RESISTENCIA DOS MATERIAIS

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MÓDULO 11 
 
EX.1 - O valor da tensão máxima de compressão na viga prismática de concreto armado da figura 
após a cura do concreto, só com o peso próprio, vale: 
São dados: gc=2,5tf/m³; galv=2,0tf/m³; e=0,8m 
RESP.: Alternativa C 
 
 
 
 
 
EX. 2 – O valor da tensão máxima de compressão na viga prismática de concreto armado da 
figura após a conclusão da parede de alvenaria, vale: 
São dados: gc=2,5tf/m³; galv=2,0tf/m³; e=0,8m 
RESP.: Alternativa A 
 
 
 
 
 
EX. 3 – A viga de concreto armado da figura suporta duas colunas iguais de concreto, com 30cm 
de diâmetro e tensão de compressão de 120kgf/cm² na base, sendo a sua seção transversal 
retangular com 60cm de base e 90cm de altura, com peso específico gc=2,5tf/m³. O valor da 
tensão máxima de compressão na viga, vale: 
RESP.: Alternativa B 
Bmax=Mmax/I.Ymax 
I=b.h³/12=0,6.0,9³/12=0,03645m4 
Ymax=h/2=0,9/2=0,45m 
cmax=186,52/0,03645.0,45=2302,72T 
f/m²=230,27cm² 
cmax=230,3Kgf/cm² 
 
EX. 4 – Uma viga de concreto armado deverá suportar uma parede de alvenaria cuja altura se 
deseja determinar. Sabe-se que a tensão de ruptura do concreto é σrup=30MPa e que a tensão 
admissível à compressão é σad=σrup/2 (coeficiente de segurança 2). Portanto, a altura da 
parede, vale: 
São dados: gc=25KN/m³; b=1m; h=2m (Viga de Concreto) 
 galv=20KN/m³; e=0,8m (Parede de Alvenaria) 
 
RESP.: Alternativa A 
A - 1Mpa=10Kgf/cm²=100Tf/m² 
rup=30Mpa 
ad=rup/2=30/2=15MPa=1500Tf/m² 
cmax=Mmax/I.Ymax 
I=b.h³/12=1.2³/12=0,6667m4 
Ymax=h/2=2/2=1m 
cmax=1500=(202,5+64,8H)x1/0,6667H=(1500x0,6667-202,5)/64,8=12,30787 
H=12,3m 
EX. 5 - Uma viga metálica, com abas largas ou perfil em W, designação W610x155, suporta uma 
parede de alvenaria com 50cm de espessura, triangular, conforme mostrado na figura. 
Conhecendo-se a tensão admissível do aço, σad=300MPa, à compressão e à tração, a altura 
máxima da parede, vale: 
Obs.: Desprezar o peso próprio da viga. 
É dado: galv=20KN/m³ 
RESP.: Alternativa E 
E - W=667.10³.10¯?m³=6,67.10¯4m³ 
ad=Mmax/W=23,094H/6,67.10¯4=30.104 
H=(6,67.10¯4.30.104)/23,094=8,66m 
H=8,66m 
EX. 6 – Um perfil metálico em W, com abas largas, designação W610x140, suporta uma coluna 
central de concreto, com 23cm de diâmetro. A tensão admissível (compressão ou tração) do aço 
utilizado é 3300kgf/cm². O valor da tensão máxima de compressão na base da coluna, vale: 
RESP.: Alternativa D 
D-W=3,63.106.10¯?m³=3,63.10¯³m³ 
ad=3,3.104=2P/3,63.10¯³ 
P=(3,3.104x3,63.10¯³)/2=59,895Tf=59895Kgf c) 
Cálculo da compressão máxima na base da coluna 
dcmax=P/S=P/ 
pD²/4=59895/px23²/4=144,16Kgf/cm²=1441,6Tf/m²=14,42MPa/m²=14416KN/m²cmax=144,16
Kgf/cm² 
 
EX. 7 – A viga de concreto armado da figura deverá ter uma tensão admissível à compressão de 
16MPa. O valor da altura H da parede triangular de alvenaria, vale aproximadamente: 
São dados: gc=25KN/m³; b=0,8m; h=1,5m (Viga de Concreto) 
 galv=20KN/m³; e=0,6m (Parede de Alvenaria) 
RESP.: Alternativa A 
AMmax=Mmax(viga+parte horizontal)+Mmax(parte triangular) 
Mmax(total)=3264+256H=3264+256Hf ) 
Cálculo Da Altura Da Parede Triangular 
cmax=Mmax/I.Ymax 
I=b.h³/12=0,8.1,5³/12=0,225m4 
Ymax=h/2=1,5/2=0,75 
mdcmax=16MPa=160Kgf/cm²=1600Tf/m²=16000KN/m² 
cmax=16000=(3264+256H).0,75/0,225(16000x0,225/0,75)3264=256H 
256H=1536 
H=1536/256=6m 
H=6m 
EX. 8 – A viga de concreto armado da figura deverá ter uma tensão admissível à compressão de 
16MPa. O valor da altura H da parede triangular de alvenaria, vale aproximadamente: 
São dados: gc=25KN/m³; b=0,8m; h=1,5m (Viga de Concreto) 
 galv=20KN/m³; e=0,6m (Parede de Alvenaria) 
RESP.: Alternativa C 
C - cad=Mmax/I.Ymax 
I=b.h³/12=0,8.2³/12=0,5333m4 
Ymax=h/2=2/2=1m cad=3000=(470+60H).1/0,5333(3000x0,5333) 
470=60H 
H=(3000x0,5333) 
470/60=18,83m 
H=18,836m 
H=18,83m 
EX. 9 – Uma coluna deverá ser calculada para uma tensão admissível à compressão de 
120kgf/cm². Adotando-se como carga admissível à flambagem o valor da carga admissível à 
compressão e utilizando um C.S.F.=3,0, o valor do diâmetro da coluna, a qual é engastada-
articulada e tem 9m de altura, vale aproximadamente: 
DADO: E=300tf/cm² 
RESP.: Alternativa D 
C-cad=Mmax/I.Ymax 
I=b.h³/12=0,8.2³/12=0,5333m4 
Ymax=h/2=2/2=1m 
cad=3000=(470+60H).1/0,5333 
(3000x0,5333) 
470=60H 
H=(3000x0,5333) 
470/60=18,83m 
H=18,836m 
H=18,83m 
EX. 10 – Uma coluna deverá ser calculada para uma tensão admissível à compressão de 
120kgf/cm². Adotando-se como carga admissível à flambagem o valor da carga admissível à 
compressão e utilizando um C.S.F.=3,0, o valor da carga crítica à flambagem, a qual é engastada-
articulada e tem 9m de altura, vale aproximadamente: 
DADO: E=300tf/cm² 
RESP.: Alternativa D 
C-Pcr=3P 
Pcr=3x1200xpxD²/4 
Pcr=3x(1200xpx0,2779²/4)=218,36Tf 
Pcr=218,36Tf 
EX. 11 – Um edifício alto terá, no térreo, uma coluna maciça de concreto armado, com 1,10 m 
de diâmetro, sendo sua base engastada em uma fundação profunda e articulado a uma viga na 
extremidade superior. A coluna foi calculada à compressão para uma tensão admissível 
σad=18MPa e deseja-se obter um coeficiente de segurança à flambagem igual a 2,5. Para estas 
condições podemos afirmar: 
DADO: E=300tf/cm² 
RESP.: Alternativa C 
A= 4276,5=p²x3x106xp0,0719/Le² 
Le=p2x3x106x0,07194276,5=22,31m 
Como Le=0,7LTemos: 
L=Le/0,7 
L=22,31/0,7 
L=31,9m 
L=31,9m 
EX. 12 – Um pilar retangular, com 1,1m x 3,2m, foi calculado à compressão para uma tensão 
admissível de 18MPa e é Bi-Articulado. O valor da altura do mesmo para um fator de segurança 
à flambagem igual a 2,8 é: 
DADO: E=260tf/cm² 
RESP.: Alternativa D 
D- Temos: 
Le=LE=260Tf/cm²=2600000Tf/m²=2,6x106Tf/m² 
I=hb³/12=3,2x1,1³/12=0,3549m4P 
cr=p².E.I/Le² 
L=p2x2,6x106x0,354917740,8=22,66m 
L=22,66m 
EX. 13 – Uma coluna tubular de aço será utilizada como um pontalete no cimbramento de uma 
estrutura e sua tensão admissível à compressão é σad=380MPa. O valor da altura da coluna, 
considerando-a Bi-Articulada, e sabendo-se que o diâmetro externo do tubo é 17cm e a 
espessura da parede do tubo é de 1cm, e considerando um coeficiente de segurança à 
flambagem igual à 2,5, vale aproximadamente: 
DADO: E=21000KN/cm² 
RESP.: Alternativa B 
B=21000KN/cm²=21x107KN/m² 
I=p.R³.e 
R=RAIO MEDIO 
Re=RAIO EXTERNO=8,5m 
Ri=RAIOINTERNO=7,5cm 
R=8,5+7,5/2=8cm 
R=8cmIx=Iy=I=pR³e=px8³x1=1608,495cm4=1608,4954.10¯8m4=160,84954.10¯7m4Le=L=p2x21
.107.160,84954.10¯74775,22=2,6422m 
L=2,6m 
EX. 14 – Um pilar de ponte, por razões hidráulicas, tem seção transversal elíptica. O pilar está 
construído e você deseja saber se ele aparenta segurança à flambagem, com fator de segurança 
≥ 3,0. O pilar, na sua extremidade inferior, é engastado em um bloco de fundação com 4 
tubulões e, na extremidade superior, é articulado ao tabuleiro. O pilar foi calculado para uma 
tensão admissível à compressão de 16MPa. Verificar o fator de segurança à flambagem. 
DADOS: E=2600KN/cm²; altura do pilar é 85m; seção elíptica com semi-eixos a=7m e b=3m. 
RESP.: Alternativa A 
A - Le=0,7L 
L=Le/0,7 
Pcr=p².E.I/Le²=p²x2,6x107x148,4403/0,7²x85²=10759472,6340KNPcr=10759472,6340KN 
d) Cálculo do coeficiente de segurança a flambagem 
C.S.F.=Pcr/PC.S.F.=10759472,6340/1055575,1=10,1930 
 
EX. 15 – Um pilar de ponte, por razões hidráulicas, tem seção transversal elíptica. O pilar está 
construído e você deseja saber se ele aparenta segurança à flambagem, com fator de segurança 
≥ 3,0. O pilar, na sua extremidade inferior, é engastado em um bloco de fundação com 4 
tubulões e, na extremidade superior, é articulado ao tabuleiro. O pilar foi calculado para uma 
tensão admissível à compressão de 16MPa. Verificar o fator de segurança à flambagem. 
DADOS: E=2600KN/cm²; altura do pilar é 85m; seção elíptica com semi-eixos a=7m e b=3m 
RESP.: Alternativa D 
 
EX. 16 – Um pilar metálico com perfil em W ou de aba larga, designação W310x129, interliga 
duas articulações em um galpãoindustrial. O pilar foi calculado à compressão para uma tensão 
admissível de 380MPa. Assim sendo, o valor da altura do pilar para um C.S.F. = 2,8 é: 
DADOS: E=21000KN/cm²; Perfil W310x129 (Área: A=16500mm² e Momento de Inércia: 
I=100.106mm4) 
RESP.: Alternativa E 
E-Le=L=p2xExIPcr=pExIPcr 
L=p21.107.10¯417556=3,4359m 
L=3,44 m 
EX. 17 – Uma barra de seção circular de alumínio (1% Mg) com 120mm de diâmetro e maciça 
tem módulo de elasticidade transversal G=26GPa e tensão máxima de cisalhamento 
ζMáx=140MPa. Calcular o Máximo Torque a ser aplicado utilizando um coeficiente de segurança 
2 em relação ao início do escoamento ao cisalhamento. 
NOTA: 1MPa=106 Pa=106N/m²=103KN/m² 
RESP.: Alternativa B 
B-adm=140/2=70Mpa 
J=(3.14*0.06^4)/2=2.035*10^5m^4 
T=(0.00002035*70*10^6)/0.06=23.75KN.m 
EX. 18 – – Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, 
módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento 
ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a 
outra livre. Calcular o Máximo Torque. 
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m² 
RESP.: Alternativa D 
 
EX. 19 – Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, 
módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento 
ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a 
outra livre. Calcular a Tensão de Cisalhamento para uma distância de 2,2cm do eixo da barra. 
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m² 
RESP.: Alternativa D 
D-J=pi*R4/2 
J=PI*(0,038)4/2 
J=3,27532397*10?6 
M4T=J*TMAX/R 
T=(3,27532397*10?6*152*106)/0,038 
T=13,10KN 
EX. 20 – Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, 
módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento 
ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a 
outra livre. Calcular a Deformação de Cisalhamento Máxima (gMáx). 
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m² 
RESP.: Alternativa A 
A-1: A=PIR²/2 
A=2,2682*10^3m² 
T=TMAX/A 
T=152*10^6/2,2682*10^3T=67013490,87kN/m 
EX. 21 – Uma barra maciça de seção circular de aço inoxidável 302 temperado, raio 3,8cm, 
módulo de elasticidade transversal G=73GPa e tensão de cisalhamento de início de escoamento 
ζMáx=152MPa. A barra tem 1,60m de comprimento, sendo uma extremidade engastada e a 
outra livre. Calcular o Ângulo de Torção (Φ). 
NOTA: 1GPa=109N/m²=106KN/m² 
RESP.: Alternativa C 
 
EX. 22 – Um conceito importante no estudo da flambagem dos pilares, é o de Coeficiente de 
Segurança à Flambagem (CSF), ou Fator de Segurança à Flambagem (FSF), que pode ser obtido 
pela equação CSF = Pcr / P, na qual, Pcr é a carga crítica de flambagem e P a máxima carga de 
compressão a que o pilar estará sujeito. 
Uma coluna do andar térreo de um edifício alto, com Modulo de Elasticidade E = 3.000 kN/cm2 e 
14 m de altura, engastada na sua extremidade inferior e articulada na superior, estará sujeita a 
uma compressão máxima de 1.600 kN. Para um fator de segurança à flambagem FSF = 3, o 
diâmetro desta coluna deve ser de: 
RESP.: Alternativa C 
 
EX. 23 – Duas placas de concreto armado, que arrimam dois taludes verticais de terra, 
comprimem uma estronca de madeira, que as escora horizontalmente, com uma força de 120 
kN. Considerando esta estronca bi-articulada, com 6,40 m de comprimento, seção transversal 
circular e módulo de elasticidade E = 700 kN/cm2. Para que o coeficiente de segurança à 
flambagem CSF = 2, o diâmetro desta estronca de madeira deve ter: 
RESP.: Alternativa D 
 
EX. 24 – Um dos modernos Sistemas Construtivos é o Sistema “Tilt-Up”, de produção de lajes ou 
placas Pré-Moldadas, de concreto armado, no local da Obra, as quais, após a cura do concreto, 
são movimentadas por Guindastes e posicionadas na vertical, para poderem trabalhar como 
Painel de Vedação e também como Estrutura de Suporte. Você está analisando o projeto de 
uma dessas lajes de concreto armado, a qual tem 0,2m de espessura, 1m de largura e altura a 
definir. A tensão admissível à compressão é de 15MPa. Você considera que o Fator ou 
Coeficiente de Segurança à Flambagem, adequado ao projeto, é três. O valor da carga 
admissível à compressão é: 
RESP.: Alternativa A 
A-Fs=Pcri/P Pcri=4,8.10^6.4,8.10^6=(p².(3.10^10).(p.d^4/64))9,8² 
Le=0,7.14 
d=0,422mo 
EX. 25 – Um dos modernos Sistemas Construtivos é o Sistema “Tilt-Up”, de produção de lajes ou 
placas Pré-Moldadas, de concreto armado, no local da Obra, as quais, após a cura do concreto, 
são movimentadas por Guindastes e posicionadas na vertical, para poderem trabalhar como 
Painel de Vedação e também como Estrutura de Suporte. Você está analisando o projeto de 
uma dessas lajes de concreto armado, a qual tem 0,2m de espessura, 1m de largura e altura a 
definir. A tensão admissível à compressão é de 15MPa. Você considera que o Fator ou 
Coeficiente de Segurança à Flambagem (C.S.F.), adequado ao projeto, é três. O valor da carga 
crítica em função do C.S.F., é: 
RESP.: Alternativa A 
A-I=PIxD^4/64 
I=0,05D^4m^4 
P=Pcr/CS120000=Pcr/2 
CS=240000 
Pcr=PI^2xExI/Le^2240000=PI^2x9.10^9x0,05D^4/6,4^2 
D=23,09 cm 
EX. 26 – Uma viga horizontal, de concreto armado, suporta uma alvenaria com 9,00 m de altura, 
0,80 m de espessura e peso específico de 20 kN/m3. Esta viga, cujo peso específico é de 25 
kN/m3 e o módulo de elasticidade de 3.000 kN/cm2, tem seção transversal quadrada, com 1,00 
m de lado, e se apóia nas extremidades, com vão teórico de 10,00 m, em dois pilares quadrados 
iguais, bi-articulados, dimensionados para uma compressão de 15 MPa. Considerando um 
coeficiente de segurança à flambagem CSF = 3,0, pode-se afirmar que cada pilar tem, 
respectivamente, lados e altura com os seguintes valores: 
RESP.: Alternativa B 
B-sadm=P/A 
P=15E6*0,2=3000KN 
Pcr=3*3000E3=9000KN 
EX. 27 – A progressiva industrialização da construção civil brasileira está transformando obras 
artesanais em linhas de montagem, empregando componentes estruturais pré-fabricados, de 
concreto armado e protendido, tais como lajes, pilares e vigas. Para a construção de uma grande 
loja de departamentos, pretende-se utilizar todos os pilares iguais, variando apenas os vínculos 
das extremidades, que serão bi-articulados ou bi-engastados. 
Revendo os conceitos da Teoria de Eüler para a flambagem, você conclui que a carga crítica de 
flambagem de um pilar bi-engastado é: 
RESP.: Alternativa D 
D-Pviga=25*1*1*10 
Pviga=250Kn 
Palv=20*0,8*10*9 
Palv=1440kN 
Ptotal=250+1440Ptotal=1690kN 
P por pilar 
Pt/2=1690/2 
P por pilar=845KN 
T=P/A15*10³=845/lado² 
Lado=0,24m 
EX. 28 – Uma coluna de concreto armada de um edifício, com 0,80 m de diâmetro, foi 
dimensionada para uma tensão admissível à compressão de 10 MPa. Esta coluna, situada no 
andar térreo do edifício, terá 20,00 m de altura, pode ser considerada bi-articulada, e o seu 
módulo de elasticidade é de 3.000 kN/cm2. Para tais condições, o valor do coeficiente de 
segurança à flambagem da coluna será: 
RESP.: Alternativa C 
C-LE=L(bi articulado) Engastado=le=0,5le 
Bi engastado=2*(Le=o,5l) 
Assim fica 2le=l O quadruplo da carga crítica do pilar biarticulado. 
 
EX. 29 – Um pilar quadrado de concreto armado é bi-engastado e foi calculado para uma força 
de compressão de 3.200 kN. Sabendo-se que o seu módulo de elasticidade é de 2.800 kN/cm2 e 
a sua altura 18,00 m, e o coeficiente de segurança à flambagem é 3,0, pode-se afirmar que cada 
lado da sua seção transversal tem: 
RESP.: Alternativa E 
C-LE=L(bi articulado) Engastado=le=0,5le 
Bi engastado=2*(Le=o,5l) 
Assim fica 2le=l O quadruplo da carga crítica do pilar biarticulado. 
 
EX. 30 – Um poste de concreto, destinado a iluminar a implantação do canteiro de obras de uma 
barragem, que será construída na Região Norte do Brasil, é maciço, tem peso específico de 25kN/m3, e terá uma parte enterrada, correspondente ao engastamento. Para um diâmetro 
constante de 1,00 m e coeficiente de segurança à flambagem CSF = 3,0, pode-se afirmar que a 
altura livre deste poste apresenta, aproximadamente, o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa E 
 
EX. 31 – Um pilar-parede, de uma ponte isostática, é de concreto armado, com 300 Tf/cm2 de 
Módulo de Elasticidade, tem 10,00 m de comprimento e pode ser considerado 
engastado/articulado. A altura deste pilar-parede é 32,00 m, a compressão máxima será de 
2.000 Tf, e o coeficiente de segurança à flambagem adotado é CSF = 3,0. Nestas condições, o 
valor da espessura deste pilar-parede deve ser: 
RESP.: Alternativa D 
D-P=PCRIT/CFS 
I=Pi D^4/64 
I=0,049087385 
PCRIT=(PI²*E*I)/Le² 
Questão 32 – letra B 
P=PCRIT/CFS200*3=PCRIT600=(PI²*300*104*I)/(22,4)² 
I=0,101677m4 
IY=(B³*H)/120,1017=b³*3²/12 
Le=0,70l 
Le=0,70*32 
Le=22,4 
EX. 32 – Uma viga prismática de concreto armado e protendido, tem seção transversal 
retangular, com 1,2 m de base e 4,2 m de altura, com 40 m de vão. Após a retirada da fôrma e 
das escoras provisórias (cimbramento) a viga permanece,temporariamente,submetida apenas 
à carga do peso próprio. Sabendo-se que a viga está simplesmente apoiada nas extremidades, 
sujeita à flexão simples,e,sendo seu peso específico 25 KN/m3,pode-se afirmar que a máxima 
tensão de compressão, que ocorre na seção do meio do vão da viga, apresenta o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa C 
(PI²*300*104*I)/(22,4)² 
I=0,101677m4 
IY=(B³*H)/120,1017=b³*3²/12 
Le=0,70l 
Le=0,70*32 
Le=22,4 
EX. 33 – As vigas de concreto armado são,na sua grande maioria,de seção quadrada ou 
retangular.Excepcionalmente podem ser de seção transversal circular,geralmente por razões 
construtivas.Você está analisando uma viga de seção circular,com 80 cm de diâmetro,submetida 
à flexão simples.Para calcular a máxima tensão de compressão na viga você deverá utilizar um 
momento de inércia da seção transversal da viga com o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa D 
D- Qviga=￥*A 
Qviga=25*4,2*1,2 
Qviga=126kn 
Mx=q*l/8Mx126*10³*(40)²)/8Mx=25,2*106 
Ix=b*h³/12Ix=(1,2)*(4,2)³/12Ix=7,4088m4 
Tensão adm 25,2*106*2,1)/7,4088=7,14 mpa 
Tensão adm=7,14 mpa 
EX. 34 – Uma coluna vertical de concreto armado foi dimensionada à compressão para uma 
carga de 800 KN e o seu fator de segurança (coeficiente de segurança) à flambagem é três. A 
coluna é biarticulada e seu módulo de deformação (elasticidade) é de 3000 KN/cm2.Sabendo-
se que a tensão admissível utilizada para o dimensionamento da coluna foi de 10 MPa, pode-se 
afirmar que a altura da coluna apresenta o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa B 
B-D=80cm/100=0,80 m 
I=pi*d4/64I=PI*(0,80)4/64I=0,02 m4 
 
EX. 35 – Uma coluna vertical de concreto armado é biarticulada e seu diâmetro tem 1,3 m. Sabe-
se que a carga crítica de flambagem da coluna é de 13000 KN e o módulo de deformação do 
concreto da coluna, obtido através de ensaios de laboratório, apresenta o valor de 2840 
KN/cm2.Para estas condições pode-se afirmar que a altura da coluna apresenta o seguinte 
valor: 
RESP.: Alternativa B 
B-10*106=800*10³/a 
A=0,08m² P=pcrit/fs800*10³=pcrit/3 
Pcrit=2,4*106 
Area=0,2828471 
I=5,333333*10¯4 
Pcrit=(pi²*e*I)/le²2,4*106=PI²*3*10¹°*5,333333*10¯4/le² 
Le²=(157,913670*106)/(2,48*106) 
Le=8,111552:10*106=800*10³/a 
A=0,08m² 
P=pcrit/fs800*10³=pcrit/3 
Pcrit=2,4*106 
Area=0,2828471 
I=5,333333*10¯4Pcrit=(pi²*e*I)/le²2,4*106=PI²*3*10¹°*5,333333*10¯4/le² 
Le²=(157,913670*106)/(2,48*106) 
Le=8,11155 
 
EX. 36 – Um pilar-parede de concreto armado de uma ponte tem seção retangular de 1 m X 10 
m, sendo engastado na fundação e articulado no tabuleiro. A tensão de compressão admissível 
no pilar é de 12 MPa e o coeficiente de segurança à flambagem é 3,0.Sabendo-se que o módulo 
de deformação do concreto do pilar é de 3000 KN/cm2,pode-se afirmar que o pilar da ponte 
tem uma altura de: 
RESP.: Alternativa C 
C-I=PI*D4/64PI*(1,3)4/64=0,14019848 
P=PCRIT/CS 
PCIRT=(PI²*E*I)/LE²13000*10³=(PI²*2,84*10¹°*0,14019848)/LE² 
LE²=3,92971804*10¹°/13000*10³ 
LE=54,98 
IPI*D4/64 PI*(1,3)4/64=0,14019848 
P=PCRIT/CSPCIRT=(PI²*E*I)/LE²13000*10³=(PI²*2,84*10¹°*0,14019848)/LE² 
LE²=3,92971804*10¹°/13000*10³ 
LE=54,98 
EX. 38 – O módulo de deformação transversal do concreto é um parâmetro fundamental para o 
cálculo da torção em colunas de concreto armado com seção circular,tanto maciças,como 
vazadas. Sendo 0,2 o coeficiente ou módulo de Poisson de um concreto que tem módulo de 
deformação longitudinal de 3000 KN/cm2,pode-se afirmar que o módulo de deformação 
transversal G do concreto apresenta o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa A 
D-J=PI*(R^4r^4)/2 
J=PI*(0,20^40,195^4)/2=2,420587322E4m^4 
T=J*Tmáx/C=2,420587322E4*300E6/0,2 
T=363 KN 
EX. 39 – Uma coluna maciça de concreto armado , com 1 m de diâmetroi,está submetida a um 
momento de torção de 2000 KN.m , aplicado na sua seção superior.Considerando-se que a 
máxima tensão tangencial é a relação entre o torque aplicado e o momento resistente à 
torção,pode-se afirmar que a máxima tensão tangencial na coluna apresenta o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa E 
Ev=0,2 
E=3000kn/cm² 
E=2G(1+v) 
G=1250 KN/cm² 
v=0,2 
E=3000kn/cm² 
E=2G(1+v) 
G=1250KN/cm² 
v=0,2 
E=3000kn/cm² 
E=2G(1+v) 
G=1250 KN/cm² 
v=0,2 
E=3000kn/cm² 
E=2G(1+v) 
 
EX. 40 – Uma viga em balanço , de concreto armado , prismática e horizontal , tem seção 
transversal quadrada , com 1 m de lado e seu peso específico é de 25 KN/m3. A viga tem 10 m 
de comprimento e seu módulo de deformação é E = 3000 KN/cm2. Nessas condições pode-se 
afirmar que a flecha na metade do balanço apresenta o seguinte valor: 
RESP.: Alternativa E 
E - j=pixR^4/2=0.98 
t=jxtmax/c=2000x10^3=0.098xtmax/0.5 
tmx=10,2 mpa