Matematica Financeira - CAIXA - Pre Edital - 2023

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Você acaba de adquirir o material de Matemática Financeira para o concurso da 
CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. 
Esse material é totalmente focado no certame e aborda os principais pontos do 
edital da disciplina de Matemática Financeira. 
Caso tenha qualquer dúvida, você pode entrar em contato conosco enviando seus 
questionamentos para o seguinte e-mail: cadernomapeado@gmail.com. 
 
 
Bons Estudos! 
 
Rumo à aprovação!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
marcely silveira - marcely_silveira@hotmail.com - CPF: 014.998.545-28
mailto:cadernomapeado@gmail.com
 
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS .......................................................................................................................... 4 
CONCEITOS GERAIS - O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO; FLUXOS DE CAIXA 
E DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA; EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA ................................................. 5 
1) Valor do Dinheiro no Tempo ................................................................................................................. 5 
2) Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa ................................................................................. 5 
3) Equivalência financeira ........................................................................................................................... 6 
3.1) Tipos de equivalência financeira ....................................................................................................... 6 
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS ........................................................ 6 
1) Conceito e tipos de sequências ............................................................................................................. 6 
2) Progressões aritméticas e progressões geométricas ....................................................................... 7 
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ................................................................................................................ 7 
1) Conceitos Gerais ....................................................................................................................................... 7 
2) Juros Simples............................................................................................................................................. 8 
3) Juros Compostos ...................................................................................................................................... 9 
DESCONTOS - CÁLCULO DO VALOR ATUAL, DO VALOR NOMINAL E DA TAXA DE DESCONTO
 ......................................................................................................................................................................... 11 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SISTEMA PRICE; SISTEMA SAC ....................................................... 12 
1) Sistema de Amortização Constante (SAC) ....................................................................................... 12 
2) Price ........................................................................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
Pessoal! 
Antes de iniciarmos o estudo de Matemática Financeira, apresentaremos os assuntos que 
deverão ser cobrados no edital da CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. 
CONTEÚDO 
1 - Conceitos gerais - o conceito do valor do dinheiro no tempo; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de 
caixa; Equivalência financeira. 
2 - Sequências – lei de formação de sequências e determinação de seus elementos; progressões aritméticas 
e progressões geométricas. 
3 - Juros Simples – cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação 
financeira. 
4 - Juros Compostos - cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação 
financeira. 
5 - Descontos – cálculo do valor atual, do valor nominal e da taxa de desconto. 
6 - Sistemas de Amortização - sistema PRICE (método das prestações constantes); sistema SAC (método 
das amortizações constantes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
marcely silveira - marcely_silveira@hotmail.com - CPF: 014.998.545-28
 
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CONCEITOS GERAIS - O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO; FLUXOS DE CAIXA 
E DIAGRAMAS DE FLUXO DE CAIXA; EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA 
1) Valor do Dinheiro no Tempo 
O valor do dinheiro no tempo é um princípio fundamental da matemática financeira que reconhece 
que o dinheiro tem valor presente e pode ser investido para gerar retornos ao longo do tempo. Esse 
conceito baseia-se na ideia de que um valor recebido no futuro vale menos do que o mesmo valor 
recebido no presente. Isso ocorre porque o dinheiro tem a capacidade de crescer ao longo do tempo 
por meio de investimentos, juros ou outros mecanismos financeiros. 
Por exemplo, se você tiver a opção de receber R$ 1.000 hoje ou R$ 1.000 daqui a um ano, é mais 
vantajoso receber o dinheiro hoje, porque você pode investi-lo e obter um retorno sobre esse 
investimento ao longo do tempo. Além disso, existem outros fatores que podem afetar o valor do 
dinheiro ao longo do tempo, como a inflação, que reduz o poder de compra da moeda ao longo 
dos anos. 
 
2) Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa 
Os fluxos de caixa são uma representação dos valores monetários que entram e saem de uma 
empresa, projeto ou investimento ao longo do tempo. Esses fluxos podem ser positivos, indicando 
entradas de dinheiro, ou negativos, indicando saídas de dinheiro. 
Os diagramas de fluxo de caixa são uma forma visual de representar esses fluxos de caixa ao longo 
do tempo. Eles usam setas para representar as entradas e saídas de dinheiro e mostram a magnitude 
e o momento em que esses fluxos ocorrem. Tem-se como exemplo: 
 
 
Figura 1 – Representação de um Diagrama de Fluxo de Caixa (Portal Algo Sobre, 2001) 
O diagrama acima representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 
200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto 
e 200 no quinto ano. 
Os diagramas de fluxo de caixa são amplamente utilizados na análise de investimentos e na avaliação 
de projetos, pois ajudam a entender e visualizar os padrões de fluxo de caixa ao longo do tempo. 
Essas representações permitem que os profissionais financeiros analisem e comparem diferentes 
projetos ou investimentos, levando em consideração o valor do dinheiro no tempo. 
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3) Equivalência financeira 
Equivalência financeira é um conceito importante na matemática financeira que se refere à 
igualdade de valor entre diferentes fluxos de caixa em momentos diferentes no tempo. Duas séries 
de fluxos de caixa são equivalentes financeiramente quando possuem o mesmo valor em um 
determinado ponto no tempo. 
 
3.1) Tipos de equivalência financeira 
Existem diferentes tipos de equivalência financeira, como a equivalência de valores futuros e a 
equivalência de valores presentes. 
A equivalência de valores futuros ocorre quando diferentes fluxos de caixa, que podem ocorrer em 
momentos diferentes no futuro, têm o mesmo valor em um determinado ponto de referência. Por 
exemplo, se você está avaliando dois investimentos que resultarão em diferentes fluxos de caixa 
futuros, você pode comparar esses fluxos de caixa trazendo-os para um ponto de referência comum 
e verificando se eles são equivalentes em termos de valor. 
Já a equivalência de valores presentes ocorre quando diferentes fluxos de caixa, que ocorrem em 
momentos diferentes no presente, têm o mesmo valor. Isso permite que vocêcompare diferentes 
opções de investimento ou escolha a melhor forma de utilizar seu dinheiro, considerando o valor do 
dinheiro no tempo. 
A matemática financeira usa técnicas como o cálculo do valor presente líquido (VPL) e a taxa interna 
de retorno (TIR) para determinar a equivalência financeira e avaliar a viabilidade e a lucratividade de 
projetos, investimentos e transações financeiras 
 
SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS 
1) Conceito e tipos de sequências 
Uma sequência é uma lista ordenada de números, na qual cada número é chamado de elemento da 
sequência. A lei de formação de uma sequência é a regra que determina como os elementos são 
gerados ou calculados. 
Existem diferentes tipos de sequências, como sequências aritméticas e sequências geométricas. Na 
sequência aritmética, cada elemento é obtido pela adição de uma constante chamada de razão, ao 
elemento anterior. A fórmula geral de uma sequência aritmética é: 
an = a1 + (n - 1) × d 
onde "an" é o n-ésimo termo da sequência, "a1" é o primeiro termo, "n" é o número do termo 
desejado e "d" é a diferença comum entre os termos consecutivos. 
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Por exemplo, na sequência aritmética {2, 5, 8, 11, 14, ...}, temos a1 = 2 e d = 3. Podemos determinar 
qualquer elemento da sequência usando a fórmula geral. 
Já na sequência geométrica, cada elemento é obtido multiplicando o elemento anterior por uma 
constante chamada de razão. A fórmula geral de uma sequência geométrica é: 
an = a1 × 𝒓(𝒏−𝟏) 
onde "an" é o n-ésimo termo da sequência, "a1" é o primeiro termo, "n" é o número do termo 
desejado e "r" é a razão comum entre os termos consecutivos. 
Por exemplo, na sequência geométrica {3, 6, 12, 24, 48, ...}, temos a1 = 3 e r = 2. Podemos determinar 
qualquer elemento da sequência usando a fórmula geral. 
 
2) Progressões aritméticas e progressões geométricas 
As progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG) são tipos específicos de sequências 
que seguem regras particulares de formação. 
Uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre cada termo e o termo 
anterior é constante. Essa diferença é chamada de razão aritmética (d). Por exemplo, a sequência {2, 
5, 8, 11, 14, ...} mencionada anteriormente é uma progressão aritmética com d = 3. As progressões 
aritméticas são amplamente utilizadas na matemática financeira para modelar situações que 
envolvem crescimento ou decrescimento constantes. 
Uma progressão geométrica é uma sequência em que cada termo é obtido multiplicando o termo 
anterior por uma constante chamada de razão geométrica (r). Por exemplo, a sequência {3, 6, 12, 24, 
48, ...} mencionada anteriormente é uma progressão geométrica com r = 2. As progressões 
geométricas são frequentemente aplicadas em situações que envolvem crescimento exponencial ou 
decaimento exponencial. 
Tanto as progressões aritméticas quanto as progressões geométricas possuem fórmulas gerais para 
determinar qualquer termo da sequência, como mencionado anteriormente. Essas fórmulas são úteis 
para calcular elementos específicos de uma sequência e entender seu comportamento ao longo do 
tempo. 
 
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
1) Conceitos Gerais 
Inicialmente trataremos alguns conceitos gerais: 
Capital: Valor inicial que será aplicado 
Juros: É a remuneração obtida pelo capital durante a operação 
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Taxa de juros: Coeficiente, normalmente expresso em %, que define a taxa de variação do capital 
por unidade de tempo 
Tempo: Número de períodos 
Montante: Valor devido ao final da aplicação, ou seja, capital mais juros. 
Diagrama dos Fluxos de Caixa: Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das 
alternativas de investimento, ou seja, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma 
representação gráfica denominada Diagrama dos Fluxos de Caixa. (EUGENIO UNEMAT, 2009) 
 
2) Juros Simples 
 
 
É o juro no qual o valor acrescentado é fixo ao longo do tempo. O montante cresce em uma 
Progressão Aritmética. 
 
Cálculo de Juros Simples 
Fórmulas do Regime de Capitalização Simples: 
I) Juros) J=c×i×t (C é o capital inicial, i é a taxa de juro, t é o tempo) 
II.I) Montante) M=C+J (C é o capital inicial, J é o juro) 
II.II) Montante) M=C(1+i×t) 
 
Hora da questão 
(Questão para treino) No boleto bancário da sua prestação, uma pessoa leu que é cobrada uma 
multa de 1,2% por dia de atraso sobre o valor da prestação, condicionada a atrasos não maiores que 
30 dias. Em certo mês, essa pessoa pagou uma prestação com atraso, tendo de desembolsar R$ 
Elementos de uma 
operação de Juros
Capital (C)
Juros (J)
Taxa de juros (i)
Tempo (t)
Montante (M)
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233,20 em vez dos R$ 220,00 normalmente pagos nos meses em que não houve atraso no 
pagamento. Por quantos dias ela atrasou a prestação nesse mês? 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
Gabarito: A 
Comentário: 
Questão de aplicação de fórmula 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑀 = 𝑐 + 𝐽 
𝐽 = 𝑀 − 𝑐 = 233,20 − 220 = 13,20 
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠: 𝐽 = 𝑐 × 𝑖 × 𝑡 
13,20 = 220 × 1,2% × 𝑡 
13,20 = 220 ×
1,2
100
× 𝑡 
𝑡 = 5 
 
3) Juros Compostos 
É o juro acrescentado sobre o montante anterior. O montante cresce de forma exponencial conforme 
uma Progressão Geométrica. 
Cálculo de Juros Simples 
Fórmulas da Progressão Aritmética: 
I) Juros) J= M - C (M é o montante, C é o capital inicial, J é o juro) 
II) Montante) M = C(1 + i)𝑡 (C é o capital inicial, i é a taxa de juro, J é o juro, t é o tempo) 
 
Hora da questão 
(Questão para treino) Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$2.000,00, vencendo no dia de 
hoje. Com dificuldade de quitá-la, pediu o adiamento do pagamento para daqui a 3 meses. 
Considerando-se uma taxa de juros compostos de 2% a.m., qual é o valor equivalente, 
aproximadamente, que o gerente do banco propôs que ela pagasse, em reais? 
a) R$2.020,40 
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b) R$2.040,00 
c) R$2.080,82 
d) R$2.120,20 
e) R$2.122,42 
Gabarito: E 
Comentário: 
Questão de aplicação de fórmula 
Montante) M = C(1 + i)t 
Montante) M = 2000(1 + 2%)3 
M = 2000(1,02)3 = 2122,42 
 
 
Hora da questão 
(Questão para treino) Uma pessoa deixou de pagar a fatura do cartão de crédito, de modo que, 
após dois meses, o valor inicial da fatura se transformou em uma dívida de R$26.450,00. Nunca foram 
feitas compras parceladas e não foram feitas compras adicionais durante esses dois meses. 
Considerando-se que foram cobrados, indevidamente, juros compostos de 15% ao mês e que, por 
determinação judicial, o valor inicial deva ser reconsiderado para uma nova negociação entre as 
partes, o valor inicial da dívida era de 
a) R$18.515,00 
b) R$18.815,00 
c) R$20.000,00 
d) R$21.000,00 
e) R$21.115,00 
Gabarito: C 
Comentário: 
Questão de aplicação de fórmula 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 26450 = 𝐶(1 + 15%)2 
𝐶 =
26450
1,152
= 20000 
 
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DESCONTOS - CÁLCULO DO VALOR ATUAL, DO VALOR NOMINAL E DA TAXA DE DESCONTO 
Os descontos são uma parte importante da matemática financeira, especialmente quando se trata 
de calcular o valor presente de um fluxo de caixa futuro. Existem três conceitos fundamentais 
relacionados a descontos: valor atual, valor nominal e taxa de desconto. 
O valor atual, também conhecido como valor presente, é o valor atual de um fluxo de caixa futuro, 
levando em consideração o conceito do valor do dinheiro no tempo. Esse cálculo é realizado por 
meio de um processo chamado de desconto, em que os fluxos de caixa futuros são trazidos para o 
presente. 
Para calcular o valor atual, é necessário conhecer a taxa de desconto,que é a taxa de retorno 
requerida ou utilizada como base para trazer o valor futuro para o presente. A taxa de desconto 
reflete o custo de oportunidade do dinheiro ou o retorno que poderia ser obtido em um 
investimento alternativo de risco similar. 
O valor nominal, por outro lado, é o valor futuro de um fluxo de caixa, sem considerar o efeito do 
valor do dinheiro no tempo. É o valor indicado nos termos originais do contrato ou acordo. 
O cálculo do valor atual envolve a aplicação da taxa de desconto aos fluxos de caixa futuros, 
considerando a quantidade e o momento em que serão recebidos. A fórmula geral para calcular o 
valor atual de um fluxo de caixa é: 
VA = VF / (𝟏 + 𝐫)𝐧 
onde VA é o valor atual, VF é o valor nominal ou futuro, r é a taxa de desconto e n é o número de 
períodos. 
Por exemplo, se tivermos um valor nominal de R$ 1.000 a ser recebido daqui a um ano e a taxa de 
desconto for 10% ao ano, o valor atual seria calculado da seguinte forma: 
VA = 1000 / (𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎)𝟏 
VA = 1.000 / 1,10 
VA ≈ R$ 909,09 
Portanto, o valor atual desse fluxo de caixa seria de aproximadamente R$ 909,09. 
O cálculo da taxa de desconto envolve a determinação da taxa necessária para igualar o valor atual 
ao valor nominal. Essa taxa pode ser encontrada por meio de métodos iterativos, como o método 
da tentativa e erro, ou utilizando fórmulas mais avançadas, como a taxa interna de retorno (TIR). 
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Em resumo, o cálculo do valor atual, do valor nominal e da taxa de desconto é essencial na 
matemática financeira para avaliar a viabilidade de investimentos, comparar fluxos de caixa em 
momentos diferentes e tomar decisões financeiras com base no valor do dinheiro no tempo. 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SISTEMA PRICE; SISTEMA SAC 
Sistema de Amortização é um plano de extinção de um saldo devedor. 
 
 
A seguir alguns conhecimentos para entendimento desse sistema: 
Saldo devedor inicial: Quando ainda se deve pagar no início do período 
Saldo devedor final: Quando ainda se deve pagar no final do período 
Juros: É a remuneração obtida pelo capital durante o período. (J) 
Amortização: Parte da prestação a ser paga desconsiderando os juros. (A) 
Prestação: Soma da amortização mais os juros. P=A+J 
 
1) Sistema de Amortização Constante (SAC) 
É o sistema no qual as Amortizações são constantes. 
𝐈) Amortização: A =
E
n
 (A é a amortização, E é o valor do empréstimo, n é o número de períodos) 
𝐈𝐈) Juros: J = i × SDi (J é o juro, i é a taxa de juros, SDi saldo devedor inicial) 
𝐈𝐈𝐈) Prestação: P = A + J 
 
Hora da questão 
(Questão para treino) Um empréstimo deve ser pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais com 
juros de 3% ao mês. Se a terceira parcela paga no financiamento do empréstimo for igual a 
R$26.160,00, o valor total do empréstimo, em reais, será de 
a) 120.000,00 
Sistemas de amortização
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Price
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b) 124.000,00 
c) 128.500,00 
d) 132.800,00 
e) 135.600,00 
Gabarito: A 
Comentário: 
Prestação: P = A + J 
Amortização: A =
E
n
 
Juros: J = i × SDi 
Saldo Devedor inicial: SDi = 3 × A 
Prestação: P = A + i × 3 × A 
Prestação: P = A + 3% × 3 × A 
Prestação: P = 1,09 × A 
A =
P
1,09
=
26160
1,09
= 24000 
Amortização: A =
E
n
 
E = A × n = 24000 × 5 = 120000 
 
2) Price 
É o sistema no qual as Prestações são constantes. 
 
𝐈) Juros: J = i × SDi (J é o juro, i é a taxa de juros, SDi saldo devedor inicial) 
𝐈𝐈. 𝐈) Prestação: P = A + J (A é a amortização, E é o valor do empréstimo, n é o número de períodos) 
𝐈𝐈. 𝐈𝐈) Prestação: P =
E.i
1−(1+i)−n
 (E é o empréstimo, i é a taxa de juros, n é o número de períodos) 
 
 
Hora da questão 
(Questão para treino) Devido à pandemia, um microempreendedor precisou tomar um empréstimo 
no valor de R$ 20.000,00, em dez/2020, a ser pago em 24 prestações mensais iguais e postecipadas 
no sistema PRICE, de modo que a primeira fosse paga em jan/21, e a última, em dez/22. Considere 
que o Banco cobre R$ 660,00 de taxas, que serão financiadas juntamente com o valor do empréstimo, 
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por escolha do cliente, e que a taxa de juros cobrada, devido ao risco da operação, seja de 3% ao 
mês. 
Desconsiderando-se o IOF na operação e supondo-se que a primeira prestação foi paga na data de 
vencimento, o valor da segunda prestação, em sua respectiva data de vencimento será de, 
aproximadamente 
Dados: 1,0324 = 2,033 
a) R$1.120,00 
b) R$1.220,00 
c) R$1.320,00 
d) R$1.420,00 
e) R$1.520,00 
Gabarito: A 
Comentário: 
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 𝐼𝐼. 𝐼𝐼: 𝑃 =
𝐸 × 𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
 
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜: 𝑃 =
20600 ∗ 0,03
1 − (1 + 0,03)−24
 
𝑃 =
618
1 − 1,03−24
=
618
1 −
1
2,033
 
𝑃 =
618
1,033
2,033
= 1216,25 = 1.220,00 
 
 
 
 
 
 
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