Assunto 5 ENIAC Equações Diferenciais

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Aplicações de equações diferenciais de 
segunda ordem em engenharia
APRESENTAÇÃO
As aplicações das equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem permitem uma 
familiarização com os procedimentos ligados à modelagem de vários fenômenos naturais, além 
da compreensão do significado de cada termo que compõe essas equações. Captando os efeitos 
de segunda ordem das quantidades objeto, é possível visualizar, de maneira objetiva, como essas 
quantidades evoluem no tempo.
Para maior facilidade de compreensão desta Unidade, é importante que você lembre das noções 
e das propriedades ligadas às funções exponenciais, assim como aos métodos de cálculo de 
limites, derivação e integração; e dos conceitos de equação diferencial, solução geral, problema 
de valor inicial e de contorno, bem como os métodos associados à solução de equações 
diferenciais ordinárias lineares homogêneas e não homogêneas com coeficientes constantes e de 
segunda ordem.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará o modelo do movimento harmônico simples e 
do movimento harmônico amortecido. Além disso, verá como resolver exemplos desses 
modelos descritos por equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes 
de segunda ordem. Por fim, aprenderá sobre o modelo que descreve a carga no capacitor em um 
circuito em série LRC, descrito por uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de 
segunda ordem.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Solucionar problemas contendo movimento harmônico simples. •
Aplicar as equações diferenciais em problemas envolvendo o movimento amortecido. •
Relacionar as equações diferenciais de segunda ordem a situações envolvendo circuitos 
elétricos. 
•
DESAFIO
Uma ocorrência cotidiana modelada por um sistema massa-mola é quando se abre e abandona 
aberta uma porta com uma mola de controle. Nessa situação, ao abandonar a porta (massa 
objeto) aberta, ela suavemente retorna à posição de equilíbrio (fechada) sem bater. Por outro 
lado, se a porta for empurrada de volta, é possível adicionar energia suficiente ao sistema para 
que a porta retorne à posição de equilíbrio batendo, o que corresponde a uma tentativa da massa 
de passar da posição de equilíbrio. 
No papel de um engenheiro medindo a velocidade inicial necessária para um conjunto massa-
mola passar pela posição de equilíbrio x0 = 0 para algum t > 0, considere um sistema massa-
mola composto por um objeto de massa m = 5kg, uma mola com constante elástica k = 30kg/s2 
e que sofre uma força de atrito com módulo igual a 25 vezes a sua velocidade, como você pode 
observar na imagem a seguir:
Na ausência de outras forças, e supondo que a massa inicia seu movimento na posição x(0) = 
2m, com velocidade inicial x'(0) = v0, determine:
a) A posição x = x(t) da porta ao longo do tempo em relação à posição de equilíbrio x0 = 0.
b) A condição que v0 deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio.
INFOGRÁFICO
Em relação às equações de primeira ordem, as equações diferenciais lineares de segunda ordem 
agregam os termos de segunda ordem para traduzir melhor a realidade em um modelo 
matemático, o qual é capaz de captar efeitos mais sutis sobre as quantidades estudadas do 
fenômeno objeto. Essa tradução aparece em todas as ciências aplicadas, sendo essencial para a 
formação de qualquer profissional dessas áreas. 
Neste Infográfico, você vai ver quais são os elementos que compõem o modelo do sistema 
massa-mola de movimento livre e movimento amortecido, a classificação das soluções do 
movimento amortecido e os elementos que compõem o modelo do circuito elétrico LRC.
CONTEÚDO DO LIVRO
As equações lineares de segunda ordem não são tão intuitivas quanto às de primeira ordem em 
termos de modelagem, mas são bem mais flexíveis na captação de efeitos mais sutis sobre as 
quantidades objeto nos fenômenos estudados. Essas aproximações de segunda ordem são de 
grande utilidade para a compreensão da evolução desses fenômenos modelados, assim como de 
suas características.
No capítulo Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia, da obra 
Equações diferenciais, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai definir os 
modelos do movimento harmônico simples e do movimento harmônico amortecido por meio de 
equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem. 
Além disso, vai definir o modelo do circuito elétrico em série RLC por meio de equações 
diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem. Por 
fim, vai resolver exemplos de problemas de valor inicial associados a esses modelos.
Boa leitura.
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Marcelo Maximiliano Danesi
Aplicações de equações 
diferenciais de segunda 
ordem em engenharia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Solucionar problemas contendo movimento harmônico simples.
 � Aplicar as equações diferenciais em problemas envolvendo o movi-
mento amortecido.
 � Relacionar as equações diferenciais de segunda ordem a situações 
envolvendo circuitos elétricos.
Introdução
As equações diferenciais ordinárias lineares homogêneas e não homo-
gêneas de segunda ordem representam uma segunda aproximação 
matemática dos fenômenos observados na natureza. Assim, elas refinam 
os métodos das equações de primeira ordem, sendo extremamente 
comuns na física, na química, nas engenharias e em áreas afins.
Neste capítulo, você vai estudar o modelo do movimento harmônico 
simples e do movimento harmônico amortecido. Além disso, vai ver como 
resolver exemplos desses modelos descritos por equações diferenciais 
lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem. 
Por fim, vai aprender também sobre o modelo que descreve a carga 
no capacitor em um circuito em série LRC, descrito por uma equação 
diferencial ordinária linear não homogênea de segunda ordem. 
Movimento harmônico simples
Em termos de aplicações das equações diferenciais ordinárias lineares homo-
gêneas (EDOLH) de segunda ordem, vamos iniciar pelo modelo do movimento 
harmônico simples, a fim de identificar melhor os elementos da equação com 
os parâmetros do problema e o significado da solução que será calculada.
Dada uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem da forma:
tal que a(x) ≢ 0, se y1, y2 são soluções particulares linearmente independentes da 
EDOLH, então a solução geral dela é uma expressão da forma:
onde C1, C2 ∈ ℝ.
Observe que y1, y2 são funções linearmente independentes se, e somente se, y1 ≠ α ⋅ y2 
para qualquer α ∈ ℝ.
Lei de Hooke
Considere um sistema massa-mola (KNIGHT, 2009) composto por um objeto 
de massa m e uma mola de constante elástica k > 0. Suponha que esse objeto 
se desloca ao longo de um eixo horizontal e que, sem forças atuando sobre a 
mola, ele repousa na posição de equilíbrio x0 = 0. Dessa forma, como ilustrado 
na Figura 1, a Lei de Hooke afirma que, para cada deslocamento x, a mola 
aplica uma força restauradora F sobre o objeto tal que:
F = –kx
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia2
Figura 1. x é o deslocamento em relação à posição de 
equilíbrio.
Isso significa que, se x > 0, então o objeto foi deslocado para a direita ao 
longo do eixo horizontal, e a força restauradora será para a esquerda (F < 0). 
Por outro lado, se x < 0, então o objeto foi deslocado para a esquerda ao longo 
do eixo horizontal, e a força restauradora será para a direita (F > 0).
Nesse modelo, a única força atuando sobre o objeto é a força restauradora 
da mola. Assim, pela segunda lei de Newton, podemos afirmar que a força 
resultante é dada por:
onde a aceleração a é a segunda derivada da função posição x = x(t). Logo:
3Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
e, unindo as igualdades, podemos afirmar quea posição x(t) do objeto é a 
solução da EDOLH de segunda ordem com coeficientes constantes:
Uma EDOLH de segunda ordem com coeficientes constantes é uma equação da forma:
onde a, b, c ∈ ℝ, a ≢ 0. As soluções particulares dessa equação são determinadas pela 
equação característica:
de maneira que um dos casos a seguir ocorre.
1. Se a equação característica possui duas raízes reais distintas, m1 = a, m2 = b, então 
y1 = e
ax e y2 = e
bx são soluções particulares linearmente independentes da EDOLH, 
e a solução geral da EDOLH é:
2. Se a equação característica possui duas raízes reais iguais, m = a, então y1 = e
ax 
e y2 = xe
ax são soluções particulares linearmente independentes da EDOLH, e a 
solução geral da EDOLH é:
3. Se a equação característica possui duas raízes complexas conjugadas, m1 = a + bi 
e m2 = a – bi, onde a, b ∈ ℝ, então y1 = eax cos(bx) e y2 = eax sen(bx) são soluções 
particulares linearmente independentes da EDOLH, e a solução geral da EDOLH é:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia4
Para um sistema massa-mola sem forças externas, composto por um objeto de massa 
m = 2 kg e uma mola de constante elástica k = 32 kg/s2, a posição x = x(t) obedece a 
EDOLH com coeficientes constantes de segunda ordem:
Considerando que esse objeto é abandonado em x(0) = 10m com velocidade nula 
(x'(0) = 0m/s), resolver a função x(t) significa resolver o problema de valor inicial:
Resolvendo essa equação como uma EDOLH de coeficientes constantes de segunda 
ordem, olhamos para a equação característica:
que possui duas raízes complexas conjugadas:
isto é, as funções a seguir são soluções particulares linearmente independentes da 
EDOLH:
de forma que a solução geral da EDOLH é:
Para determinar as constantes C1, C2, usaremos as condições iniciais x'(0) = 0 e 
x(0) = 0, calculando que:
5Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
e substituindo em t = 0,
Logo:
e a solução do problema é:
Isso significa que o objeto fará, ao longo do tempo t, um movimento com amplitude 
de 10 metros e tempo de oscilação de π/2 segundos em torno da posição de equilíbrio.
Movimento amortecido
Compreender um sistema massa-mola livre de forças de atrito é uma forma 
intuitiva de perceber a composição das forças que atuam sobre o objeto. 
Podemos aproximar mais esse modelo da realidade se considerarmos outras 
forças atuando sobre o objeto, como uma força de atrito proporcional à sua 
velocidade, isto é, se β > 0:
Essa componente corresponde a uma força que reage ao movimento do 
objeto (e, portanto, no sentido contrário) e que é diretamente proporcional 
à sua velocidade, ou seja, quando a velocidade é dobrada, a força de atrito 
mudará na mesma proporção, igualmente dobrada. Veja as forças que atuam 
sobre uma mola na Figura 2.
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia6
Figura 2. x é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio, Fmola é a força restauradora 
da mola, e Fatrito é a resistência do ar (ou da superfície) em relação ao movimento do objeto.
Assim, as forças que atuam sobre o sistema são a força restauradora da 
mola e a força de atrito, de forma que a força total é:
Considerando a segunda lei de Newton, podemos afirmar que a posição 
x(t) do objeto é a solução da EDOLH de segunda ordem com coeficientes 
constantes:
Para um sistema massa-mola, composto de um objeto de massa m = 2 kg, uma mola 
de constante elástica k = 32 kg/s2 e uma força de amortecimento igual a oito vezes a 
velocidade instantânea, a posição x = x(t) obedece a EDOLH com coeficientes constantes 
de segunda ordem:
7Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Considerando que esse objeto é abandonado em x(0) = 10m com velocidade nula 
(x'(0) = 0m/s), resolver a função x(t) significa resolver o problema de valor inicial:
Resolvendo essa equação como uma EDOLH de coeficientes constantes de segunda 
ordem, olhamos para a equação característica:
que possui duas raízes complexas conjugadas:
isto é, as funções a seguir são soluções particulares linearmente independentes da 
EDOLH:
de forma que a solução geral da EDOLH é:
Para determinar as constantes C1, C2, usaremos as condições iniciais x'(0) = 0 e 
x(0) = 0, calculando que:
e substituindo em t = 0:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia8
o que se reduz a:
Logo:
e a solução do problema é:
No gráfico da solução demonstrada na Figura 3, observe que, conforme t evolui, 
x(t) rapidamente tende a oscilar minimamente e de forma assintótica em torno da 
posição de equilíbrio x = 0:
Figura 3. Gráfico da solução x(t).
9Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Uma observação importante sobre o modelo do movimento harmônico 
amortecido é que podemos classificar o comportamento das soluções possíveis, 
dependendo das raízes da equação característica, uma vez que, nesse modelo, 
a EDOLH de coeficientes constantes:
tal que m, β, k são constantes positivas, pode ser reescrita como:
se tomarmos:
Essa escolha de variáveis auxiliares é feita por motivos práticos, já que, de 
acordo com elas, as soluções da equação característica são:
Analisando o sinal de λ2 – ω2, podemos distinguir três casos possíveis.
1. Se λ2 – ω2 < 0, dizemos que o sistema é subamortecido. Nessa situação, 
o movimento é oscilatório pela presença da combinação entre senos 
e cossenos, enquanto a amplitude das oscilações se tornará cada vez 
menor com o incremento de t pelo termo e–λt. A solução geral desse 
caso é da forma:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia10
2. Se λ2 – ω2 = 0, dizemos que o sistema é criticamente amortecido. Nessa 
situação, a constante de amortecimento β é suficiente para impedir o 
surgimento de movimentos oscilatórios e, se a massa retornar à posição 
de equilíbrio, ela o fará apenas uma vez. A solução geral desse caso 
é da forma:
3. Se λ2 – ω2 > 0, dizemos que o sistema é sobreamortecido (ou supera-
mortecido). Nessa situação, note que ; assim, a solução 
geral:
 é dada pela combinação de duas exponenciais decrescentes. Dessa 
forma, a solução tende a zero suavemente e sem oscilações, conforme 
t aumenta.
Uma consequência da classificação das soluções do movimento amortecido é que, 
para uma EDOLH de segunda ordem da forma:
onde a, b e c são constantes positivas, todas as soluções y = y(t) tendem a zero quando 
t tende ao infinito. Essa conclusão — razoavelmente intuitiva, nesse caso — adiciona 
uma curiosidade interessante à próxima aplicação.
11Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Circuitos elétricos
Se i = i(t) é a corrente em um circuito em série LRC (KNIGHT, 2009), como 
mostrado na Figura 4, então a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da 
queda de voltagem através do indutor , do resistor (R ⋅ i) e do capacitor 
 é igual à voltagem E(t) impressa no circuito. Dessa forma:
onde q = q(t) é a carga no capacitor, e as constantes positivas L, R e C são, 
respectivamente, a indutância, a resistência e a capacitância do circuito.
Figura 4. Esquema de um circuito em série con-
tendo um indutor, um resistor e um capacitor.
Contudo, observando que a carga q(t) depende da corrente i(t) pela relação 
i = , podemos reescrever a equação anterior como uma equação diferencial 
linear de segunda ordem:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia12
Se tomarmos um circuito em série LRC com indutância L = 2H, resistência R = 10Ω, 
capacitância e que, em t = 0, a bateria foi desligada (E(t) = 0, t ≥ 0), podemos 
resolver a carga q(t) no capacitor supondo que q(0) = 0 e q'(0) = i(0) = 3A utilizando o 
problema de valor inicial:
Resolvendo essa equação como uma EDOLH de coeficientes constantes de segunda 
ordem, olhamos para a equação característica:
que possui duas raízes reais distintas:
isto é, as funções a seguir são soluções particulares linearmente independentes da 
EDOLH:
de forma que a solução geralda EDOLH é:
Para determinar as constantes C1, C2, usaremos as condições iniciais q'(0) = 3 e 
q(0) = 0, calculando que:
e substituindo em t = 0,
13Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
o que se reduz a:
Logo:
e a solução do problema é:
No gráfico da solução mostrado na Figura 5, observe que, conforme t evolui, q(t) 
rapidamente passa a um comportamento decrescente e assintótico:
Figura 5. Gráfico da solução q(t).
O exemplo anterior pode parecer forçado, mas retrata um caso particular 
do problema geral dado por uma equação diferencial ordinária linear não 
homogênea (EDOLNH) de segunda ordem quando E(t) ≢ 0.
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia14
Dada uma EDOLNH de segunda ordem da forma:
tal que a(x) ≢ 0 e f(x) ≢ 0, se yp é uma solução particular qualquer da EDOLNH, então 
a solução geral é da forma:
onde yh é a solução geral da EDOLH associada, isto é,
Dada uma EDOLNH de segunda ordem da forma:
onde a, b, c ∈ ℝ e f(x) é uma combinação de exponenciais, polinômios, senos e cos-
senos, se:
então o método dos coeficientes a determinar nos dá formas para uma solução 
particular yp, tal que:
Essas formas da solução yp dependem da forma de f(x) e da equação característica:
da EDOLH associada, conforme os seguintes casos:
15Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Caso 1. f(x) = Aeux onde A, u ∈ ℝ.
a) Se m = u não é raiz da equação característica, então existe a0 ∈ ℝ tal que:
b) Se m = u é raiz de multiplicidade l da equação característica, então existe a0 ∈ ℝ 
tal que:
Caso 2. f(x) = p(x) ⋅ eux, onde u ∈ ℝ e p(x) é um polinômio de grau n.
a) Se m = u não é raiz da equação característica, então existem an, …, a1, a0 ∈ ℝ tal que:
b) Se m = u é raiz de multiplicidade l da equação característica, então existem an, …, 
a1, a0 ∈ ℝ tal que:
Caso 3. f(x) = Aeux cos(vx) ou f(x) = Aeux sen(vx), onde A, u, v ∈ ℝ.
a) Se m = u + vi não é raiz da equação característica, então existem a0, b0 ∈ ℝ tal que:
b) Se m = u + vi é raiz da equação característica, então existem a0, b0 ∈ ℝ tal que:
Caso 4. f(x) = p(x)eux cos (vx) ou f(x) = p(x)eux sen (vx), onde u, v ∈ ℝ e p(x) é um 
polinômio de grau n.
a) Se m = u + vi não é raiz da equação característica, então existem an, …, a1, a0, bn, 
…, b1, b0 ∈ ℝ tal que:
b) Se m = u + vi é raiz da equação característica, então existem an, …, a1, a0, bn, …, 
b1, b0 ∈ ℝ tal que:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia16
Adicionalmente, se f(x) = f1(x) + f2(x) e existem yp1, yp2 tal que:
então:
pois L é um operador diferencial linear e yp = yp1 + yp2.
No mesmo circuito em série LRC com indutância L = 2 H, resistência R = 10 Ω e capa-
citância C = F112 , se em t = 0 acionarmos uma bateria de força eletromotriz E(t) = 
4 cos(t), podemos resolver a carga q(t) no capacitor supondo que q(0) = 0 e q'(0) = 0 
utilizando o problema de valor inicial:
Resolvendo essa equação como uma EDOLNH de coeficientes constantes de segunda 
ordem, olhamos para a equação característica da EDOLH associada:
que possui duas raízes reais distintas:
isto é, as funções a seguir são soluções particulares linearmente independentes da 
EDOLH:
17Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
de forma que a solução geral da equação homogênea é:
Para determinar uma solução particular qp da equação não homogênea, usamos o 
método dos coeficientes a determinar. De acordo com o método, para f(t) = 4 cos(t), 
procuramos uma solução particular qp de acordo com o caso 3 para u = 0 e v = 1, isto 
é, existem a0, b0 ∈ ℝ tal que:
uma vez que m = 0 + 1i não é raiz da equação característica da EDOLH associada. 
Para determinarmos a0 e b0, substituímos qp na EDOLNH e calculamos algebricamente 
esses valores fazendo:
derivando e agrupando os coeficientes:
Identificando os coeficientes à esquerda e à direita, podemos determinar um sistema:
cuja solução é:
Logo:
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia18
A solução geral da EDOLNH é:
Para determinar as constantes C1, C2, usaremos as condições iniciais q'(0) = 0 e 
q(0) = 0, calculando que:
e substituindo em t = 0:
o que se reduz a:
Logo:
e a solução do problema é:
No gráfico da solução da Figura 6, observe que, conforme t evolui, q(t) suavemente 
passa a um comportamento oscilatório e quase periódico, quando os termos expo-
nenciais tendem a zero e os termos trigonométricos dominam a expressão.
19Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Figura 6. Gráfico da solução q(t).
No exemplo anterior, usamos o método dos coeficientes a determinar para 
encontrar uma solução particular qp, mas esse não é o único método dispo-
nível com essa finalidade. Veja a seguir o método da variação de parâmetros 
e como seria o cálculo da solução particular do exemplo anterior, de acordo 
com esse método.
Dada uma EDOLNH de segunda ordem da forma:
Se y1 e y2 são soluções particulares linearmente independentes da EDOLH asso-
ciada, então a EDOLNH admite a solução particular yp, pelo método da variação de 
parâmetros, da forma:
onde:
é o wronskiano de y1, y2.
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia20
No exemplo anterior, para:
vimos que a EDOLH associada tem soluções particulares linearmente independentes 
dadas por:
Para determinar uma solução particular qp da equação não homogênea usando o 
método da variação de parâmetros:
observamos que r(t) é o termo não homogêneo dividido pelo coeficiente do termo 
de segunda ordem, isto é, r(t) = 2 cos (t) e W(q1, q2), tal que:
Assim, calculamos diretamente qp:
21Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia
Vale ressaltar que, no cálculo da solução particular pelo método da variação 
de parâmetros, desconsideramos as constantes de integração, já que qualquer 
solução particular da EDOLNH serve para compor a sua solução geral. 
KNIGHT, R. Física: uma abordagem estratégia. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. v. 3.
Referência
Aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia22
DICA DO PROFESSOR
As equações diferenciais de segunda ordem permitem a modelagem de inúmeros problemas da 
Física, da Química e das demais ciências aplicadas, trazendo vários desafios no que compete à 
organização, à interpretação e à argumentação sobre os cálculos necessários a esses elementos.
Nesta Dica do Professor, você vai ver a análise e a resolução de um problema de circuitos em 
série do tipo LRC envolvendo uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de 
segunda ordem. 
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EXERCÍCIOS
1) Um sistema massa-mola composto de um objeto de massa m = 1/2kg e uma mola de 
constante elástica k = 3kg/s2 realiza um movimento harmônico simples, iniciando na 
posição x(0) = 8m com velocidade inicial x'(0) = -2m/s.
Determine a posição aproximada do objeto em relação à posição de equilíbrio após 4 
segundos de movimento.
A) 8m.
B) 7,1517m.
C) 5,1517m.
D) -5,1517m.
E) -7,1517m.
2) Um sistema massa-mola é composto por um objeto de massa m, uma mola de 
constante elástica k=2 kg/s2 e uma força de amortecimento numericamente igual à 
velocidade instantânea. 
Determine a massa m do objeto de forma que esse sistema, livre de outras forças, seja 
criticamente amortecido. 
A) m = 1/8kg 
B) m = 1/4kg.
C) m = 1/2kg.
D) m = ≥ 3/4kg.
E) m > 1kg.
3) Um sistema massa-mola é composto por um objeto de massa m = 9kg, uma mola de 
constante elástica k = 1kg/s2 e uma força de amortecimento numericamente igual a 6 
vezes a velocidade instantânea.
Determine o tempo t em que o objeto passa pelo ponto de equilíbrio se x(0) = -4m e 
x’(0) = 2m/s.
A) t = 3s.
B) t = 4s.
C) t = 5s.
D) t = 6s.
E) t = 7s.
4) Em um circuito em série LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm, 
capacitância C = 1/3 farad e uma bateria de força eletromotriz E = 12 volt, determine 
a equaçãodiferencial ordinária linear de segunda ordem que descreve a carga q = 
q(t) no capacitor.
A) 2q''+7q'+1/3q=12.
B) 2q''+7q'+3q=12.
C) 2q''+1/3q'+7q=12.
D) 2q''+3q'+7q=12.
E) q''+7q'+3q=6.
5) Em um circuito em série LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm e 
capacitância C = 1/3 farad, tal que em t = 0 aciona-se uma bateria de força 
eletromotriz E(t) = 12 volt, determine a carga aproximada no capacitor em t = 3s, 
supondo que q(0) = 0 e q'(0) = 0.
A) 0 coulomb.
B) 1,929 coulomb.
C) 2,929 coulomb.
D) 3,929 coulomb.
E) 4 coulomb.
NA PRÁTICA
O modelo do sistema massa-mola é uma forma de medição de uma força de módulo 
desconhecido por meio de uma mola de constante elástica conhecida. Esse método muito usado 
nas ciências aplicadas permite, por exemplo, a construção das balanças mecânicas.
Neste Na Prática, você vai ver o exemplo de uma situação envolvendo um sistema massa-mola 
não amortecido e perturbado por uma brisa constante na direção do movimento do objeto, o 
qual dá origem a uma equação diferencial ordinária linear não homogênea.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Introdução ao estudo das equações diferenciais parciais
No vídeo a seguir, o professor Pedro Fagundes, da Universidade Virtual do Estado de São Paulo 
(Univesp), resolve o modelo da distribuição de calor em uma barra homogênea usando uma 
equação diferencial parcial que depende de equações diferenciais ordinárias de primeira e 
segunda ordem para a sua resolução. Confira.
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Solução analítica de um problema bidimensional de propagação de ondas em meio não 
homogêneo pelo método de separação de variáveis
Nesta dissertação, você vai ver o estudo da propagação de ondas em vários meios usando 
equações diferenciais parciais que, uma vez separadas, recorrem em EDOL homogêneas de 
segunda ordem para descrever as soluções desses modelos. Veja a seguir.
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Um estudo de equações diferenciais aplicado à flexão de vigas
Nesta dissertação, você vai ver um estudo sobre a flexão de vigas usando equações diferenciais 
lineares homogêneas e não homogêneas de segunda ordem e ordem superior. Confira.
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Lista de exercícios
Para aprender aplicações de equações diferenciais de segunda ordem em engenharia, é 
importante que você exercite o conteúdo. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e 
resolva as questões.
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