Assunto 04 - Determinantes e Autovalores ENIAC

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Determinantes e Autovalores
APRESENTAÇÃO
O determinante de uma matriz de números reais é um número real. Este, como você verá, 
carrega importantes informações sobre a matriz ou o sistema a ela associado. O cálculo desse 
determinante pode ser realizado de maneira simples, porém a quantidade de operações aumenta 
rapidamente à medida que cresce o número de variáveis do sistema. A álgebra linear consiste 
em área matemática responsável por fornecer ferramentas de significativa importância em suas 
modernas aplicações computacionais. Ela está presente desde os aplicativos de GPS até os 
sofisticados serviços de inteligência artificial.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que esteja 
familiarizado com os seguintes tópicos: produto de matrizes, sistemas lineares e matrizes e 
resolução de sistemas lineares.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar os determinantes e suas propriedades, além 
de verificar como encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes e saber de que modo 
relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir determinantes e algumas de suas propriedades. •
Encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes. •
Relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes. •
DESAFIO
Você deve conhecer a fórmula para calcular a área de um retângulo: base x altura, além de saber 
que a área de um triângulo retângulo é igual à metade da área do retângulo. 
Mas essas fórmulas não funcionam em todos os casos. Você sabia que uma das mais 
importantes aplicações do cálculo está na determinação de áreas? E que o determinante se 
relaciona diretamente com o cálculo da área de um triângulo em geral?
Considere o triângulo da figura a seguir.
O triângulo da figura tem vértices nos pontos (2, 1), (4, 0) e (1, -3). Como você pode utilizar 
determinantes para encontrar a área desse triângulo?
INFOGRÁFICO
O método dos cofatores é um dos que você vai aprender nesta Unidade a fim de calcular 
determinantes. 
Ele permite calcular determinantes para matrizes de tamanhos arbitrários. Contudo, à medida 
que a dimensão da matriz aumenta, também cresce o número de cálculos necessários.
A seguir, veja quais são os cálculos envolvidos na expansão em cofatores. 
CONTEÚDO DO LIVRO
A álgebra linear desenvolveu-se em contexto de acelerado desenvolvimento dos mecanismos 
tecnológicos, especialmente dos computadores. Ela fornece ferramentas que têm papel central 
na solução de sistemas lineares de altíssima complexidade, como os sistemas de controle em 
aplicações industriais ou mesmo no manejo de grande quantidade de dados no mercado 
financeiro.
Leia o capítulo Determinantes e autovalores, da obra Álgebra linear, e aprenda 
a calcular determinantes e suas propriedades. Saiba também como utilizá-los no cálculo de 
matrizes inversas e na diagonalização de matrizes.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
Determinantes e 
autovalores
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir determinantes e algumas de suas propriedades.
 � Encontrar a matriz inversa com o uso de determinantes.
 � Relacionar autovalores com o processo de diagonalização de matrizes.
Introdução
Neste capítulo, você estudará um pouco mais sobre matrizes, que têm 
aplicações nos mais variados locais — desde a planilha de Excel ao pro-
cesso de gerenciamento de estoques, ou mesmo o controle de complexos 
sistemas de produção.
Nesse contexto, o determinante é uma poderosa ferramenta, um 
invariante numérico de uma matriz que pode auxiliar a obter preciosas 
informações sobre a matriz e, até mesmo, o sistema associado a ela.
Você também será apresentado às ferramentas utilizadas no processo 
de diagonalização de uma matriz, como autovetores, autovalores e po-
linômios característicos.
Determinantes e suas propriedades
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Antes de 
introduzir sua definição precisa, apresentaremos alguns exemplos de casos 
particulares, que podem ajudar na compreensão do caso geral. Seguiremos 
uma linha semelhante à apresentada em Nicholson (2006).
Caso 2 × 2
Consideremos a seguinte matriz:
O determinante da matriz A será denotado por det(A) e pode ser calculado 
da seguinte maneira:
det(A) = (2 × 1) – (3 × 1) = 2 – 3 = –1 
como, em resumo, o produto dos elementos da diagonal principal (a da 
esquerda para a direita) menos o produto dos elementos da diagonal secundária 
(a da direita para a esquerda). Essa propriedade é válida para matrizes dois 
por dois em geral, isto é, você poderá utilizar a seguinte fórmula:
Se , então det(A) = (a × d) – (c × b)
Para calcular o determinante da matriz B = 1 1
2 2
. Você deverá proceder da seguinte 
maneira:
det(B) = (1 × 2) – (2 × 1) = 2 – 2 = 0
Um fato importante para se considerar em matrizes, de maneira geral, é 
que uma matriz quadrada An×n é invertível se, e somente se, seu determinante 
for diferente de zero. Assim, os exemplos anteriormente apresentados são de 
uma matriz invertível — a matriz A — e da matriz B , que não possui inversa. 
Para matrizes 2 × 2, cujo determinante seja não nulo, podemos ainda trabalhar 
com a seguinte fórmula:
 tem como inversar a matriz 
Determinantes e autovalores2
Caso 3 × 3
Para matrizes de tamanho 3 × 3, você poderá calcular o determinante utilizando 
determinantes menores e cofatores. 
Definição: se A é uma matriz quadrada, então, o menor relacionado à entrada aij 
(também denominado ij-ésimo menor de A) é denotado por Mij e definido como o 
determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima 
coluna de A. O número Cij = (–1)
i+jMij é denominado cofator da entrada aij (ou o ij-ésimo 
cofator).
Considere a matriz A =
1 0 2
1 1 1
3 0 2
. O cálculo para C31 pode ser realizado da seguinte 
maneira.
Sabe-se que C31 = (–1)
3+1M31 e que o menor M31 é o determinante da matriz que 
obtemos após eliminar a linha 3 e a coluna 1 da matriz A. Ou seja:
M = = 0 × 1 – 1 × 2 = –2
0 2
1 1
Portanto:
C31 = (–1)
3+1M31
C31 = (–1)
4(–2)
C31 = 1(–2)
C31 = –2
A partir dos cofatores, podemos calcular o determinante de uma matriz 
quadrada An×n , utilizando a expansão do determinante em cofatores.
3Determinantes e autovalores
Expansão em cofatores
Seja An×n uma matriz quadrada de números reais, a expansão em cofatores do 
determinante da matriz An×n a partir da k-ésima linha é dada por:
det(A) = ak1Ck1 + ak2Ck2 + ak3Ck3 + … + aknCkn 
É muito importante estar alerta ao termo (–1)i+j, pois um erro de sinal nessa parte do 
cálculo é muito comum. Para evitar que isso aconteça, lembre-se de que o resultado 
dessa conta depende da paridade de i + j. Se i + j for par, o resultado será igual a 1; se 
i + j for ímpar, o resultado será igual a –1.
Essa fórmula permite calcular o determinante de matrizes de qualquer 
tamanho, mas observe que o número de operações cresce de maneira muito 
rápida. O determinante de uma matriz 3 × 3 implica três determinantes de 
matrizes 2 × 2 na sua expansão em cofatores. Já o determinante de uma matriz 
4 × 4 implica quatro determinantes de matrizes 3 × 3, sendo que cada um 
desses implica três determinantes de matrizes 2 × 2, gerando um total de 12 
determinantes 2 × 2. 
Vejamos um exemplo do cálculo de determinantes utilizando a expansão em cofatores.
Considere novamente a matriz A =
1 0 2
1 1 1
3 0 2
. Vamos calcular o seu determinante, 
fazendo a expansão em cofatores a partir da linha 1. Temos:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(A) = 1C11 + 0C12 + 2C13
det(A) = C11 + 2C13
Determinantes e autovalores4
Agora, calculamos os cofatores:
 
1 1
0 2
C11 = (–1)
1+1 M11
C11 = 1 
C11 = 1 × [2]
C11 = 2
e
1 1
3 0
C31 = (–1)
1+3 M13
C31 = 1 
C31 = 1 × [–3]
C31 = –3
Segue que:
det(A) = 2 + 2 × (–3) = –4Um ponto a ser destacado é que a expansão pode ser feita a partir de 
qualquer uma das linhas. Não existe nenhuma restrição, mas, a fim de reduzir 
o número de cálculos, é comum escolher a linha com a maior quantidade de 
zeros. Veja o seguinte exemplo.
Considere a matriz H =
1 0 0
3 2 1
3 1 1
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo a 
expansão em cofatores a partir da linha 1, tendo em mente que essa é a linha que tem 
a maior quantidade de elementos nulos.
Utilizando a fórmula de expansão, obtemos:
det(H) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(H) = 1C11 + 0C12 + 0C13
det(H) = C11
Perceba que, como a linha tem dois elementos nulos, o cálculo do determinante 
reduziu-se ao de um determinante de ordem 2 × 2.
5Determinantes e autovalores
2 1
1 1
C11 = (–1)
1+1 M11
C11 = 1 
C11 = 1 × [2 – 1]
C11 = 1
Portanto, det(H) = C11 = 1.
A seguir, apresentamos algumas das propriedades mais importantes do 
determinante de uma matriz, que podem ser de muita utilidade no cálculo de 
determinantes.
 � P1: o determinante da matriz nula é igual a zero.
 � P2: o determinante da matriz identidade In×n é igual a um.
 � P3: o determinante é uma função linear de cada linha — isto é, se 
multiplicarmos uma linha por k, o determinante da matriz é multipli-
cado por k. 
 � P4: se duas linhas (ou colunas) da matriz são iguais, ou múltiplo não 
nula uma da outra, o determinante da matriz é igual a zero.
 � P5: se uma das linhas (ou colunas) for formada apenas por elementos 
nulos, o determinante da matriz é igual a zero.
 � P6: se a matriz for triangular ou diagonal, o determinante é igual ao 
produto dos elementos da diagonal da matriz. 
Considere a matriz A =
1 2 3
2 4 6
3 0 2
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso 
das propriedades do determinante. Observe que a linha 2 é múltipla da linha 1. De 
forma mais precisa, L2 = 2L1. Portanto, o determinante da matriz é igual a zero.
Veja, agora, um exemplo sobre matrizes triangulares.
Determinantes e autovalores6
Considere a matriz A =
7 0 0
2 –1 0
1 1 –4
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo uso 
das propriedades do determinante. Observe que a matriz é do tipo triangular superior. 
Logo, seu determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Portanto:
det(A) = 7 × (–1) × (–4) = 28 
Como dito anteriormente, a expansão em cofatores pode ser utilizada para 
matrizes de qualquer dimensão, não apenas 2 × 2 ou 3 × 3. Veja um exemplo 
disso a seguir.
Considere a matriz A =
1 0 0 5
1 2 4 1
3 0 0 0
1 1 0 0
. Pode-se calcular o seu determinante fazendo 
uso da fórmula de expansão em cofatores. Para tal, a escolha da terceira linha da 
matriz pode ser uma boa opção, tendo em vista que é a que contém mais elementos 
nulos. Obtém-se:
det(A) = a31C31 + a32C32 + a33C33 + a34C34
det(A) = a31C31 + 0C32 + 0C33 + 0C34
det(A) = a31C31
det(A) = 3C31
Resta calcular o cofator C31. Nesse caso:
C31 = –20
C31 = (–1)
3+1 ×
0 0 5
2 4 1
1 0 0
C31 = 1 × 1 (–1)
3+1 × 0 5
4 1
Segue que det(A) = 3 × (–20) = –60.
7Determinantes e autovalores
Matriz inversa
Na seção anterior, você aprendeu que uma matriz possui inversa se, e somente 
se, seu determinante é diferente de zero. Além disso, você também aprendeu 
a calcular a matriz inversa de uma matriz 2 × 2, utilizando o determinante. 
Agora, verá como utilizar a fórmula de expansão em cofatores para encon-
trar a inversa de uma matriz quadrada de qualquer dimensão. Para tal, você 
precisará do seguinte resultado.
Teorema: seja A3×3 uma matriz cujo determinante é diferente de zero, e então 
sua matriz inversa A–1 pode ser calculada desta forma:
Em palavras, a matriz inversa de A é igual ao inverso do determinante de 
A multiplicado à transposta da matriz de cofatores de A.
O resultado foi enunciado no caso 3 × 3, para facilitar a compreensão, mas 
pode ser utilizado para matrizes de qualquer dimensão. Veja um exemplo da 
aplicação desse resultado.
Considere a matriz A =
1 0 3
0 1 0
0 0 2
 , do tipo triangular inferior. Portanto, seu determinante 
é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Segue que det(A) = 1 × (1) × (2) = 2. 
Portanto, pode-se aplicar o resultado anterior a essa matriz. Agora, basta montar a 
transposta da matriz de cofatores para encontrar a inversa:
C11 C21 C31
C12 C22 C32
C13 C23 C33
=
2 0 –3
0 2 0
0 0 1
Determinantes e autovalores8
A matriz inversa de A tem a seguinte forma:
A–1 = 1
2
2 0 –3
0 2 0
0 0 1
A–1 =
1 0 –3/2
0 1 0
0 0 1/2
Uma simples multiplicação das matrizes é suficiente para verificar que A × A–1 = I3×3.
Um importante resultado sobre matrizes inversas é enunciado a seguir.
Teorema: dada uma matriz An×n, as afirmações listadas a seguir são equivalentes.
1. An×n é invertível.
2. det(A) ≠ 0.
3. As n linhas de An×n são linearmente independentes.
Veja um exemplo da aplicação desse resultado.
Considere a matriz A =
1 1 0
0 1 0
1 0 2
. Como decidir se ela é invertível ou não? Podemos 
utilizar qualquer um dos itens da equivalência apresentada. Escolhemos, então, a mais 
comum: o valor do determinante. 
Usaremos a expansão em cofatores a partir da segunda linha. Por que? Porque essa 
é a linha com a maior quantidade de elementos nulos. Obtemos:
det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23
det(A) = 0C21 + 1C22 + 0C23
det(A) = C22
9Determinantes e autovalores
O cálculo do cofator C22 pode ser feito da seguinte maneira:
C22 = (–1)
2+2 ×
1 0
1 2
1 0
1 2
C22 = 1 ×
C22 = 1
Logo:
det(A) = 1 ≠ 0
Portanto, a matriz A é invertível.
Outro fato importante sobre matrizes inversas é que elas são fortemente 
relacionadas aos sistemas lineares. Considere um sistema de equações lineares 
homogêneo, cuja forma matricial seja:
Ax = 0
Fato: o sistema linear homogêneo anterior tem apenas a solução trivial se, e 
somente se, a matriz A é invertível.
Esse fato nos fornece uma maneira simples e prática de verificar se a solução 
trivial (vetor nulo) é a única de um sistema linear homogêneo. 
É comum o erro de, em vez de se utilizar a matriz transposta da matriz de cofatores, 
se tomar a própria matriz de cofatores.
Concluímos esta seção com uma importante relação entre o determinante 
de uma matriz e o determinante de sua inversa. 
Determinantes e autovalores10
Teorema: seja An×n uma matriz invertível, então:
Veja, a seguir, um exemplo de aplicação desse resultado.
Considere a matriz A =
23 0 0
 2 1 0
 1 1 1
. Qual é o determinante de A–1? 
Sabemos que A é uma matriz triangular inferior. Logo, segundo as propriedades 
do determinante, ele é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Ou seja:
det(A) = 23
Portanto, aplicando o teorema anterior, obtém-se:
det(A–1) =
1
23
Observe que a exigência de o determinante ser diferente de zero, A invertível 
é necessária, uma vez que não se pode ter divisão por zero.
Autovalores e diagonalização de matrizes
Nesta seção, você verá como calcular os autovalores de uma matriz e como 
utilizá-los no processo de diagonalização de matrizes, essencial na resolução 
de sistemas lineares. 
Um número λ ≠ 0 é um autovalor de uma matriz An×n, se existe algum 
vetor v, tal que:
Av = λv
11Determinantes e autovalores
Em palavras, λ é um autovalor de An×n, se existir um vetor v , tal que, ao 
aplicarmos An×n sobre v obtemos λv. Nesse caso, a operação de aplicar uma 
transformação linear foi capsulada no produto por um número. Diremos, 
também, que v é um autovetor de An×n associado ao autovalor λ.
Isso é equivalente a dizer que λ é um autovalor de An×n, se existir solução 
para o sistema linear homogêneo (A – λI)v = 0.
Outra maneira de procurar pelos autovalores de uma matriz é por meio do 
polinômio característico. Dada uma matriz An×n, seu polinômio característico 
é definido por:
p(λ) = det(A – Iλ)
Dada a matriz A =
2 0 0
3 1 0
1 –2 2
 , que é do tipo triangular superior, pode-se encontrar 
o polinômio característico da seguinte maneira:
p(λ) = det(A – Iλ)
p(λ) = (2 – λ)2(1 – λ)
p(λ) =
2 – λ 0 0
 3 1 – λ 0
 1 –2 2 – λ
Segueque os autovalores de A são λ1 = 1 e λ2 = 2, este último com multiplicidade 
2, isto é, λ2 = 2 é uma raiz dupla do polinômio característico.
Observe, ainda, que, conhecidos os autovalores, se pode resolver os sistemas lineares 
associados e encontrar os autovetores.
Agora, você verá um resultado apresentado por Nicholson (2006), que nos 
permite relacionar autovalores e autovetores com o processo de diagonalização 
de matrizes. 
Determinantes e autovalores12
Teorema: seja An×n uma matriz, então:
1. a é diagonalizável se, e somente se, ela possui autovetores x1, x2, ..., xn, 
tais que a matriz P = [x1, x2, ..., xn] é invertível;
2. quando esse for o caso, temos PAP–1 = diag(λ1, λ2, ..., λn), onde λi é o 
autovalor associado ao autovetor xi.
Como aplicação desse resultado, veja o seguinte exemplo.
O problema consiste em procurar, caso exista, a forma diagonalizada da matriz:
A =
 2 0 0
–3 0 0
 0 1 0
O polinômio característico dessa matriz tem a seguinte forma:
p(λ) = (2 – λ)(λ – 1)(1 + λ)
Existem, portanto, três autovalores diferentes, como requer o teorema. A saber 
λ1 = 2, λ2 = 1 e λ3 = –1 associados, respectivamente, aos seguintes autovetores:
v1 =
–1
2
1
v2 =
0
1
1
v3 =
0
1
–1
Segue que a matriz P tem a seguinte forma:
P =
–1 0 0
 2 1 1
 1 1 –1
Para verificar o resultado, basta realizar:
–1 0 0
 2 1 1
 1 1 –1
 2 0 0
–3 0 0
 0 1 0
–1 0 0
 2 1 1
 1 1 –1
=
2 0 0
0 1 0
0 0 –1
O fato de termos P = P–1 foi apenas uma coincidência, não é uma regra.
13Determinantes e autovalores
Você encontrará exercícios e vídeos de boa qualidade com excelente conteúdo na 
Khan Academy, disponível no link a seguir.
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Veja um último exemplo sobre a diagonalização de matrizes.
Dada a matriz:
H =
 3 0 0
 0 2 0
–1 0 7
Deve-se encontrar sua forma diagonal D. Para tal, começa-se encontrando o poli-
nômio característico da matriz. Observe, ainda, que essa matriz é do tipo triangular 
superior. Portanto:
p(λ) = (3 – λ)(2 – λ)(7 – λ)
Pode-se concluir que D tem a seguinte representação:
D =
3 0 0
0 2 0
0 0 7
Um último resultado, extremamente interessante e relacionado ao polinômio 
característico de uma matriz, é o Teorema de Cayley-Hamilton. Esse resultado, 
atribuído aos matemáticos Arthur Cayley e William Hamilton, diz que uma 
matriz An×n é um zero de seu próprio polinômio característico. De maneira 
mais precisa, quer dizer o seguinte.
Determinantes e autovalores14
Teorema (Cayley-Hamilton): considere a matriz An×n. Se p(λ) é o polinômio 
característico da matriz An×n, então:
p(A) = 0
Esse teorema fornece um excelente teste para verificar se o cálculo do 
polinômio característico foi efetuado de maneira correta. 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
612 p.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. 394 p.
Leitura recomendada
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear: mais de 600 exercícios resolvidos. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2011. 434 p. (Coleção Schaum).
15Determinantes e autovalores
DICA DO PROFESSOR
Quando o determinante de uma matriz de ordem 3 x 3 é calculado pela expansão em cofatores, 
caso não exista linha com um ou mais elementos nulos, pode ser necessário calcular 3 
determinantes de ordem 2 x 2. Mas, assim como para matrizes 2 x 2, também existe uma regra 
especial para as 3 x 3.
Na sequência, veja como calcular o determinante de uma matriz de tamanho 3 x 3 por meio 
da regra de Sarrus, simples, mas aplicável apenas nessa situação.
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EXERCÍCIOS
1) Alguns problemas exigem mais do que um simples cálculo. Utilize uma equação 
adequada para determinar o valor de a que faz o determinante a seguir ser igual a 
zero.
A) -6
B) 6
C) -3
D) 3
E) 2
2) Você aprendeu que o determinante de uma matriz tem importantes propriedades. 
Utilize-as para calcular , sabendo que a matriz A3X3 é tal que det(A) = 1.
A) 1/2
B) 1/4
C) 1/8
D) 1/10
E) 0
3) O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus 
autovalores e, por consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como 
polinômio característico p (λ) = (3 + λ) (1 - λ) (4 + λ), indique a dimensão dessa 
matriz.
A) 3
B) 4
C) 2
D) 1
E) 6
Os elementos nulos de uma matriz são muito uteis no cálculo de determinantes, assim 4) 
como a análise das linhas de uma matriz. Com isso em mente, utilize as propriedades 
dos determinantes para calcular o determinante da matriz.
A) 1
B) 99
C) 4
D) 396
E) 0
5) Como você aprendeu, os determinantes são importantes no processo do cálculo da 
matriz inversa. Existe também uma relação entre o determinante de uma matriz e o 
determinante de sua inversa. Explore essa relação para calcular o valor de det(A-1), 
sabendo que det(A) = 14.
A) 1
B) 2/14
C) 1/14
D) 7
E) 1/7
NA PRÁTICA
A álgebra linear tem aplicações em diversos ramos da ciência. Apesar do grande destaque nas 
aplicações tecnológicas, as matrizes também podem ser utilizadas em problemas de 
biologia. Uma classe de modelos muito conhecidos em nessa área e suas aplicações são os 
modelos de dinâmica populacional. Grosso modo, eles envolvem a maneira como populações se 
comportam no decorrer do tempo em termos de quantidade.
No exemplo a seguir, veja como é possível utilizar matrizes diagonais na dinâmica 
populacional.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Programa de iniciação científica: Introdução à Álgebra Linear (2018)
Para quem deseja se aprofundar um pouco mais sobre o assunto, excelente opção são vídeos do 
curso de Introdução à Álgebra Linear do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).
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Lista de exercícios
Para aprender determinantes e autovalores, é importante que você treine fazendo diversos 
exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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