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NOTAS DE AULA
Geometria Analı́tica e Álgebra Linear
Prof. Drª Solange Regina Cromianski
Macapá, 2023
Sumário
1 Vetores: Tratamento geométrico 4
1.1 Noção Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Casos Particulares de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Ângulo entre dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Vetores: Tratamento algébrico 15
2.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Igualdade de Vetores e Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Vetor Definido por dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Ponto Médio e Paralelismo de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Módulo de um Vetor e Distância entre dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Vetores no Espaço 24
3.1 Vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Definições sobre vetores no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Produto Escalar 30
4.1 Definição Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Definição Geométrica de Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Cálculo do ângulo de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 Projeção de um vetor sobre outro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7 Interpretação Geométrica do módulo do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Produto Vetorial 38
5.1 Definição de Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
5.3 Uma Aplicação na Fı́sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Produto Misto 44
6.1 Definição de Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3 Interpretação geométrica do módulo do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4 Volume do Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 A Reta 48
7.1 Equação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2 Retas Paralelas aos Planos e Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Ângulo de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.4 Retas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5 Interseção de duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8 O Plano 63
8.1 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Equação Vetorial e Paramétricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Equação Vetorial de um Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.4 Ângulo entre dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.5 Planos Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 Sistemas Lineares 70
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.2 Equações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.3 Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.4 Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.5 Eliminação Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 Matrizes e Determinantes 84
10.1 Definição de Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.5 Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11 Espaços Vetoriais 102
11.1 Definição: Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2
11.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.3 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.4 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.5 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.6 Mudança de Base e Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.7 Transformações Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.8 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11.9 Ortogonalidade e Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 121
12 Autovalores e Autovetores 123
12.1 Autovalor e Autovetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.2 Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3
Capı́tulo 1
Vetores: Tratamento geométrico
1.1 Noção Intuitiva
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais.
- As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real.
Ex.: Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade,...
- As grandezas vetoriais, não são definidas apenas por sua unidade correspondente, é necessário
conhecer seu módulo (comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido.
Ex.: Força, velocidade, aceleração,...
MOTIVAÇÃO:
1a Situação: Você e sua famı́lia saı́ram para a praia e no meio do caminho, após uma hora, pararam
para lanchar e depois de mais uma hora chegaram na praia.
Qual foi o tempo total transcorrido desde o instante que vocês saı́ram de casa até chegarem na praia?
Comentário: Algumas grandezas fı́sicas não ficam bem definidas quando informamos apenas seu va-
lor associado somente a uma unidade. (Levar em conta tempo de pausa, situação climática, troca de
pneu, abastecimento,...)
2a Situação: Duas pessoas empurram a mesma caixa. Essas pessoas fazem força de mesma in-
tensidade. O que acontecerá com a caixa?
Comentário: Esse é um exemplo de grandeza vetorial, pois o resultado dessa ação não depende da
intensidade dos empurrões, mas sim do sentido.
Exemplo 1: Observe as retas. A reta r1 define uma direção e a reta r2 outra direção.
A reta r3 possui mesma direção de r1, pois são paralelas.
4
Retas paralelas têm mesma direção.
Exemplo 2: A direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B.
O deslocamento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser de duas maneiras.
1) De A para B.
2) De B para A.
Exemplo 3: Consideremos um avião com a velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para o
nordeste, sob um ângulo de 40°. Esta grandeza seria representada por um segmento orientado, sendo
o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (4cm, cada cm corresponde a 100km/h), com a
direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40°. O sentido será indicado por uma seta na extremi-
dade superior do segmento.Observemos que no caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°), a direção continua sendo a mesma,
porém, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor.
Definição: Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro cha-
mado de origem e o segundo extremidade.
Notação: Origem em A e extremidade em B
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são
5
representantes de um mesmo vetor.
Definição: O módulo, a direção e o sentido de um vetor −→v é o módulo, a direção e o sentido de
qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de −→v por |−→v | ou ||−→v ||.
EXERCÍCIO:
1. A Figura abaixo é constituı́da de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é
verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
a)
−→
AB =
−→
OF b)
−−→
AM =
−→
PH c)
−→
BC =
−→
OP
d)
−→
BL =
−−→
MC e)
−→
AO =
−−→
MG f)
−→
KN =
−→
FI
1.2 Casos Particulares de Vetores
a) Dois vetores −→u e −→v são paralelos, e indica-se por −→u //−→v , se os seus representantes tiverem a
mesma direção.
b) Dois vetores −→u e −→v são iguais, e indica-se por −→u = −→v , se tiverem iguais o módulo, a direção
e o sentido.
6
c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por
−→
0
ou
−→
AA (a origem coincide com a extremidade).
d) A cada vetor não nulo −→v corresponde um vetor oposto −−→v , de mesmo módulo e mesma direção
de −→v , porém, de sentido contrário. Se −→v =−→AB, o vetor −→BA é o oposto de −→AB, ou seja, −→BA =−−→AB.
e) Um vetor −→u é unitário se |−→u |= 1.
OBS: A cada vetor −→v (−→v ̸=−→0 ) é possı́vel associar dois vetores unitários de mesma direção de −→v :−→u
e −−→u .
Na figura, tem-se |−→v |= 3 e |−→u |= |−−→u |= 1. O vetor −→u que tem o mesmo sentido de −→v é chamado
versor de −→v .
f) Dois vetores −→u e −→v são ortogonais, e indica-se por −→u ⊥ −→v , se algum representante de −→u for-
mar ângulo reto com algum representante de −→v .
g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano no qual esses vetores estão repre-
sentados. É importante observar que dois vetores −→u e −→v quaisquer são sempre coplanares, pois basta
considerar um ponto P no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de −→u e −→v perten-
cendo ao plano π que passa por aquele ponto.
7
No caso de −→u e −→v serem não paralelos, como nessa figura, esses vetores determinam a ”direção”do
plano π , que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos. Três vetores podem ser coplanares
ou não.
EXERCÍCIOS:
1. A Figura abaixo é constituı́da de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
a)
−→
DE =−−→ED f) −→AC//−→HI k) −→JO//−→LD
b)
−→
AJ//
−→
FG g)
−→
AB ⊥−→EG l) −−→AM ⊥−→BL
c)
−→
PE ⊥−→EC h) −→PN ⊥−→NB m) −→PN ⊥−−→AM
d) |−→AC|= |−→FP| i) |−→IF|= |−→MF| n) |−→AJ|= |−→AC|
e) |−→AO|= 2|−→NP| j) |−−→AM|= |−→BL|
2. A Figura abaixo representa um paralelepı́pedo retângulo.
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a)
−→
DH =
−→
BF h)
−→
AB =−−→HG o) −→AB ⊥−→CG
b)
−→
AF ⊥−→BC i) |−→AC|= |−→HF| p) |−→AG|= |−→DF|
8
c)
−→
BG//
−→
ED j)
−→
AB,
−→
BC e
−→
CG são coplanares
d)
−→
AB,
−→
FG e
−→
EG são coplanares k)
−→
EG,
−→
CB e
−→
HF são coplanares
e)
−→
AC,
−→
DB e
−→
FG são coplanares l)
−→
AB,
−→
BG e
−→
CF são coplanares
f)
−→
AB,
−→
DC e
−→
CF são coplanares m)
−→
AE é ortogonal ao plano ABC
g)
−→
AB é ortogonal ao plano BCG n)
−→
DC é paralelo ao plano HEF
1.3 Operações com Vetores
Adição de vetores:
Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado AB represen-
tante do vetor −→u . Utilizemos a extremidade B para traçar o segmento orientado BC representante de
−→v . O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o
vetor soma de −→u e −→v , ou seja,
−→u +−→v =−→AC ou −→AB+−→BC =−→AC
OBS:
1) Se −→u //−→v , a maneira de se obter o vetor −→u +−→v é ilustrado na figura abaixo.
2) No caso de os vetores −→u e −→v não serem paralelos, há outra maneira de encontrar o vetor soma −→u +
−→v . Representam-se −→u = −→AB e −→v = −→AD por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-
9
se o paralelogramo ABCD, e o segmento orientado de origem A, que corresponde à diagonal do
paralelogramo, é o vetor −→u +−→v , ou seja,
−→u +−→v =−→AC ou −→AB+−→AD =−→AC
3) Para o caso de determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo e, em parti-
cular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do
primeiro, a soma será o vetor zero (−→u +−→v +−→w +−→t = 0).
Propriedades: Sendo −→u , −→v e −→w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:
I) Comutativa: −→u +−→v =−→v +−→u
II) Associativa: (−→u +−→v )+−→w =−→u +(−→v +−→w )
III) Elemento neutro: −→u +−→0 =−→u
IV) Elemento oposto: −→u +(−−→u ) =−→0
OBS: O vetor −→u +(−−→v ), escreve-se −→u −−→v , é chamado de diferença entre −→u e −→v .
10
Multiplicação de número real por vetor:
Dado um vetor −→v ̸=−→0 e um número real α ̸= 0, chama-se produto do número real α pelo vetor −→v ,
o vetor α−→v tal que:
a) módulo: |α−→v |= |α||−→v |.
b) direção: α−→v é paralelo a −→v .
c) sentido: α−→v e −→v tem o mesmo sentido se α > 0 e contrário se α < 0.
OBS:
a) Considerando o ponto O como origem de −→v , −→v ̸= 0 e de todos os vetores α−→v que lhe são para-
lelos, se fizermos α assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só reta todos os
vetores paralelos a −→v .
Por outro lado, supondo −→u //−→v , −→v ̸= 0, sempre existe um número real α tal que −→u = α−→v . Por
exemplo, na Figura abaixo, na qual DC está dividido em cinco segmentos congruentes (de mesmo
comprimento), em relação ao vetor
−→
AB (|−→AB|= 2), tem-se
11
b) Vimos que a cada vetor −→v , −→v ̸= 0, é possı́vel associar dois vetores unitários paralelos a −→v . O
vetor unitário 1|−→v |
−→v ou
−→v
|−→v | de mesmo sentido de
−→v é o versor de −→v .
Por exemplo, se |−→v |= 5, o versor de −→v é
−→v
5
se |−→v |= 1
3
, o versor de −→v é 3−→v
se |−→v |= 10, o versor de −−→v é −
−→v
10
Propriedades: Se −→u e −→v são vetores quaisquer e α e β números reais, a multiplicação de número
real por vetor admite as propriedades:
I) (αβ )−→v = α(β−→v )
II) (α +β )−→v = α−→v +β−→v
III) α(−→u +−→v ) = α−→u +α−→v
IV) 1−→v =−→v
EXERCÍCIOS:
1. Com base na Figura abaixo
determinar os vetores a seguir, expressando-os com origem no ponto A:
a)
−→
AC+
−→
CN e)
−→
AB+
−→
BD i)
−→
AC+
−→
DC
b)
−→
AC+
−→
AK f)
−→
AC+
−→
EO j)
−→
AM+
−→
BL
c)
−→
AK +
−→
AN g)
−→
AO−−→OE k) −−→MO−−→NP
d)
−→
BC−−→CB h) −→LP+−→PN +−→NF l) −→BL+−→BN +−→PB
2. Com base na Figura abaixo
determinar os vetores a seguir, expressando-os com origem no ponto A:
a)
−→
AB+
−→
CG b)
−→
BC+
−→
DE c)
−→
BF +
−→
EH
d)
−→
EG−−→BC e) −→CG+−→EH f) −→EF −−→FB
g)
−→
AB+
−→
AD+
−→
AE h)
−→
EG+
−→
DA+
−→
FH
12
3. Dados dois vetores −→u e −→v não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores −→u +−→v , −→u −−→v ,
−→v −−→u e −−→u −−→v todos com origem em um mesmo ponto.
4. Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
5. Seja o vetor −→v ̸= 0. Determinar o vetor paralelo a −→v tal que:
a) tenha o mesmo sentido de −→v e módulo 5;
b) tenha sentido contrário ao de −→v e módulo 10.
6. Representados os vetores −→u , −→v e −→w como na Figura abaixo, obter graficamente o vetor −→x tal
que −→x = 2−→u −3−→v + 1
2
−→w .
7. Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
1.4 Ângulo entre dois Vetores
O ângulo entre os vetores não nulos −→u e −→v é o ângulo θ formado por duas semirretas OA e OB de
mesmaorigem O, na qual −→u =−→OA, −→v =−→OB e 0 ≤ θ ≤ π ou 00 ≤ θ ≤ 1800.
13
Se −→u //−→v e −→u e −→v têm o mesmo sentido, então θ = 0. É o que ocorre, por exemplo, com os vetores
−→u e 2−→u que têm o mesmo sentido (Figura à esquerda).
Se −→u //−→v e −→u e −→v têm sentidos contrários, então θ = π . É o caso de −→u e −3−→u que têm o mesmo
sentido (Figura à direita).
EXERCÍCIOS:
1. Sabendo que o ângulo entre os vetores −→u e −→v é de 60, determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) −→u e −−→v b) −−→u e 2−→v c) −−→u e −−→v d) 3−→u e 5−→v
2) Dados os vetores coplanares −→u e −→v representados na figura abaixo, determinar:
a) um representante do vetor −→x +−→y , sendo −→x =−→u +2−→v e −→y =−→v −2−→u ;
b) o ângulo entre os vetores −3−→v e −→w ;
c) o ângulo entre os vetores −2−→u e −−→w ;
3) No triângulo ABC tem-se −→BM = 1
2
−→
BC e
−→
BN =
1
3
−→
BC.
Expressar os vetores
−→
AM e
−→
AN em função de
−→
AB e
−→
AC
14
Capı́tulo 2
Vetores: Tratamento algébrico
2.1 Vetores no Plano
Dados dois vetores quaisquer −→v 1 e −→v 2 não paralelos, para cada vetor −→v representado no mesmo
plano de −→v 1 e −→v 2, existe uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que
−→v = a1−→v 1 +a2−→v 2. (2.1)
Quando isso acontece, dizemos que −→v é combinação linear de −→v 1 e −→v 2.
O conjunto B = {−→v 1,−→v 2} é chamado base do plano.
Os números a1 e a2 da igualdade (2.1) são chamados componentes ou coordenadas de −→v na base B.
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.
Uma base {−→e 1,−→e 2} é dita ortonormal se seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, se
−→e 1⊥−→e 2 e |−→e 1|= |−→e 2|= 1, respectivamente.
A base que determina o sistema cartesiano ortogonal é dada por C = {−→i ,−→j } a qual é chamada
canônica, onde −→i = (1,0) e −→j = (0,1).
15
Dado um vetor −→v qualquer do plano, exite uma só dupla de números x e y tal que
−→v = x−→i + y−→j . (2.2)
Os números x e y são as componentes de −→v na base canônica. A primeira componente é chamada
abscissa de −→v , e a segunda componente y é a ordenada de −→v .
O vetor −→v é também representado por
−→v = (x,y).
A igualdade acima sugere a seguinte definição:
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais.
O par (x,y) é chamado expressão analı́tica de −→v .
Por exemplo
3
−→
i −5−→j = (3,−5) −4−→i = (−4,0)
3
−→
j = (0,3)
−→
0 = (0,0)
OBS: A cada ponto P(x,y) do plano xOy corresponde o vetor −→v = −→OP = x−→i + y−→j . As coorde-
nadas do ponto extremo P são as próprias componentes do vetor
−→
OP na base canônica.
Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os vetores
−→
i e
−→
j como se vê na figura.
16
De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos
ou um conjunto de vetores.
2.2 Igualdade de Vetores e Operações com Vetores
Igualdade de Vetores
Dois vetores −→u = (x1,y1) e −→v = (x2,y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2, escrevendo-se
−→u =−→v .
Exemplo: Para quais valores de x e y os vetores −→u = (x+1,4) e −→v = (5,2y−6) são iguais?
Operações com Vetores
Sejam os vetores −→u = (x1,y1) e −→v = (x2,y2) e α ∈ R. Define-se:
1) −→u +−→v = (x1 + x2,y1 + y2)
2) α−→u = (αx1,αy1)
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um
número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número, como mostra a
figura abaixo.
EXERCÍCIOS:
1. Dados os vetores −→u = (2,−3) e −→v = (−1,4), determinar 2−→u +3−→v e 2−→u −3−→v .
17
2. Determinar o vetor −→x na igualdade 3−→x +3−→u = 2−→v +−→x , sendo dados −→u =(3,−1) e −→v =(−2,4).
3. Encontrar os números a1 e a2 tais que −→v = a1−→v1 + a2−→v2 , sendo −→v = (10,2), −→v1 = (3,5) e
−→v2 = (−1,2).
2.3 Vetor Definido por dois Pontos
Seja o vetor
−→
AB de origem no ponto A(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2), então
−→
AB = B−A = (x2 − x1,y2 − y1).
As expressões analı́ticas dos vetores
−→
OA e
−→
OB são dadas por:
−→
OA = (x1,y1) e
−→
OB = (x2,y2)
Po outro lado, do triângulo OAB, vem
−→
OA+
−→
AB =
−→
OB ⇒ −→AB =−→OB−−→OA ⇒ −→AB = (x2 − x1,y2 − y1)
As componentes de
−→
AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas
da origem A, razão pela qual também se escreve
−→
AB = B−A.
Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento,
mesma direção e mesmo sentido. Entre os infinitos representantes do vetor
−→
AB, o que ”melhor o
caracteriza” é aquele que tem origem em O(0, 0) e extremidade em P(x2 − x1,y2 − y1).
O vetor −→v =−→OP é também chamado de vetor posição ou representante natural de −→AB.
18
Na Figura, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor −→v = P−O = B−A =
D−C = (3,1).
O fato de os segmentos orientados ocuparem posições diferentes é irrelevante. O que importa é que
tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo
vetor.
Por outro lado, sempre que tivermos −→v =−→AB ou −→v = B−A, podemos também concluir que
B = A+−→v ou B = A+−→AB
o vetor −→v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B.
Outro exemplo podemos observar na figura abaixo,
19
os vértices do triângulo são os pontos A(4,1), B(5,3), e C(3,5) e os vetores −→u , −→v e −→w indicados são
−→u =−→AB = B−A = (1,2)
−→v =−→BC =C−B = (−2,2)
−→w =−→CA = A−C = (1,−4)
EXERCÍCIOS:
1. Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determinar o ponto D de modo que
−→
CD =
1
2
−→
AB.
2. Sendo A(-2,4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que divi-
dem AB em três segmentos de mesmo comprimento.
3. Sendo A(2,1) e B(5,2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4,3) o ponto de
interseção das diagonais, determinar os vértices C e D.
2.4 Ponto Médio e Paralelismo de dois Vetores
Ponto Médio
Seja o segmento de extremos A(x1,y1) e B(x2,y2). Sendo M(x,y) o ponto médio de AB, podemos
expressar de forma vetorial como
−→
AM =
−→
MB
ou
(x− x1,y− y1) = (x2 − x,y2 − y)
então
20
x− x1 = x2 − x e y− y1 = y2 − y
Resolvendo em relação a x e y, temos
2x = x1 + x2 e 2y = y1 + y2
ou
x =
x1 + x2
2
e y =
y1 + y2
2
Paralelismo de dois Vetores
Dois vetores −→u = (x1,y1) e −→v = (x2,y2) são paralelos, se existe um número real α tal que −→u = α−→v ,
ou seja,
(x1,y1) = (αx2,αy2)
que condição de igualdade resulta em
x1 = αx2 e y1 = αy2
onde temos
x1
x2
=
y1
y2
= α
Essa é a condição de paralelismo de dois vetores, ou seja, dois vetores são paralelos quando suas
componentes forem proporcionais.
EXERCÍCIOS:
1. Determine o ponto médio do segmento de extremos A(-2,3) e B(6,2).
2. Mostre que os vetores −→u = (−2,3) e −→v = (−4,6) são paralelos.
2.5 Módulo de um Vetor e Distância entre dois Pontos
Seja o vetor −→v = (x,y). Pelo teorema de Pitágoras, vem
|−→v |=
√
x2 + y2
21
Exemplo: Se −→v = (2,−3) então |−→v | =
√
(2)2 +(−3)2 =
√
4+9 =
√
13 u.c (unidades de com-
primento)
Distância entre dois Pontos
A distância entre dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) é o comprimento (módulo) do vetor
−→
AB, isto é,
d(A,B) = |−→AB|.
Como
−→
AB = B−A = (x2 − x1,y2 − y1), temos
d(A,B) =
√
(x2 − x1)2 +(y2 − y1)2
Vetor Unitário
A cada vetor −→v , −→v ̸= 0, é possı́vel associar dois vetores unitários paralelos a −→v :
−→v
|−→v |
(é o versor de −→v )
e
−
−→v
|−→v |
(é o oposto de −→v ).
EXERCÍCIOS:
1. Dados os pontos A(2,−1) e B(−1,4) e os vetores −→u = (−1,3) e −→v = (−2,−1), determinar:
22
a) |−→u | c) |−→u +−→v |
b) |2−→u −3−→v | d) a distância entre os pontos A e B.
2. Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja equidistante dos pontos A(−1,−2) e B(5,−4).
3. Dado o vetor −→v = (−2,1), encontrar o vetor paralelo a −→v que possua:
a) o mesmo sentido de −→v e três vezes o módulo de −→v .
b) sentido contrário ao de −→v e a metade do módulo de −→v .
c) o mesmo sentido de −→v e módulo 4.
d) sentido contrário ao de −→v e módulo 2.
23
Capı́tulo3
Vetores no Espaço
3.1 Vetores no espaço
No espaço, de forma análoga ao plano, consideraremos a base canônica {−→i ,−→j ,
−→
k } como aquela
que determinará o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, em que estes três vetores unitários e dois a dois
ortogonais estão representados com origem no ponto O.
O ponto O e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo
Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor
−→
i , o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas)
corresponde ao vetor
−→
j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetor
−→
k .
Cada dupla de vetores da base, e, consequentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coor-
denado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano
yOz ou yz. As Figuras abaixo (a) e (b) dão uma ideia dos planos xy e xz, respectivamente.
24
Assim como no plano, a cada ponto P(x,y,z) do espaço corresponderá o vetor
−→
OP = x
−→
i +y
−→
j + z
−→
k ,
em que, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor
−→
OP na base canônica.
Em particular,
−→
i = (1,0,0),
−→
j = (0,1,0) e
−→
k = (0,0,1). Desse modo, o vetor −→v = x−→i +y−→j +z
−→
k
também poderá ser expresso por
−→v = x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)
−→v = (x,y,z).
No espaço, todo conjunto de três vetores não coplanares constitui uma de suas bases, isto é, todo vetor
do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base.
Considere o paralelepı́pedo, no qual está representado o ponto P(2,4,3)
25
Com base nesta figura, temos que um ponto (x,y,z) está no:
a) eixo x quando y = z = 0, A(2,0,0);
b) eixo y quando x = z = 0, C(0,4,0);
c) eixo z quando x = y = 0, E(0,0,3);
d) plano xy quando z = 0, B(2,4,0);
e) plano xz quando y = 0, F(2,0,3);
f) plano yz quando x = 0, D(0,4,3).
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz,
respectivamente. O ponto A(2,0,0) é a projeção de P(2,4,3) no eixo x, assim como C(0,4,0) e E(0,0,3)
são as projeções de P nos eixos y e z, respectivamente.
Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3,-2,4), procedemos assim:
a) marca-se o ponto A’(3,-2,0) no plano xy;
b) desloca-se A’ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades
para baixo) para obter o ponto A.
Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões
denominadas octantes.
26
O primeiro octante é constituı́do dos pontos de coordenadas todas positivas. Os demais octantes acima
do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo. Os octantes
abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o
primeiro.
A Figura apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2,
enquanto os pontos A’, B’, C’ e D’ estão abaixo desse plano e têm cota -2:
ponto A(6,4,2), situado no 1º octante
ponto B(-5,3,2), situado no 2º octante
ponto C(-6,-5,2), situado no 3º octante
ponto D(5,-3,2), situado no 4º octante
ponto A’(6,4,-2), situado no 5º octante
ponto B’(-5,3,-2), situado no 6º octante
ponto C’(-6,-5,-2), situado no 7º octante
ponto D’(5,-3,-2), situado no 8º octante
27
3.2 Definições sobre vetores no espaço
Igualdade - Operações - Vetor Definido por dois Pontos - Ponto Médio - Parale-
lismo - Módulo de um Vetor
As definições e conclusões no espaço, relativas aos tı́tulos anteriores, são análogas às do plano:
I) Dois vetores −→u = (x1,y1,z1) e −→v = (x2,y2,z2) serão iguais, se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2
e z1 = z2.
II) Dados os vetores −→u = (x1,y1,z1) e −→v = (x2,y2,z2) e α ∈ R, define-se:
−→u +−→v = (x1 + x2,y1 + y2,z1 + z2)
α
−→u = (αx1,αy1,αz1)
III) Se A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então,
−→
AB = B−A = (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1)
IV) Se A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é
M
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
,
z1 + z2
2
)
V) Se os vetores −→u = (x1,y1,z1) e −→v = (x2,y2,z2) são paralelos, então
−→u = α−→v ou x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
VI) O módulo do vetor −→v = (x,y,z) é dado por
|−→v |=
√
x2 + y2 + z2
EXERCÍCIOS:
1. Dados os pontos A(0,1,−1) e B(1,2,−1) e os vetores −→u = (−2,−1,1), −→v = (3,0,−1) e −→w =
(−2,2,2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que −→w = a1
−→
AB+a2−→u +a3−→v .
2. Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3,-2,4), B(5,1,-3) e
C(0,1,2).
28
3. Sabendo que o ponto P(-3,m,n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1,-2,4) e B(-1,-3,1),
determinar m e n.
4. Seja o triângulo de vértices A(4,-1,-2), B(2,5,-6) e C(1,-1,-2). Calcular o comprimento da me-
diana do triângulo relativa ao lado AB.
5. Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1,2), determinar o vetor −→x tal que:
a) 4(−→u −−→v )+ 13
−→x = 2−→u −−→x
b) 3−→x − (2−→v −−→u ) = 2(4−→x −3−→u )
29
Capı́tulo 4
Produto Escalar
4.1 Definição Algébrica
Definição: Chama-se produto escalar de dois vetores −→u = x1
−→
i +y1
−→
j + z1
−→
k e −→v = x2
−→
i +y2
−→
j +
z2
−→
k , e se representa por −→u ·−→v , ao número real
−→u ·−→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
O produto escalar de −→u por −→v também é indicado por <−→u ,−→v > e se lê ”−→u escalar −→v ”.
EXERCÍCIOS:
1. Sejam os vetores −→u = (3,2,1) e −→v = (−1,−4,−1). Calcular:
a) (−→u +−→v ) · (2−→u −−→v )
b) −→u ·−→u
c)
−→
0 ·−→u
2. Dados os vetores −→u = (4,α,−1) e −→v = (α,2,3) e os pontos A(4,−1,2) e B(3,2,−1), deter-
minar o valor de α tal que −→u · (−→v +−→BA) = 5
4.2 Propriedades do Produto Escalar
Para quaisquer vetores −→u , −→v e −→w e o número real α , tem-se que:
I) −→u ·−→v =−→v ·−→u
II) −→u · (−→v +−→w ) =−→u ·−→v +−→u ·−→w e (−→u +−→v ) ·−→w =−→u ·−→w +−→v ·−→w
III) α(−→u ·−→v ) = (α−→u ) ·−→v =−→u · (α−→v )
30
IV) −→u ·−→u > 0 se −→u ̸=−→0 e −→u ·−→u = 0, se −→u =−→0 = (0,0,0)
V) −→u ·−→u = |−→u |2
Demonstração:
I) Seja −→u = (x1,y1,z1) e −→v = (x2,y2,z2), temos
−→u ·−→v = (x1,y1,z1) · (x2,y2,z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2 = x2x1 + y2y1 + z2z1 =−→v ·−→u
V) Vimos que o módulo de um vetor −→u = (x,y,z) é dado por |−→u |=
√
x2 + y2 + z2
Por outro lado, temos que −→u ·−→u = (x,y,z) · (x,y,z) = x2 + y2 + z2
Conclui-se que |−→u |=
√−→u ·−→u , ou, |−→u |2 =−→u ·−→u
EXERCÍCIOS:
1. Sendo |−→u |= 4, |−→v |= 2 e −→u ·−→v = 3, calcular (3−→u −2−→v ) · (−−→u +4−→v ).
2. Mostrar que |−→u +−→v |2 = |−→u |2 +2−→u ·−→v + |−→v |2.
3. Mostrar que |−→u −−→v |2 = |−→u |2 −2−→u ·−→v + |−→v |2.
4. Provar que (−→u +−→v ) · (−→u −−→v ) = |−→u |2 −|−→v |2.
5. Determinar o vetor −→v , paralelo ao vetor −→u = (2,−1,3), tal que −→u ·−→v =−42.
4.3 Definição Geométrica de Produto Escalar
Definição geométrica de produto escalar: Se −→u e −→v são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles,
então
−→u ·−→v = |−→u ||−→v |cosθ
31
Aplicando a lei dos cossenos ao triangulo ABC, temos
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 −2|−→u ||−→v |cosθ
Por outro lado, temos
|−→u −−→v |2 = |−→u |2 + |−→v |2 −2−→u ·−→v
Comparando as equações, obtemos a seguinte igualdade
−→u ·−→v = |−→u ||−→v |cosθ
Exemplo: Sendo |−→u |= 2, |−→v |= 3 e 120º o ângulo entre −→u e −→v , calcular
a) −→u ·−→v b) |−→u +−→v | c) |−→u −−→v |
Observações:
1. Exemplificando a equivalência das expressões do produto escalar com um caso particular. Na
Figura ao lado vemos que o ângulo formado pelos vetores −→u = (1,1,0) e −→v = (0,1,0) é 45º. Então
−→u ·−→v = 1 ·0+1 ·1+0 ·0 = 1
e
−→u ·−→v = |−→u ||−→v |cos45 = (
√
2)(1)(
√
2
2
) = 1
Para todos os vetores −→u e −→v , valem as desigualdades.
2. Desigualdade de Schwarz
|−→u ·−→v | ≤ |−→u ||−→v |
32
3. Desigualdade triangular
|−→u +−→v | ≤ |−→u |+ |−→v |
A segunda desigualdade confirma a propriedade geométrica segundo a qual, em um triângulo, a
soma dos comprimentos de dois lados(|−→u |+ |−→v |) é maior do que o comprimento do terceiro lado
(|−→u +−→v |)
A igualdade somente ocorre quando −→u e −→v forem paralelos e de mesmo sentido.
4. Como o sinal de −→u ·−→v é o mesmo de cosθ , concluı́mos que:
a) −→u ·−→v > 0 ⇔ cosθ > 0 ⇔ 0 ≤ θ < 90
b) −→u ·−→v < 0 ⇔ cosθ < 0 ⇔ 90 < θ ≤ 180
c) −→u ·−→v = 0 ⇔ cosθ = 0 ⇔ θ = 90
5. Dois vetores −→u e −→v são ortogonais se, e somente se, −→u ·−→v = 0.
EXERCÍCIOS:
1. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
a) −→u = (1,−2,3) e −→v = (4,5,2) b) −→i e −→j
2. Provar que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1,−1) e C(2,2,−2) é um triângulo retângulo.
3. Determinar um vetor ortogonal aos vetores −→v1 = (1,−1,0) e −→v2 = (1,0,1).
4. Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
33
5. Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
4.4 Cálculo do ângulo de dois vetores
Da igualdade −→u ·−→v = |−→u ||−→v |cosθ , vem
cosθ =
−→u ·−→v
|−→u ||−→v |
fórmula pela qual se calcula o ângulo θ entre os vetores −→u e −→v não nulos.
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores −→u = (1,1,4) e −→v = (−1,2,2).
EXERCÍCIOS:
1. Sabendo que o vetor −→v = (2,1,−1) forma ângulo de 60° com o vetor −→AB determinado pelos pontos
A(3,1,−2) e B(4,0,m), calcular m.
2. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).
3. Determinar o ângulo entre os vetores:
a) −→u = (2,−1,−1) e −→v = (−1,−1,2)
b) −→u = (1,−2,1) e −→v = (−1,1,0)
4.5 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Seja o vetor −→v = x−→i + y−→i + z
−→
k não nulo.
Definição: Ângulos diretores de −→v são os ângulos α , β e γ que −→v forma com os vetores −→i ,
−→
j e
−→
k , respectivamente.
Definição: Cossenos diretores de −→v são os cossenos de seus ângulos diretores, ou seja, cosα , cosβ
e cosγ .
34
cosα =
−→v ·−→i
|−→v ||−→i |
=
(x,y,z) · (1,0,0)
|−→v |(1)
=
x
|−→v |
cosβ =
−→v ·−→j
|−→v ||−→j |
=
(x,y,z) · (0,1,0)
|−→v |(1)
=
y
|−→v |
cosγ =
−→v ·
−→
k
|−→v ||
−→
k |
=
(x,y,z) · (0,0,1)
|−→v |(1)
=
z
|−→v |
OBS: Os cossenos diretores de −→v são precisamente os componentes do versor de −→v :
−→v
|−→v |
=
(x,y,z)
|−→v |
=
(
x
|−→v |
,
y
|−→v |
,
z
|−→v |
)
Como o versor é um vetor unitário, decorre imediatamente que:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
EXERCÍCIOS:
1. Calcular os ângulos diretores de −→v = (1,−1,0).
2. Os ângulos diretores de um vetor são α , 45° e 60°. Determinar α .
3. Um vetor −→v do espaço forma com os vetores −→i e −→j ângulos de 60° e 120°, respectivamente.
Determinar o vetor −→v , sabendo que |−→v |= 2.
4. Obter o vetor −→v , sabendo que |−→v | = 4, −→v é ortogonal ao eixo Oz, forma ângulo de 60° com
o vetor
−→
i e ângulo obtuso com
−→
j .
35
4.6 Projeção de um vetor sobre outro
Sejam os vetores −→u e −→v não nulos e θ o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores,
digamos −→v , tal que
−→v =−→v1 +−→v2
sendo −→v1 ||−→u e −→v2 ⊥−→u .
A Figura abaixo ilustra as duas situações possı́veis, podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso.
O vetor −→v1 é chamado projeção ortogonal de −→v sobre −→u e indicado por
−→v1 = proj−→u
−→v
Sendo −→v1 ||−→u , temos sendo −→v1 = α−→u e como −→v2 =−→v −−→v1 =−→v −α−→u é ortogonal a −→u , vem
(−→v −α−→u ) ·−→u = 0 ou −→v ·−→u −α−→u ·−→u = 0
e
α =
−→v .−→u
−→u .−→u
Portanto, sendo −→v1 = α−→u , conclui-se que
proj−→u
−→v = (
−→v .−→u
−→u .−→u
)−→u
EXERCÍCIOS:
1. Determinar o vetor projeção de −→v = (2,3,4) sobre −→u = (1,−1,0).
2. Dados os vetores −→v = (1,3,−5) e −→u = (4,−2,8), decompor −→v como −→v =−→v1 +−→v2 , sendo −→v1 ||−→u
e −→v2 ⊥−→u .
3. Sejam os pontos A(−1,−1,2), B(2,1,1) e C(m,−5,3).
a) Para qual valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
36
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
4.7 Interpretação Geométrica do módulo do produto escalar
Se em proj−→u
−→v = (
−→v .−→u
−→u .−→u
)−→u , |−→u |= 1 (−→u é unitário), tem-se
proj−→u
−→v = (−→v .−→u )−→u ,
pois −→u .−→u = |−→u |2 = 1 e, portanto,
|proj−→u
−→v |= |(−→v .−→u )−→u |= |−→v .−→u ||−→u |
ou
|proj−→u
−→v |= |−→v .−→u |
Todo o estudo feito em relação a vetores do espaço é válido também para vetores no plano.
Considerando os vetores −→u = (x1,y1) e −→v = (x2,y2), temos:
a) −→u ·−→v = x1x2 + y1y2;
b) validade das mesmas propriedades do produto escalar;
c) se θ é o ângulo entre −→u ̸= 0 e −→v ̸= 0, então cosθ =
−→u ·−→v
|−→u ||−→v |
;
d) −→u ⊥−→v se, e somente se, −→u ·−→v = 0;
e) se α e β são os ângulos diretores de −→u , −→u ̸= 0, então cosα = x1
|−→u |
e cosβ =
y1
|−→u |
;
f) cos2 α + cos2 β = 1;
g) proj−→u
−→v = (
−→v .−→u
−→u .−→u
)−→u , com −→u e −→v , não nulos.
EXERCÍCIOS:
1. Determinar o valor de k para que os vetores −→u = (−2,3) e −→v = (k,−4) sejam:
a) paralelos; b) ortogonais
2. Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a
−→v = (6,8).
3. Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores −→u = (2,1) e −→v = (1,a).
37
Capı́tulo 5
Produto Vetorial
5.1 Definição de Produto Vetorial
Chama-se produto vetorial de dois vetores −→u = x1
−→
i +y1
−→
j + z1
−→
k e −→v = x2
−→
i +y2
−→
j + z2
−→
k , toma-
dos nessa ordem, e se representam por −→u ×−→v , ao vetor
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ou
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 z1
y2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 z1
x2 z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
j +
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1
x2 y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
k
Exemplo 01: Calcular −→u ×−→v para −→u = 5−→i +4−→j +3
−→
k e −→v =−→i +
−→
k
Solução:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
5 4 3
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 3
0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 3
1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
j +
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 4
1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
k
38
−→u ×−→v = (4−0)−→i − (5−3)−→j +(0−4)
−→
k
−→u ×−→v = 4−→i −2−→j −4
−→
k .
ou
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
−→
i
−→
j
5 4 3 5 4
1 0 1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 4
−→
i +3
−→
j +0
−→
k −4
−→
k −0−→i −5−→j
−→u ×−→v = 4−→i −2−→j −4
−→
k .
Observações:
1. −→v ×−→u =−(−→u ×−→v ), ou seja, os vetores −→v ×−→u e −→u ×−→v são opostos.
2. −→u ×−→v = 0, se, e somente se, −→u //−→v .
a) −→u × (3−→u ) = 0 b) 5−→u ×−→0 =−→0
3. O vetor −→u ×−→v é simultaneamente ortogonal a −→u e −→v , ou seja,
4. Sentido de −→u ×−→v : Regra da mão direita. Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma
direção da rotação, então, o polegar estendido indicará o sentido de −→u ×−→v .
39
5. Comprimento de −→u ×−→v : Se θ é o ângulo entre −→u e −→v , então:
|−→u ×−→v |= |−→u ||−→v |senθ
6. O produto vetorial não é associativo, ou seja, em geral,
(−→u ×−→v )×−→w ̸=−→u × (−→v ×−→w )
7. Para quaisquer vetores −→u , −→v e −→w e o escalar α , temos:
I) −→u × (−→v +−→w ) = (−→u ×−→v )+(−→u ×−→w ) e (−→u +−→v )×−→w = (−→u ×−→w )+(−→v ×−→w )
II) α(−→u ×−→v ) = (α−→u )×−→v =−→u × (α−→v )
III) −→u · (−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ) ·−→w
EXERCÍCIOS:
1. Calcular (−→u −−→v )×−→w para −→u = 3−→i −−→j −2
−→
k , −→v = 2−→i +4−→j −
−→
k e −→w =−−→i +
−→
k .
2. Sejam os vetores −→u = (1,−1,−4) e −→v = (3,2,−2). Determinar um vetor que seja:
a) ortogonal a −→u e −→v ;
b) ortogonal a −→u e −→v e unitário;
c) ortogonal a −→u e −→v e tenha módulo 4.
3. Determinar o vetor −→x , tal que −→x seja ortogonal ao eixo dos y e −→u =−→x ×−→v , sendo −→u = (1,1,−1)
e −→v = (2,−1,1).
4. Seja um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcular |−→AB×−→AC|.
40
5. Calcular:
a)
−→
i ×
−→
k b)
−→
j × (2−→i ) c) −→i .(−→j ×−→i )
5.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não nulos −→u e −→v , a medida da base é
|−→u | e da altura é |−→v |senθ , a área A deste paralelogramo é
A = (base).(altura) = |−→u ||−→v |senθ
ou seja,
A = |−→u ×−→v |
O resultado dado acima poderá ser expresso por: ”aárea do paralelogramo determinado pelos vetores
−→u e −→u é numericamente igual ao comprimento do vetor −→u ×−→v ”.
EXERCÍCIOS:
1) Dados os vetores −→u = (1,−1,1) e −→v = (2,−3,4), calcular:
a) a área do paralelogramo determinado por −→u e −→v ;
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor −→u .
2) Determinar a distância do ponto P(5,1,2) à reta r que passa por A(3,1,3) e B(4,-1,1).
3) Dados os vetores −→u = (2,1,−1) e −→v = (1,−1,a), calcular o valor de a para que a área do pa-
ralelogramo determinado por −→u e −→v seja igual a
√
62.
4) Dados os pontos A(2,1,1), B(3,-1,0) e C(4,2,-2), determinar:
a) a área do triângulo ABC;
41
b) a altura do triângulo relativa ao vértice C.
5.3 Uma Aplicação na Fı́sica
O produto vetorial é uma importante ferramenta matemática utilizada na Fı́sica. Entre algumas de
suas aplicações pode-se citar o torque.
O torque é uma grandeza vetorial, representado por τ , e está relacionada com a possibilidade de
um corpo sofrer uma torção ou alterar seu movimento de rotação.
A equação para o cálculo do torque é
−→
τ =−→r ×−→F
em que |−→r | é a distância do ponto de aplicação da força −→F ao eixo de rotação, ao qual o corpo está
vinculado. Lembrando o cálculo do módulo do produto vetorial, tem-se
|−→τ |= |−→r ×−→F |= |−→r ||−→F |senθ
em que θ é o ângulo entre −→r e −→F .
Exemplo: Calcular o torque sobre a barra
−→
AB, na qual
−→
AB = −→r = 2−→j (em metros), −→F = 10−→i
(em newtons) e o eixo de rotação é o eixo z.
Solução: O vetor torque, para o caso dessa figura, é dado por
−→
τ =−→r ×−→F = (0,2,0)× (10,0,0) = (0,0,−20)
ou
−→
τ = (−20
−→
k )
42
A intensidade (módulo) do torque pode ser calculada por
|−→τ |= |−→r ||−→F |senθ = (2)(10)(sen90) = 20
EXERCÍCIOS:
1. Resolver os sistemas:
a)

−→x ×−→j =
−→
k
−→x .(4−→i −2−→j +
−→
k ) = 10
b)

−→x × (2−→i −−→j +3
−→
k ) =
−→
0
−→x .(−→i +2−→j −2
−→
k ) = 12
2) Dados os vetores −→u = (3,1,1), −→v = (−4,1,3) e −→w = (1,2,0), determinar −→x de modo que −→x ⊥−→w
e −→x ×−→u =−→v .
3) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores −→u + 2−→v e −→v −−→u , sendo −→u =
(−3,2,0) e −→v = (0,−1,−2).
4) Com base na figura calcular:
a) |−→AB×−→AD| b) |−→BA×−→BC| c) |−→AB×−→DC|
43
Capı́tulo 6
Produto Misto
6.1 Definição de Produto Misto
Definição: Chama-se produto misto dos vetores −→u = x1
−→
i + y1
−→
j + z1
−→
k , −→v = x2
−→
i + y2
−→
j + z2
−→
k e
−→w = x3
−→
i + y3
−→
j + z3
−→
k , todos tomados nesta ordem, ao número real −→u .(−→v x−→w ), dado por.
−→u .(−→v x−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= x1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y2 z2
y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
− y1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 z2
x3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
+ z1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 y2
x3 y3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
O produto misto de −→u , −→v e −→w também é indicado por (−→u ,−→v ,−→w ).
EXERCÍCIOS:
1. Calcule o produto misto (−→u ,−→v ,−→w ).
a) −→u = 2−→i +3−→j +5
−→
k , −→v =−−→i +3−→j +3
−→
k , −→w = 4−→i −3−→j +2
−→
k
b) −→u = (3,−1,1), −→v = (1,2,2) e −→w = (2,0,−3)
6.2 Propriedades do Produto Misto
Propriedades
(i) O produto misto (−→u ,−→v ,−→w ) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.
Em relação ao produto misto (−→u ,−→v ,−→w ), ocorre:
44
a) uma permutação - haverá troca de sinal;
b) duas permutações - não altera o valor.
Disso, resulta que −→u .(−→v ×−→w ) = (−→u ×−→v ).−→w )
(ii) (−→u +−→x ,−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w )+(−→x ,−→v ,−→w )
(−→u ,−→v +−→x ,−→w ) = (−→u ,−→v ,−→w )+(−→u ,−→x ,−→w )
(−→u ,−→v ,−→w +−→x ) = (−→u ,−→v ,−→w )+(−→u ,−→v ,−→x ).
(iii) (α−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u ,α−→v ,−→w ) = (−→u ,−→v ,α−→w ) = α(−→u ,−→v ,−→w ).
(iv) (−→u ,−→v ,−→w ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares
EXERCÍCIOS:
1. Verificar se são coplanares os vetores −→u = (2,−1,1), −→v = (1,0,−1) e −→w = (2,−1,4).
2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores −→u = (2,m,0), −→v = (1,−1,2) e −→w = (−1,3,−1)
sejam coplanares?
3. Verificar se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão no mesmo plano.
4. Sabendo que (−→u ,−→v ,−→w ) =−5, calcular:
a) (−→w ,−→v ,−→u ) b) (−→v ,−→u ,−→w ) c) (−→w ,−→u ,−→v )
6.3 Interpretação geométrica do módulo do Produto Misto
Geometricamente, o produto misto −→u .(−→v ×−→w ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepı́pedo de
arestas determinadas pelos vetores não coplanares −→u , −→v e −→w .
A área da base do paralelepı́pedo é |−→v ×−→w |.
Seja θ o ângulo entre os vetores −→u e −→v ×−→w . Sendo −→v ×−→w um vetor ortogonal à base, a altura será
paralela a ele, e, portanto,
h = |−→u ||cosθ |
45
É necessário considerar o valor absoluto |cosθ |, pois θ pode ser um ângulo obtuso.
Então, o volume V do paralelepı́pedo é
V = (área da base)(altura)
= |−→v ×−→w ||−→u ||cosθ |
= ||−→u ||−→v ×−→w |cosθ |
= |−→u .(−→v ×−→w )
= |(−→u ,−→v ,−→w )|
A penúltima igualdade decorre da definição de produto escalar.
EXERCÍCIOS:
1. Sejam os vetores −→u = (3,m,−2), −→v = (1,−1,0) e −→w = (2,−1,2). Calcular o valor de m para que
o volume do paralelepı́pedo determinado por −→u , −→v e −→w seja 16 u.v. (unidades de volume).
2. Qual o volume do cubo determinado pelo vetores −→i , −→j e
−→
k ?
6.4 Volume do Tetraedro
Sejam A, B, C e D pontos não coplanares. Portanto, os vetores
−→
AB,
−→
AC e
−→
AD também são não
coplanares. Em consequência, esses vetores determinam um paralelepı́pedo cujo volume é
V = |(−→AB,−→AC,−→AD)|.
46
O paralelepı́pedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho
(conforme figura) e, portanto, o volume Vp de cada prisma é a metade do volume V do paralelepı́pedo
(Vp =
1
2
V ).
Por outro lado, da Geometria Espacial sabemos que o prisma pode ser repartido em três pirâmides de
mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o volume Vt do tetraedro é um terço do
volume do prisma, ou seja,
Vt =
1
3
Vp =
1
3
(
1
2
V
)
=
1
6
V
ou
Vt =
1
6
|(−→AB,−→AC,−→AD)|
EXERCÍCIOS:
1. Sejam A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3) vértices de um tetraedro. Calcular:
a) o volume do tetraedro;
b) a altura do tetraedro relativa ao vértice D.
2) Um paralelepı́pedo é determinado pelos vetores −→u = (3,−1,4), −→v = (2,0,1) e −→w = (−2,1,5).
Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores −→u e −→v .
3) O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paralelepı́pedo, e os três vértices adjacentes são B(2,-
1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1). Determinar o valor de m para que o volume desse paralelepı́pedo seja
igual ao 20 u.v. (unidades de volume).
47
Capı́tulo 7
A Reta
7.1 Equação Vetorial e Equações Paramétricas da Reta
Equação vetorial da reta
Consideremos um ponto A(x1,y1,z1) e um vetor não nulo −→v = (a,b,c). Só existe uma reta r que
passa por A e tem a direção de v. Um ponto P(x,y,z) pertence a r se, e somente se, o vetor
−→
AP é
paralelo a −→v , ou seja, para algum real t,
−→
AP = t−→v
De
−→
AP = t−→v , temos, P−A = t−→v e, portanto,
P = A+ t−→v ou (x,y,z) = (x1,y1,z1)+ t(a,b,c)
Essas equações são equivalentes e denominadas: Equação vetorial da reta r.
O vetor −→v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro.
Exemplo: A reta r que passa por A(1,−1,4) e tem direção de −→v = (2,3,2) tem equação vetorial
48
dada por
r : (x,y,z) = (1,−1,4)+ t(2,3,2)
em que (x,y,z) representa um ponto qualquer de r.
Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por exemplo, para t = 1, obtém-se
(x,y,z) = (1,−1,4)+1(2,3,2) = (1,−1,4)+(2,3,2) = (3,2,6) e, portanto, P1(3,2,6) ∈ r.
De forma análoga, para t = 2, obtém-se (x,y,z)= (1,−1,4)+2(2,3,2)= (5,5,8) e, portanto, P2(5,5,8)∈
r;
Para t = 3, obtém-se o ponto P3(7,8,10);
Para t = 0, obtém-se o próprio ponto A(1,−1,4);
Para t =−1, obtém-se o ponto P4(−1,−4,2);
Assim por diante. Se t assumir todos os valores reais, teremos todos os infinitos pontos da reta.
A Figura mostraos pontos obtidos com seus correspondentes parâmetros.
OBS:
a) A cada real t corresponde um ponto P ∈ r. A recı́proca também é verdadeira, ou seja, a cada P ∈ r
corresponde um número real t. Por exemplo, sabe-se que o ponto P(5,5,8) pertence à reta
r : (x,y,z) = (1,−1,4)+ t(2,3,2)
Logo, o ponto (5,5,8) é um particular (x,y,z) da equação do exemplo dado acima, logo
(5,5,8) = (1,−1,4)+ t(2,3,2),para algum real t
Dessa igualdade, vem
(5,5,8)− (1,−1,4) = t(2,3,2)
49
ou
(4,6,4) = t(2,3,2)
portanto t = 2.
b) Existem infinitas equações vetoriais de r, pois basta tomar outro ponto de r (em vez de A) ou
outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de −→v . Por exemplo, a equação
(x,y,z) = (1,−1,4)+ t(4,6,4)
é outra equação vetorial de r na qual se utilizou o vetor 2−→v = (4,6,4) como vetor diretor, em vez de
−→v = (2,3,2).
Equações paramétricas da reta
Da equação vetorial da reta, temos
(x,y,z) = (x1,y1,z1)+ t(a,b,c)
ou, ainda,
(x,y,z) = (x1 +at,y1 +bt,z1 + ct)
pela condição de igualdade, obtém-se 
x = x1 +at
y = y1 +bt
z = z1 + ct
As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta.
EXERCÍCIOS:
1. Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3,−4,2) e é paralela ao vetor
−→v = (2,1,−3).
2. Dado o ponto A(2,3,−4) e o vetor −→v = (1,−2,3), pede-se:
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de −→v .
50
b) Encontrar os pontos B e C de r de parâmetros t = 1 e t = 4, respectivamente.
c) Determinar o ponto de r cuja abscissa x é igual a 4.
d) Verificar se os pontos D(4,−1,2) e E(5,−4,3) pertencem a r.
e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n) pertence a r.
f) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por A e é paralela ao eixo dos y.
Reta definida por dois pontos
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do vetor −→v =−→AB.
Exemplo 04: Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A(3,−1,−2) e B(1,2,4).
Solução: Escolhendo o ponto A e o vetor −→v =−→AB = B−A = (−2,3,6), tem-se
r :

x = 3−2t
y =−1+3t
z =−2+6t
Equações simétricas da reta
Das equações paramétricas
x = x1 +at y = y1 +bt z = z1 + ct
supondo abc ̸= 0, vem
t =
x− x1
a
t =
y− y1
b
t =
z− z1
c
Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t, obtemos as igualdades
x− x1
a
=
y− y1
b
=
z− z1
c
Essas equações são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) e tem
direção do vetor −→v = (a,b,c).
Exemplo: Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3,0,−5) e tem direção
−→v = (2,2,−1).
51
Solução: Temos
x−3
2
=
y−0
2
=
z− (−5)
−1
ou seja
x−3
2
=
y
2
=
z+5
−1
OBS: Se desejarmos obter outros pontos da reta, basta atribuirmos um valor qualquer a uma das
variáveis. Por exemplo, para x=5, tem-se
5−3
2
= 1 =
y
2
=
z+5
−1
em que y=2 e z=-6 e, portanto, o ponto (5,2,-6) pertence à reta.
Equações reduzidas da reta
Seja a reta r definida pelo ponto A(2,−4,−3) e pelo vetor diretor −→v = (1,2,−3), ela pode ser ex-
pressa pelas equações simétricas
r :
x−2
1
=
y+4
2
=
z+3
−3
A partir dessas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Isolando-se pri-
meiro as variáveis y e z, e expressando-as em função de x, obtém-se
x−2
1
=
y+4
2
x−2
1
=
z+3
−3
y+4 = 2x−4 z+3 =−3x+6
y = 2x−8 z =−3x+3
Essas duas equações são chamadas de equações reduzidas da reta r, na variável x.
OBS:
1. Todo ponto P ∈ r é do tipo P(x,y,z) = P(x,2x− 8,−3x+ 3), em que x pode assumir um valor
qualquer. Por exemplo, para x = 3, tem-se o ponto P1(3,−2,−6) ∈ r.
52
2. Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma
r :

y = mx+n
z = px+q
3. Com procedimento idêntico, podem-se obter as equações
r :

x =
1
2
y+4
z =−3
2
y−9
(equações reduzidas na variável y)
ou
r :

x =−1
3
z+1
y =−2
3
z−6
(equações reduzidas na variável z)
4. Para encontrar um vetor diretor da reta
r :

y = 2x−8
z =−3x+3
uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e, posteriormente, encontrar o vetor
−→
AB = B−A.
Por exemplo,
para x=0, obtém-se o ponto A(0,-8,3)
para x=1, obtém-se o ponto B(1,-6,0)
Logo,
−→
AB = (1,2,−3) é um vetor diretor de r.
Outra maneira seria isolar a variável x nas duas equações, obtendo-se, desse modo, equações simétricas
de r:
x
1
=
y+8
2
=
z−3
−3
53
na qual a leitura do vetor diretor (1,2,-3) é imediata.
EXERCÍCIOS:
1. A reta r passa pelo ponto A(4,-3,-2) e é paralela à reta
r :

x = 1+3t
y = 2−4t
z = 3− t
Se P(m,n,-5) ∈ r, determine m e n.
2. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes ca-
sos:
a) A(1,-1,2) e B(2,1,0) b) A(3,1,4) e B(3,-2,2)
3. Verificar se os pontos P1(5,−5,6) e P2(4,−1,12) pertencem à reta r :
x−3
−1
=
y+1
2
=
z−2
−2
4. Determinar o ponto da reta r :
x−1
2
=
y+3
−1
=
z
4
que possui:
a) abscissa 5; b) ordenada 2
5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta:
a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção de −→v = (2,4,5);
b) pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1);
c) pelos pontos A(-1,2,3) e B(2,-1,3);
d) dada por

x = 2− t
y = 3t
z = 4t −5
54
7.2 Retas Paralelas aos Planos e Eixos Coordenados
Paralela aos Planos
Uma reta é paralela a um dos planos xOy, xOz ou yOz se seus vetores diretores forem paralelos ao
correspondente plano. Nesse caso, uma das componentes do vetor é nula.
A Figura mostra a reta r (r // xOy) que passa pelo ponto A(-1,2,4) e tem vetor diretor −→v = (2,3,0) (a
3ª componente é nula porque −→v ||xOy).
Um sistema de equações paramétricas de r é

x =−1+2t
y = 2+3t
z = 4
OBS: Como todos os pontos de r são do tipo (x,y,4), ou seja, são pontos de cota 4, todos eles distam
4 unidades do plano xOy e, por isso, r//xOy. Por outro lado, sendo P1(x1,y1,4) e P2(x2,y2,4) pontos
distintos de r, o vetor diretor
−−→
P1P2 = (x2 − x1,y2 − y1,0) sempre terá a 3ª componente nula.
Comentário idêntico farı́amos para os casos de uma reta ser paralela aos outros dois planos.
A Figura mostra a reta r que passa por A(1,5,3) e é paralela ao vetor −→v = (−1,0,2) e, portanto,
Paralela aos Eixos Coordenados
Uma reta é paralela a um dos eixos Ox, Oy ou Oz se seus vetores diretores forem paralelos a
−→
i = (1,0,0),
−→
j = (0,1,0) ou a
−→
k = (0,0,1). Nesse caso, duas das componentes do vetor são
55
r :

x = 1− t
y = 5
z = 3+2t
nulas.
Exemplo: Seja a reta r que passa por A(2,3,4) e tem a direção do vetor −→v = (0,0,3). Como a
direção de −→v é a mesma de
−→
k , pois −→v = 3
−→
k , a reta r é paralela ao eixo Oz.
A reta r pode ser representada pelas equações
r :

x = 2
y = 3
z = 4+3t
Para o caso particular da reta ser paralela a um eixo coordenado, costuma-se simplificar, e expres-
sar as equações somente pelas constantes. Para o caso particular anterior, diz-se que as equações de r
são
r :

x = 2
y = 3
subentendendo-se z uma variável livre que assume todos os valores reais. Ou seja, todos os pontos de
r são do tipo (2,3,z) e as coordenadas constantes identificam perfeitamente a reta.
As Figuras abaixo apresentam retas que passam por A(x1,y1,z1) e são paralelas aos eixos Oy e Ox,
respectivamente.
56
Logo, suas equações, já na forma simplificada, são
x = x1
z = z1
e

y = y1
z = z1
7.3 Ângulo de duas Retas
Ângulo de duas retas
Sejam as retas r1 e r2 com direções de −→v 1 e −→v 2, respectivamente.
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor
de r2. Logo, sendo θ este ângulo, tem-se
cosθ =
|−→v 1 ·−→v 2|
|−→v 1||−→v 2|
, com 0 ≤ θ ≤ π
2
57
Exemplo10: Calcular o ângulo entre as retas
r1 :

x = 3+ t
y = t
z =−1−2t
e r2 :
x+2
−2
=
y−3
1
=
z
1
Solução: Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são, respectivamente, −→v 1 = (1,1,−2) e
−→v 2 = (−2,1,1). Tem-se que
cosθ =
|−→v 1 ·−→v 2|
|−→v 1||−→v 2|
=
|(1,1,−2) · (−2,1,1)|√
12 +12 +(−2)2
√
(−2)2 +12 +12
cosθ =
|−2+1−2|√
12 +12 +4
√
4+12 +12
=
|−3|√
6
√
6
=
3
6
=
1
2
Logo, θ = 60, pois cos60 =
1
2
.
Distância de um ponto a uma reta
Dado um ponto P no espaço e uma reta r, quer-se calcular a distância d(P,r) de P a r. Consideremos
na reta r um ponto A e um vetor diretor −→v . Os vetores −→v e −→AP determinam um paralelogramo cuja
altura corresponde à distância d(P,r).
A área A do paralelogramo é dada por A = (base)(altura) = |−→v | · d ou também por A = |−→v ×−→AP|.
Comprando essas duas igualdades, vem
d = d(P,r) =
|−→v ×−→AP|
|−→v |
58
EXERCÍCIOS:
1. Calcular a distância do ponto P(2,1,4) à reta
r :

x =−1+2t
y = 2− t
z = 3−2t
2. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
a) r1 :

x =−2− t
y = t
z = 3−2t
e r2 :
x
2
=
y+6
1
=
z−1
1
b) r1 :

y =−2x+3
z = x−2
e r2 : y =
z+1
−1
; x = 4
3. Determinar o valor de n para que seja de 30º o ângulo entre as retas
r1 :
x−2
4
=
y
5
=
z
3
e r1 :

y = nx+5
z = 2x−2
7.4 Retas Ortogonais
Sejam as retas r1 e r2 com as direções de −→v1 e −→v2 , respectivamente. Então,
r1 ⊥ r2 ⇐⇒−→v1 .−→v2 = 0
OBS:
Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na Figura, as retas r1 e r2 são ortogonais a r.
Porém, r2 e r são concorrentes. Nesse caso, diz-se que são perpendiculares.
59
Reta Ortogonal a duas Retas
Sejam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de −→v1 e −→v2 , respectivamente. Toda reta r ortogonal
a r1 e r2 terá a direção de um vetor −→v tal que
−→v .−→v1 = 0
−→v .−→v2 = 0
Em vez de tomarmos um vetor −→v ̸= 0 como uma solução particular do sistema acima, poderı́amos
utilizar o produto vetorial, ou seja,
−→v =−→v1 ×−→v2
Definido um vetor diretor, a reta r estará determinada quando um de seus pontos for conhecido.
EXERCÍCIOS:
1. Verifique se as retas são ortogonais
r1 :

y =−2x+1
z = 4x
e r2 :

x = 3−2t
y = 4+ t
z = t
2. Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m
r1 :

x = 2mt −3
y = 1+3t
z =−4t
e r2 :

x = 2y−1
z =−y+4
3. Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às
retas r1 e r2
60
A(3,2,-1), r1 :

x = 3
y =−1
e r2 :

y = x−3
z =−2x+3
7.5 Interseção de duas Retas
Duas retas r1 e r2 no espaço, podem ser:
a) coplanares, isto é, situadas no mesmo plano. Nesse caso as retas podem ser:
(i) concorrentes: r1 ∩ r2 = I (I é o ponto de interseção das retas)
(ii) paralelas: r1 ∩ r2 = /0 ( /0 é o conjunto vazio)
b) reversas, isto é, não situadas no mesmo plano. Neste caso r1 ∩ r2 = /0
OBS: A igualdade (−→v1 ,−→v2 ,
−−→
A1A2) = 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e r2 que passam,
respectivamente, pelos pontos A1 e A2, e têm por vetores diretores os vetores −→v1 e −→v2 :
a) Se r1 e r2 forem paralelas, serão coplanares, isto é, (−→v1 ,−→v2 ,
−−→
A1A2) = 0, pois duas linhas do
determinante utilizado para calcular (−→v1 ,−→v2 ,
−−→
A1A2) apresentam elementos proporcionais (−→v1 =
k−→v2);
b) Se r1 e r2 não forem paralelas, a igualdade (−→v1 ,−→v2 ,
−−→
A1A2) = 0 exprime a condição de con-
corrência dessas retas;
61
c) Se o determinante utilizado para calcular (−→v1 ,−→v2 ,
−−→
A1A2) for diferente de zero, as retas r1 e r2
são reversas.
EXERCÍCIOS:
1. Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2:
a) r1 :

x = 3+h
y = 1+2h
z = 2−h
e r2 :

x = 5+3t
y =−3−2t
z = 4+ t
b) r1 :

y = 2x−3
z =−x
e r2 :

x =−t
y = 4− t
z = 2+2t
c) r1 :

y =−3x+2
z = 2x−5
e r2 :
x+2
2
=
y−1
−6
=
z
4
2. Estude as posições relativas das retas:
a) r1 :
x
2
=
y−1
−1
= z e r2 =

x = 2−4t
y = 2t
z = 1−2t
b) r1 :
x−2
2
=
y
3
=
z−5
4
e r2 =

x = 5+ t
y = 2− t
z = 7−2t
62
Capı́tulo 8
O Plano
8.1 Equação Geral do Plano
Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente ao plano π e −→n = (a,b,c), −→n ̸=
−→
0 , um vetor normal (orto-
gonal) ao plano.
Como −→n ⊥ π , −→n é ortogonal a todo vetor representado em π . Então, um ponto P(x,y,z) pertence a
π se, e somente se, o vetor
−→
AP é ortogonal a −→n , ou seja,
−→n · (P−A) = 0
De −→n · (P−A) = 0, temos
(a,b,c) · (x− x1,y− y1,z− z1) = 0
ou
a(x− x1)+b(y− y1)+ c(z− z1) = 0
ou, ainda,
ax+by+ cz−ax1 −by1 − cz1 = 0
63
Fazendo −ax1 −by1 − cz1 = d, temos
ax+by+ cz+d = 0
Esta é a equação geral do plano π .
OBS:
a) Assim como −→n = (a,b,c) é um vetor normal a π , qualquer vetor k−→n , k ̸= 0, é também vetor normal
ao plano.
b) É importante notar que os três coeficientes a, b e c da equação do plano representam as com-
ponentes de um vetor normal ao plano.
• Exemplo: Se um plano π é dado por π : 3x+ 2y− z+ 1 = 0, um de seus vetores normais é
−→n = (3,2,−1).
c) Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral, basta atribuir valores arbitrários a duas
das variáveis e calcular o valor da outra na equação dado.
• Exemplo: Se na equação anterior fizermos x = 4 e y = −2, teremos: 3(4)+ 2(−2)− z+ 1 =
0 ⇒ z = 9. Portanto, o ponto A(4,−2,9) pertence ao plano.
EXERCÍCIOS:
1. Obter a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2,−1,3) e tem −→n = (3,2,−4) como
vetor normal.
2. Escrever uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2,1,3) e é paralelo ao plano
π1 : 3x−4y−2z+5 = 0.
8.2 Equação Vetorial e Paramétricas do Plano
Seja A(x0,y0,z0) um ponto pertencente a um plano π e −→u = (a1,b1,c1) e −→v = (a2,b2,c2) dois vetores
paralelos a π , e −→u e −→v não paralelos.
Para todo ponto P do plano, os vetores
−→
AP, −→u e −→v são coplanares. Um ponto P(x,y,z) pertence a π
se, e somente se, existirem números reais h e t tais que
−→
AP = P−A = h−→u + t−→v
64
ou
P = A+h−→u + t−→v
ou, em coordenadas
(x,y,z) = (x0,y0,z0)+h(a1,b1,c1)+ t(a2,b2,c2), h, t ∈ R
Essa equação é denominada equação vetorial do plano π . Os vetores −→u e −→v são vetores diretores de
π .
Da equação vetorial do plano π , obtém-se
(x,y,z) = (x0 +a1h+a2t,y0 +b1h+b2t,z0 + c1h+ c2t)
que, pela condição de igualdade, vem

x = x0 +a1h+a2t
y = y0 +b1h+b2t
z = z0 + c1h+ c2t, h, t ∈ R
Essas equações são chamadas equações paramétricas de π , e h e t são variáveis auxiliares denomina-
das parâmetros.
OBS:
a) Como é possı́vel encontrar infinitos ternos A, B e C de pontos não alinhados em π , existem infinitos
sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano.
b) É importante que os vetores diretores sejam não paralelos. Se ocorrer
−→
AB//
−→
AC, basta trocar um
dos pontos de modo a garantir
−→
AB e
−→
AC não paralelos.
c) Outra maneira de obter equações paramétricas, a partir da equação geral, é substituir duas das
variáveis pelos parâmetros h e t e, posteriormente, isolar a terceira variável em função destes.
65
Por exemplo, se na equação geral 2x−y−z+4 = 0, fizermos y = h e z = t, teremos 2x−h−t+4 = 0.
Isolando x, resulta x =−2+(1/2)h+(1/2)t. Então
x =−2+ 12h+
1
2t
y = h
z = t
EXERCÍCIOS:
1. Seja o plano π que passa pelo ponto A(2,2,−1) e é paralelo aos vetores −→u = (2,−3,1) e
−→v = (−1,5,−3). Obter uma equação vetorial, um sistema de equações paramétricas e uma equação
geral de π .
2) Dado o plano π determinado pelos pontos A(1,−1,2), B(2,1,−3) e C(−1,−2,6), obter um sis-
tema de equações paramétricas e uma equação geral de π .
3) Dadoo plano π de equação 2x− y− z+ 4 = 0, determinar um sistema de equações paramétricas
de π .
4) Determinar uma equação geral do plano π que contém as retas
r1 =

y = x+1
z =−3x−2
e r2 =

x = 2t
y = 2t +3
z =−6t +1
8.3 Equação Vetorial de um Paralelogramo
Dados os pontos A, B e C não em linha reta, os vetores
−→
AB e
−→
AC determinam o paralelogramo cuja
equação vetorial é
P = A+h(
−→
AB)+ t(
−→
AC)
ou
P = A+h(B−A)+ t(C−A), com h, t ∈ [0,1]
em que P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.
66
Observe que:
para h = t = 0, obtém-se o ponto A (P = A)
para h = 1 e t = 0, obtém-se o ponto B (P = B)
para h = 0 e t = 1, obtém-se o ponto C (P = C)
para h = t = 1, obtém-se o ponto D (P = D)
para t = 12 e h ∈ [0,1], obtém-se o segmento MN, onde M e N são pontos médios de AC e BD,
respectivamente, e assim por diante.
8.4 Ângulo entre dois Planos
Sejam os planos π1 e π2 com vetores normais −→n1 e −→n2 , respectivamente
Chama-se ângulo de dois planos π1 e π2 o menor ângulo que um vetor normal a π1 forma com um
vetor normal a π2. Sendo θ esse ângulo, tem-se 5
cos θ =
|−→n1.−→n2|
|−→n1||−→n2|
, com 0 ≤ θ ≤ π
2
EXERCÍCIOS:
1. Determinar os ângulo entre os seguintes planos.
a) π1 : 2x+ y− z+3 = 0 e π2 : x+ y−4 = 0;
b) π1 : x−2y+ z−6 = 0 e π2 : 2x− y− z+3 = 0;
c) π1 : x+2y−6 = 0 e π2 : y = 0.
67
8.5 Planos Perpendiculares
Consideremos dois planos π1 e π2, e sejam −→n1 e −→n2 vetores normais a π1 e π2, respectivamente. Pela
Figura, conclui-se que:
π1 ⊥ π2 ⇐⇒−→n1 ⊥−→n2 ⇐⇒−→n1.−→n2 = 0
Exemplo: Verifique se π1 : 3x+ y−4z+2 = 0 e π2 : 2x+6y+3z = 0 são perpendiculares.
Solução: Sendo −→n1 = (3,1,−4) e −→n2 = (2,6,3) vetores normais a π1 e π2, respectivamente, e como
−→n1.−→n2 = 3(2)+1(6)−4(3) = 0, conclui-se que π1 e π2 são perpendiculares.
Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano
Seja uma reta r com a direção do vetor −→v e um plano π , sendo −→n um vetor normal a π . Pelas figuras
conclui-se que:
r||π ⇐⇒−→v ⊥−→n ⇐⇒−→v .−→n = 0
r ⊥ π ⇐⇒−→v ||−→n ⇐⇒−→v = α−→n
EXERCÍCIOS:
1. Dados a reta r e o plano π , determinar o valor de m para que se tenha r||π e r ⊥ π , nos casos:
a) r : x =−3+ t y =−1+2t z = 4t e π : mx− y−2z−3 = 0
b) r : (x,y,z) = (1,2,0)+ t(2,m,−1) e π : 3x+2y+mz = 0
68
2. Seja o plano π : 3x+y−z−4 = 0, calcular o valor de k para que o ponto P(k,2,k−1) pertença a π .
3. Determinar a equação geral do plano paralelo ao plano π : 2x− 3y− z+ 5 = 0 e que contenha
o ponto A(4,−2,1).
4. Dada a equação geral do plano π : 3x− 2y− z− 6 = 0, determinar um sistema de equações pa-
ramétricas de π .
5. Determinar uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(−3,1,−2) e B(−1,2,1) e é
paralelo à reta r : x2 =
z
−3 ; y = 4.
6. Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos π1 : x+my+ 2z− 7 = 0 e
π2 : 4x+5y+3z+2 = 0.
7. Determinar m de modo que os planos π1 : mx + y − 3z − 1 = 0 e π2 : 2x − 3my + 4z + 1 = 0
sejam perpendiculares.
69
Capı́tulo 9
Sistemas Lineares
9.1 Introdução
Muitas vezes na Ciência e na Matemática, a informação é organizada em linhas e colunas, formando
agrupamentos retangulares denominados ”matrizes”. Com frequência, essas matrizes aparecem como
tabelas de dados numéricos que surgem em observações fı́sicas. Por exemplo, toda a informação
necessária para resolver um sistema de equações tal como
5x+ y = 3
2x− y = 4
está encorpada na matriz  5 1 3
2 −1 4

e que a solução do sistema pode ser obtida efetuando operações apropriadas nessa matriz.
9.2 Equações Lineares
Lembre que uma reta num sistema bidimensional de coordenadas xy pode ser representada por uma
equação da forma
ax+by = c
e que um plano num sistema tridimensional de coordenadas xyz pode ser representado por uma
equação da forma
ax+by+ cz = d
70
Esses são exemplos de equações lineares, a primeira sendo uma equação linear nas variáveis x e y, e
a segunda, uma equação linear nas variáveis x, y e z. Mais geralmente, definimos uma equação linear
nas n variáveis x1,x2, ...,xn como uma equação que pode ser expressa na forma
a1x1 +a2x2 + · · ·+anxn = b
em que a1,a2, ...,an e b são constantes, sendo que nem todos os a são nulos.
No caso especial em que b = 0, a equação anterior tem a forma
a1x1 +a2x2 + · · ·+anxn = 0
que é denominada equação linear homogênea nas variáveis x1,x2, ...,xn.
Observe que um sistema linear não envolve produtos ou raı́zes de variáveis. Todas as variáveis ocor-
rem somente na primeira potência e não aparecem, por exemplo, como argumentos de funções trigo-
nométricas, logarı́tmicas ou exponenciais.
Exemplo: As seguintes equações são lineares?
a) x+3y = 7
b)
1
2
x− y+3z =−1
c) x1 −2x2 −3x3 + x4 = 0
d) x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = 1
e) x+3y2 = 4
f) senx+ y = 0
g) 3x+2y− xy = 5
h)
√
x1 +2x2 + x3 = 1
EXERCÍCIOS:
1. Determine se as equações são lineares em x1, x2 e x3.
a) x1 +5x2 −
√
2x3 = 1
b) x1 +3x22 + x1x3 = 2
c) x1 =−7x2 +3x3
d) x−21 + x
2
2 +8x3 = 5
e) x3/51 −2x2 + x3 = 4
71
f) πx1 −
√
2x2 +
1
3
x3 = 71/3
2. Determine se as equações formam um sistema linear:
a)
2x1x4 = 5
−x1 +5x2 +3x3 −2x4 =−1
b)
7x1 −x2 +2x3 = 0
2x1 +x2 −x3x4 = 3
−x1 +5x2 −x4 =−1
9.3 Sistema Linear
Definição: Um conjunto finito de equações lineares é denominado um sistema de equações lineares
ou, simplesmente, um sistema linear. As variáveis são denominadas incógnitas.
Por exemplo, o primeiro sistema abaixo tem incógnitas x e y,
5x+ y = 3
2x− y = 4
e o segundo sistema tem incógnitas x1, x2 e x3,
4x1 − x2 +3x3 = −1
3x1 + x2 +9x3 = −4.
Definição: Um sistema linear arbitrário de m equações nas n incógnitas x1,x2, ...,xn pode ser escrito
como
a11x1 +a12x2 + · · ·+a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 + · · ·+a2nxn = b2
a31x1 +a32x2 + · · ·+a3nxn = b3
...
...
...
...
am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn = bm
72
Uma solução de um sistema nas n incógnitas x1,x2, ...,xn é uma sequência de n números s1,s2, ...,sn
para os quais a substituição
x1 = s1, x2 = s2 , ..., xn = sn
faz de cada equação uma afirmação verdadeira.
Por exemplo, o sistema
5x+ y = 3
2x− y = 4
tem solução
x = 1, y =−2
e o sistema
4x1 − x2 +3x3 = −1
3x1 + x2 +9x3 = −4.
tem solução
x1 = 1, x2 = 2, x3 =−1
Essas soluções podem ser escritas mais sucintamente como
(1,−2) e (1,2,−1)
em que omitimos os nomes das variáveis. Essa notação nos permite interpretar essas soluções geo-
metricamente como pontos nos espaços bi e tridimensionais.
De modo mais geral, uma solução
x1 = s1, x2 = s2 , ..., xn = sn
de um sistema linear em n incógnitas pode ser escrita como
(s1,s2, ...,sn)
73
que é denominada uma ênupla ordenada. Com essa notação, fica entendido que todas as variáveis
aparecem na mesma ordem em cada equação. Se n = 2, então a ênupla é denominada par ordenado
e, se n = 3, dizemos que a ênupla é um terno ordenado.
Sistemas lineares em duas e três incógnitas
Os sistemas lineares em duas incógnitas aparecem relacionados com interseção de retas. Por exemplo,
considere o sistema linear
a1x+b1y = c1
a2x+b2y = c2
em que os gráficos das equações são retas no plano xy.
Exemplo: O sistema
5x+ y = 3
2x− y = 4
Possui solução dada por: (1,−2)
Cada solução (x,y) desse sistema corresponde a um ponto de interseção das retas, de modo que há
três possibilidades:
1. As retas podem ser paralelas e distintas, caso em que não há interseção e, consequentemente,
não existe solução.
2. As retas podem intersectar em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma
solução.
3. As retas podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de pontos de interseção (os pontos
da reta comum) e, consequentemente, uma infinidade de soluções.
Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução e incon-
sistente se não tiver solução.
Assim,um sistema linear consistente de duas equações em duas incógnitas tem uma solução ou uma
infinidade de soluções, não havendo outra possibilidade.
74
O mesmo vale para um sistema linear de três equações em três incógnitas
a1x+b1y+ c1z = d1
a2x+b2y+ c2z = d2
a3x+b3y+ c3z = d3
em que os gráficos das equações são planos.
As soluções do sistema, se as houver, correspondem aos pontos em que os três planos se intersectam,
de modo que, novamente, vemos que há somente três possibilidades: nenhuma solução, uma solução
ou uma infinidade de soluções.
Exemplo 1: Resolva o sistema linear
x− y = 1
2x+ y = 6
75
Exemplo 2: Resolva o sistema linear
x+ y = 4
3x+3y = 6
Exemplo 3: Resolva o sistema linear
4x−2y = 1
16x−8y = 4
EXERCÍCIOS:
1. Escreva um sistema de equações lineares constituı́do de três equações em três incógnitas com
(a) nenhuma solução
(b) exatamente uma solução
(c) uma infinidade de soluções
2. Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
À medida que cresce o número de equações e de incógnitas num sistema linear, cresce também a
complexidade da álgebra envolvida em sua resolução. No sistema linear
a11x1 +a12x2 + · · ·+a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 + · · ·+a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 +am2x2 + · · ·+amnxn = bm
76
podemos abreviar a escrita escrevendo apenas a tabela retangular de números

a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn bm

denominada matriz aumentada do sistema.
Por exemplo, a matriz aumentada do sistema de equações
x1 + x2 +2x3 = 9
2x1 +4x2 −3x3 = 1
3x1 +6x2 −5x3 = 0
é 
1 1 2 9
2 4 −3 1
3 6 −5 0

EXERCÍCIOS:
1. Em cada parte, encontre um sistema de equações lineares correspondente à matriz aumentada dada.
77
2. Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
9.4 Operações Elementares
O método básico de resolver um sistema de equações lineares é efetuar operações algébricas no sis-
tema que não alterem seu conjunto de soluções e que produzam uma sucessão de sistemas cada vez
mais simples, até alcançar um ponto em que se possa decidir se o sistema é consistente e, se for, quais
são suas soluções. As operações tı́picas são as seguintes.
1. Multiplicar uma equação inteira por uma constante não nula.
2. Trocar duas equações entre si.
3. Somar uma constante vezes uma equação a uma outra equação.
Essas operações são denominadas operações elementares com linhas de uma matriz.
Exemplo: Utilizando operações elementares com linhas
Na coluna da esquerda, resolvemos um sistema de equações lineares operando nas equações do sis-
tema e, na coluna da direita, resolvemos o mesmo sistema operando nas linhas da matriz aumentada.
EXERCÍCIOS:
78
01. Resolva os sistemas lineares.
a)
2x + 3y + z = 0
3x − 3y + z = 7
2x + z = 3
R = (1,−1,1).
b)
x + y + z = 7
x + 2y + 3z = 11
3x + y + 2z = 16
R = (4,2,1).
79
9.5 Eliminação Gaussiana
Considere o sistema linear nas incógnitas x1, x2, x3 e x4 com matriz aumentada na forma
cuja solução é dada por x1 = 3, x2 =−1, x3 = 0 e x4 = 5. Isso é um exemplo de uma matriz que está
na forma escalonada reduzida por linhas.
Para ser dessa forma, uma matriz deve ter as seguintes propriedades:
1. Se uma linha não consistir inteiramente em zeros, então o primeiro número não nulo da linha é
um 1. Dizemos que esse número 1 é um pivô.
2. Se existirem linhas constituı́das inteiramente de zeros, então elas estão agrupadas juntas nas
linhas inferiores da matriz.
3. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só em zeros, o pivô da linha inferior
ocorre mais à direita do que o pivô da linha superior.
4. Cada coluna que contém um pivô tem zeros nas demais entradas.
Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalonada por linhas,
ou simplesmente, em forma escalonada.
Exemplo: Formas escalonada e escalonada reduzida por linhas. As matrizes a seguir estão em
forma escalonada reduzida por linhas. As matrizes a seguir estão em forma escalonada, mas não re-
duzida.
80
Exemplo: Mais sobre formas escalonada e escalonada reduzida por linhas. Como ilustra o exem-
plo anterior, uma matriz em forma escalonada tem zeros abaixo de cada pivô, enquanto uma matriz
em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima de cada pivô. Assim, colocando
qualquer número real no lugar dos asteriscos, todas as matrizes dos seguintes tipos estão em forma
escalonada. Todas as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada reduzida por linhas.
Exemplo: Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada ou em forma escalonada
reduzida.
Métodos de eliminação
Passo a passo do precedimento de eliminação que pode ser usado para reduzir qualquer matriz à forma
escalonada reduzida.
Seja a matriz
A última matriz está na forma escalonada reduzida por linhas.
O procedimento (ou algoritmo) que acabamos de descrever, que reduz uma matriz à forma escalonada
reduzida por linhas, é denominado eliminação de Gauss-Jordan.
Se usarmos somente a fase direta, então o procedimento, denominado eliminação gaussiana, produz
81
uma forma escalonada por linhas. Por exemplo, nos cálculos precedentes, obtivemos uma matriz em
forma escalonada reduzida por linhas no final do Passo 5.
82
EXERCÍCIOS:
1. Resolva por eliminação de Gauss-Jordan o sistema linear.
x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
2. Encontre os coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura seja o gráfico da equação
y = ax3 +bx2 + cx+d.
83
Capı́tulo 10
Matrizes e Determinantes
10.1 Definição de Matriz
Definição 01: Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Dizemos que os números nesse
agrupamento são as entradas da matriz.
ou ainda
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplo: No lado esquerdo temos uma tabela e no lado direito sua representação em forma de
matriz A3×7.
Definição 02: Duas matrizes são definidas como sendo iguais se tiverem o mesmo tamanho e suas
entradas correspondentes forem iguais.
Exemplo: As seguintes matrizes são iguais
 3
2 1 log1
2 22 5
=
 9 sen (π/2) 0
2 4 5

84
10.2 Tipos Especiais de Matrizes
Definição 03: Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas m é igual ao número de colunas n, ou
seja, m = n.
Exemplos: As seguintes matrizes são quadradas
 3 1
2 −2
 ,
[
9
]
Notação: No caso de matrizes quadradas Am×n, costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m,
Am.
Definição 04: Matriz Nula é aquela em que todas as suas entradas são iguais a zero.
Exemplos: As seguintes matrizes são nulas
 0 0 0
0 0 0
 ,
[
0 0
]
Definição 05: Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna, n = 1.
Exemplos: 
3
2
4

,
 x
y

Definição 06: Matriz Linha é aquela que possui uma única linha, m = 1.
Exemplos: [
3 0 −1
]
,
[
0 0
]
Definição 07: Matriz diagonal, é uma matriz quadrada (m = n), onde ai j = 0 para i ̸= j, isto é, os
elementos que não estão na diagonal são nulos.
85
Exemplos: 
7 0 0
0 1 0
0 0 −1

,
 2 0
0 3

Definição 08: Matriz identidade, é uma matriz quadrada em que ai j = 1 para i = j, e ai j = 0 para
i ̸= j.
Exemplos:
I1 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

, I2 =
 1 0
0 1

Definição 09: Matriz Triangular Superior, é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal principal são nulos, isto é, m = n e ai j = 0 para i > j.
Exemplos: 
2 −1 3
0 −1 4
0 0 3

,
 a b
0 c

Definição 10: Matriz