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Cálculo I - Prova I
14/07/2023
Nome: Cartão UFRGS:
1. Seja f(x) = etanx. Calcule f ′(0) =
(A) 0 (B) 12 (C)
1
3 (D) 1 (E) não existe
2. Seja f(x) = arctan(3x). f ′(1/3) =?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) NRA
3. Seja f(x) = xesenx, então f ′(x) =?
(A) esenx (B) esenx(1− x cosx) (C) esenx(1 + x senx)
(D) esenx(1 + x cosx) (E) NRA
4. Seja f(x) = |x2 − 2x− 2|, então f ′(2) =?
(A) 0 (B) 4 (C) −2 (D) 1 (E) NRA
5. Sejam f, g diferenciáveis tais que
f(1) = 2, f ′(1) = 3, f ′(2) = −4
g(1) = 2, g′(1) = −3, g′(2) = −4
Se h(x) = f(f(x)), então h′(1) =
(A) 8 (B) −8 (C) −12 (D) 3 (E) NRA
6. Uma prancha de 13 metros está apoiada em uma parede. Se, em um dado instante, sua base
está a 12 metros da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 10 m/s,
com que rapidez estará crescemdo o ângulo agudo entre a prancha e o solo (em radianos por
segundo)?
(A) 1 (B) 2 (C) 52 (D)
25
4 (E) NRA
7. Use a aproximação linear local para estimar
√
24.
(A) 4, 78 (B) 4, 90 (C) 4, 95 (D) 5, 18 (E) NRA
8. lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)5x2
=
(A) +∞ (B) 1 (C) e5 (D) e2 (E) e10
9. Seja f(x) = x2e−x. Em qual intervalo f(x) é crescente?
(A) (2,∞) (B) (0, 2) (C) (e−1/2,∞) (D) (0,∞) (E) NRA
10. Para quais valores de x a função f(x) = x e−x
2/2 é convexa (côncava para cima)?
(A) (−
√
3,
√
3) (B) (−∞,−
√
3) ∪ (0,
√
3) (C) (0, 1) (D) (−
√
3, 0) ∪ (
√
3,+∞) (E) NRA
11. Se x+ y = x cos y, calcule
dy
dx
para x = 1, y = 0.
(A)1 (B) 0 (C) 2 (D) 1/2 (E) NRA
12. Para qual valor positivo de c, a equação lnx = cx4 tem apenas uma solução ?
(A)
1
e
(B)
1
4e
(C)
e4
4
(D)
4
e1/4
(E) 4e1/4
13. Um objeto se move ao longo da curva xy = 10. Se x = 2 e
dy
dt
= 3, o valor de
dx
dt
é
(A) −52 (B) −
6
5 (C) 0 (D)
4
5 (E)
6
5
14. Calcule lim
x→0
1− cos2(2x)
2x2
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) +∞ (E) NRA
15. Para qual valor de k f(x) = x+
k
x
tem um máximo relativo em x = −2?
(A) −4 (B) −2 (C) 2 (D) 4 (E) NRA
16. Se f(x) = (lnx)x, então f ′(e) =
(A)
1
2
(B) 2 (C) 1 (D) −1
2
(E) NRA
17. lim
x→0
(x+ e3x)1/x =
(A) 0 (B) 1 (C) e3 (D) 1 + e3 (E) e4
18. O ponto de mı́nimo absoluto de f(x) = x− senx em [0, 2π] é
(A) π2 (B) π (C)
3π
2 (D) 2π (E) NRA
19. Encontre a altura do cone circular reto de menor volume que pode circunscrever uma esfera
de raio R.
(A) 2R (B) 3R (C) 4R (D) 5R (E) NRA
20. Uma lata ciĺındrica fechada com raio da base r e altura h deve ter um volume V . A lata terá
área mı́nima quando
h
r
=
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) NRA