E-Book Completo - Equações Diferenciais_V2_DIGITAL PAGES pdf

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EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Equações Diferenciais João Pedro Marins Braga
João Pedro Marins Braga
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Alguns fenômenos físicos intrigaram e permanecem intrigando o homem, tal como o comporta-
mento de um pêndulo ou a variação de temperatura em uma chapa metálica. O estudo de tais fenôme-
nos se deu com a introdução do cálculo pelas obras de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), época 
em que problemas mecânicos puderam ser modelados matematicamente. 
Em disciplinas na área de Ciências Exatas, tais como Física, Química e Matemática e até mesmo em 
matérias da área de Humanas, como a Psicologia, é comum querermos descrever comportamentos e 
fenômenos, transcrevendo-os em equações e modelos matemáticos ou lógicos. Esse modelamento se 
iniciou com a identi� cação dos fatores que in� uenciam o fenômeno, tais como pressão, temperatura e 
velocidade. No entanto, o modelo matemático pode conter tanto variáveis como suas derivadas, cor-
respondendo a uma equação diferencial. 
Sendo assim, esse material foi desenvolvido com o objetivo de apresentar uma ferramenta da 
Matemática Moderna capaz de solucionar problemas que envolvem variáveis e suas variações instan-
tâneas (derivadas) para um certo modelo matemático. Espero que esse conteúdo possa proporcionar 
um enriquecimento intelectual, resultando em novos conhecimentos úteis e amplamente aplicáveis no 
âmbito pro� ssional e social. 
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João Pedro Marins Braga
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Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Teoremas de Green, Stokes e séries de potência
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Teorema de Green ................................................................................................................ 13
Definição ........................................................................................................................... 17
Área de uma região ......................................................................................................... 20
Teorema de Green aplicado a outras regiões ............................................................ 21
Teorema de Stokes ............................................................................................................... 23
Séries de potência ............................................................................................................... 26
Série geométrica ............................................................................................................. 27
Funções representadas por séries de potências e o teste da razão ..................... 28
Convergência das séries de potências ....................................................................... 29
Séries de Taylor e Maclaurin......................................................................................... 33
Sintetizando ........................................................................................................................... 35
Referências bibliográficas ................................................................................................. 36
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Equações diferenciais de primeira ordem
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 38
Concepção e classificação das equações diferenciais ............................................... 39
Classificação pelo tipo ................................................................................................... 42
Classificação pela ordem .............................................................................................. 43
Classificação pela linearidade ...................................................................................... 44
Soluções de equações diferenciais ............................................................................. 45
Equações diferenciais de primeira ordem ...................................................................... 50
Equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau .................................... 52
Variáveis separáveis ....................................................................................................... 53
Equações homogêneas .................................................................................................. 55
Equações exatas ............................................................................................................. 57
Equações lineares ........................................................................................................... 59
Sintetizando ........................................................................................................................... 62
Referências bibliográficas ................................................................................................. 63
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 5
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Sumário
Unidade 3 - Equações diferenciais de primeira ordem e equações diferenciais 
lineares de ordem superior
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 65
Equações Diferenciais ........................................................................................................ 66
Equação de Bernoulli ................................................................................................... 66
Equação de Ricatti ........................................................................................................ 68
Equação de Clairaut ...................................................................................................... 69
Método da substituição ............................................................................................... 72
Aplicações das equações de primeira ordem ......................................................... 75
Equações diferenciaislineares de ordem superior ...................................................... 77
Conceitos iniciais .......................................................................................................... 79
Dependência e independência linear ........................................................................ 79
Wronskiano .................................................................................................................... 81
Soluções para equações diferenciais lineares ....................................................... 82
Sintetizando ........................................................................................................................... 89
Referências bibliográficas ................................................................................................. 90
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6
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Sumário
Unidade 4 - Transformada de Laplace
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 92
Transformada de Laplace .................................................................................................... 93
Conceitos iniciais ............................................................................................................ 95
Transformada inversa ..................................................................................................... 98
Transformada de uma função periódica ..................................................................... 99
Derivada de uma transformada e teorema de translação ..................................... 102
Forma inversa do teorema de translação ............................................................... 103
Transformada de derivadas e integrais ..................................................................... 105
Convolução ..................................................................................................................... 106
A tabela da transformada de Laplace ........................................................................ 108
Aplicações ...................................................................................................................... 112
Sintetizando ......................................................................................................................... 116
Referências bibliográficas ............................................................................................... 117
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 7
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 8
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Alguns fenômenos físicos intrigaram e permanecem intrigando o homem, 
tal como o comportamento de um pêndulo ou a variação de temperatura em 
uma chapa metálica. O estudo de tais fenômenos se deu com a introdução do 
cálculo pelas obras de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), época em que 
problemas mecânicos puderam ser modelados matematicamente. 
Em disciplinas na área de Ciências Exatas, tais como Física, Química e Ma-
temática e até mesmo em matérias da área de Humanas, como a Psicologia, 
é comum querermos descrever comportamentos e fenômenos, transcreven-
do-os em equações e modelos matemáticos ou lógicos. Esse modelamento se 
iniciou com a identifi cação dos fatores que infl uenciam o fenômeno, tais como 
pressão, temperatura e velocidade. No entanto, o modelo matemático pode 
conter tanto variáveis como suas derivadas, correspondendo a uma equação 
diferencial. 
Sendo assim, esse material foi desenvolvido com o objetivo de apresentar 
uma ferramenta da Matemática Moderna capaz de solucionar problemas que 
envolvem variáveis e suas variações instantâneas (derivadas) para um certo 
modelo matemático. Espero que esse conteúdo possa proporcionar um enri-
quecimento intelectual, resultando em novos conhecimentos úteis e ampla-
mente aplicáveis no âmbito profi ssional e social. 
Bons estudos!
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 9
Apresentação
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Especialmente à Esther Veiga, pelo companheirismo e apoio.
O professor João Pedro Marins Braga 
é engenherio mecânico pela Universida-
de Estadual Paulista Júlio de Mesquita 
Filho - UNESP (2016). Tem grande expe-
riência no ramo industrial, área na qual 
aplicou e desenvolveu diversos concei-
tos relacionados à engenharia e cálculo. 
Ministrou aulas nas disciplinas de Resis-
tência dos Materiais, Cálculo e Mecânica 
dos Fluídos. Trabalhou como pesquisa-
dor colaborador no Instituto Tecnológi-
co de Aeronáutica (ITA), desenvolvendo 
tecnologias ligadas à indústria 4.0. 
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/9361206223626794
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 10
O autor
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TEOREMAS DE 
GREEN, STOKES E 
SÉRIES DE POTÊNCIA
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Enunciar os teoremas de Green e Stokes;
 Conceituar a integração de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas no 
plano e no espaço;
 Apresentar os conceitos de séries de potência.
 Teorema de Green
 Definição
 Área de uma região
 Teorema de Green aplicado a 
outras regiões
 Teorema de Stokes
 Séries de potência
 Série geométrica
 Funções representadas por 
séries de potências e o teste da 
razão
 Convergência das séries de 
potências
 Séries de Taylor e Maclaurin
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 12
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Teorema de Green
Este teorema foi demonstrado por George Green em 1828, relacionando a 
integral de linha ao longo de uma curva fechada com a integral dupla corres-
pondente à área delimitada pela curva em questão. 
O teorema de Green, em suma, transforma integrais de linha de curvas fe-
chadas em um plano em integrais duplas. Geralmente, tal teorema é aplicado 
em integrais de linha extremamente complexas, de forma que tais integrais 
possam ser convertidas em integrais duplas mais simples de serem resolvidas.
Antes do teorema ser enunciado, alguns conceitos devem ser apresentados:
Seja um campo vetorial (velocidade de escoamento de um fl uido), tal que 
(x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) , a densidade de fl uxo do campo vetorial é dada 
como:
. def ∂f1
∂x
∂f2
∂y
+
Ainda, considerando o mesmo campo vetorial, tal que (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) , 
componente da densidade de circulação do campo vetorial, denominada como 
rotacional de , é dada por:
( . ). 
def ∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
As superfícies e curvas a serem consideradas em uma problemática podem 
ser apresentadas em forma de uma função, como por exemplo z = f(x, y). No en-
tanto, muitas vezes, é necessário parametrizar as superfícies e curvas de forma 
a uniformizar as variáveis para a realização de cálculos de integrais.
Dado um sistema de coordenadas no espaço e r uma superfície qualquer, a 
transformação de r = r(u, v) pode ser:
Deve-se levar em conta que os conceitos de continuidade, dife-
renciabilidade e limite de uma transformação vetorial são 
postos em termos das funções f, g e h. Por exemplo, a 
transformação vetorial será diferenciável se as funções 
f, g e h o são.
(u, v) = f(u,v) + g(u, v) + h (u, v) 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 13
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Embora a superfície esteja localizada no espaço (com três variáveis – x, y 
e z), sua representação pode ser dada em função de dois parâmetros, repre-
sentando todos pontos da superfície. 
Por exemplo, se:
(u, v) = u +v + (1- u2 - v2) ,
Logo, r transforma o círculo sólido D:
Na semiesfera de gráfico S:
Para entender um pouco melhor, verifiquemos, ao longo da unidade, alguns 
exemplos na prática.
Exemplo 1. 
A superfície S foi gerada pela revolução da curva C, no plano xz e em torno 
do eixo z. Sendo assim, determine uma representação paramétrica para a su-
perfície S:
1º passo: iremos obter uma parametrizaçãopara a curva C. Logo, iremos 
utilizar as seguintes equações:
2º passo: girar um ângulo denominado u, conforme mostra Figura 1, no 
sentido de x para y, para obter uma cópia de C, cuja parametrização em coorde-
nadas cilíndricas é igual a:
3º passo: chamamos x de r.cos ϴ e y de r.sen ϴ, logo:
D = {u2 + v2 ≤ 1} .
S = r(D) = {z = (1 - u2 - v2)}
x = g(v)
y = 0 
z = h(v)
v ∈ [a, b]
r = g(v), ϴ = u e z = h(v)
v ∈ [a, b] e u ∈ [0, 2π]
 (u,v) = (g(v) . cos(u)) + (g(v) . sen(u)) + h(v) ,
com (0 ≤ u ≤ 2π) e (a ≤ v ≤ b).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 14
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Constituindo uma representação gráfica da superfície S, observe que para 
as derivadas parciais de r em relação a u e v, temos:
e
Logo:
e:
Observamos que as curvas v = c2 e u = c1 (r (u, c2) e r(c1, v)) são ortogonais, 
conforme Figura 1, já que as curvas c2 são círculos paralelos centrados no eixo 
z e as curvas c1 são cópias de C no plano que contém o eixo z.
Exemplo 2. 
Realize a parametrização para uma superfície que é gerada pela revolução 
das retas z = x e y = 0 (ver Figura 2).
1º passo: parametrizar a reta.
∂r
∂u
= ∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u = (-g(v)sen(u), g(v)cos(u), 0)
∂r
∂v
= ∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v = (-g(v)sen(u), g(v)cos(u),0)
= 0∂r∂v
∂r
∂u
= (g(v)h’(v)cos(u))i + (g(v)h’(v)sen(u))j - (g(v)g’(v))k∂r∂v
∂r
∂u
Figura 1. Representação da superfície S. Fonte: STEWART, 2009. (Adaptado).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 15
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X = g(v), y = 0 e z = h(v) = v
v ∈ [0, b]
2º passo: determinar uma representação paramétrica vetorial para S.
Temos que:
Observamos que:
x = x(u, v) = v . cos(u)
y = y(u, v) = v. sen(u)
z = z(u, v) = v
Então:
x2 + y2 = z2, sendo que corresponde à equação cartesiana do cone.
(u, v) = (v.cos(u)) + (v . sen(u)) + (v)
Com (0 ≤ u ≤ 2π) e (0 ≤ v ≤ b)
= (v.cos(u))i + (v.sen(u))j - (v)k∂r∂v
∂r
∂u
Figura 2. Representação da superfície cônica. 
Exemplo 3. 
Dada uma esfera de centro na origem e raio p, determinar sua parametrização.
1º passo: obter a parametrização da semicircunferência no plano xz:
Z
K
Y
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 16
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x = g(φ) = p . senφ, y = 0 e z = h(φ) = p . cosφ 
Com φ ∈ [0,π].
2º passo: denotar a representação paramétrica vetorial para a superfície.
Com (0 ≤ ϴ ≤ 2π) e (0 ≤ φ ≤ π).
Então:
Desse modo, notamos que:
Logo, temos:
que equivale à equação cartesiana da esfera (Figura 3).
(ϴ, φ) = p . [(cosϴ.senφ) + (senϴ . senφ) + (cosφ) ]
- p2 [(cosθ . sen2φ)i + (senθ . sen2φ)j + (cosφ . senφ)k = - psenφr(θ, φ)∂r
∂v
∂r
∂u
x = x(θ,φ) = p . cosθ . senφ, y = y(θ,φ) = p . senθ . senφ), 
e z = z(θ,φ) = p . cosφ
x2 + y2 + z2 = p2,
Figura 3. Representação da superfície cônica. 
Definição
Dado um campo vetorial (x, y) = f1 (x, y) + f2 (x, y) e uma curva C sim-
ples e fechada, ou seja, uma curva que não se intercepta e é tocada por até 
dois pontos em qualquer reta do eixo x ou y, observe a Figura 4.
O P
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 17
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Figura 4. Curva simples fechada. Fonte: STEWART, 2009. (Adaptado).
O teorema de Green pode ser enunciado de duas formas. Primeiramente, 
em relação a uma curva fechada simples, o fluxo exterior de um campo vetorial 
corresponde à integral dupla do divergente sobre uma região D, ou seja:
A outra forma diz que a circulação anti-horária de um campo vetorial em 
uma curva simples e fechada corresponde à integral do rotacional do campo 
vetorial:
Exemplo 4. 
Dado o campo F = (x4) + (x . y) , e a curva C composta pelos pontos (0, 0), 
(1, 0) e (0, 1) no sentido anti-horário, calcule a integral de linha utilizando o 
teorema de Green:
 . nds = dxdy
c D
∂f1
∂x
∂f2
∂y
+
 . tds = dxdy
c D
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
α
y = g2(x)
y
y = g1(x)
P2(x, g2 (x))
P1(x, g1 (x))
x
x
R
b
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 18
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Figura 5. Curva simples fechada. 
Utilizando a fórmula 
 . tds = dxdy
c D
∂f2
∂x
∂f1
∂y- , tomando como base os limi-
tes de integração de x de 0 a 1, e y que varia de 0 a (1 - x), temos:
Seja a curva C definida por x2 + y2 = 1 (fluxo no sentido anti-horário) e o cam-
po = (y - ex2, 2x - ey2), calcule a integral de linha utilizando o teorema de Green:
∂f2
∂x
∂f1
∂y
= y = 0e
y - 0 dxdy = dx = = =
0 000 0 0
1 111 - x 1 - x 1 y2
2
(1 - x)2
2
-(1 - x)3
6
1
6
EXPLICANDO
A integral de uma função composta é obtida pela aplicação da regra da 
cadeia sobre tal integral:
=df
dx
df
dg
dg
dx
∂f2
∂x
∂f1
∂y
= 2 = 1e
Passando os limites de integração para coordenadas polares (raio variando 
de 0 a 1 e ângulo variando de 0 a 2π), temos:
y
x
(1,0)
(0,1)
(0,0)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 19
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DICA
A equação da curva corresponde a uma circunferência de raio igual a 1. 
Portanto, a integral dupla referente à sua área pode ser resolvida de forma 
simples pela equação:
Área = π . r2 = π . 12 = π
(1)r . dθdr = 2πr =dx = = π
0 000 0 0
1 112π
2π
1
rθ
2πr2
2
Área de uma região
O teorema de Green pode ser entendido como a área de determinada 
região D (ver Figura 6) toda vez que a condição a seguir seja satisfeita:
= 1
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
E o cálculo pode ser simplifi cado pela seguinte equação:
f1dx + f2dy
c
Figura 6. Curva fechada – circunferência de raio igual a uma unidade. 
Y
(0,1)
(1,0)(-1,0)
(0,-1) Região D
X
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 20
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 20 18/02/21 12:57
Teorema de Green aplicado a outras regiões
O teorema de Green é aplicado em curvas fechadas e simples. No en-
tanto, diversas curvas não se enquadram em tal classificação, e muitas 
vezes as retas dos eixos coordenados tocam mais de dois pontos da curva.
Figura 7. Curva que não atende os requisitos do teorema de Green. Fonte: STEWART, 2009. (Adaptado).
Uma forma para se resolver tal problema é traçar segmentos de reta que 
transformem uma curva fechada que não atende os requisitos em novas ou-
tras curvas, de forma que toda reta paralela aos eixos coordenados toquem a 
curva em no máximo dois pontos. Logo, o teorema pode ser aplicado à curva 
C1 com a reta AB, assim como as curvas C2 com os segmentos BD e com a cur-
va C3 com os segmentos BA e DB.
y
x
R
C
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 21
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Figura 8. Curva que não atende os requisitos do teorema de Green. Fonte: STEWART, 2009. (Adaptado).
Aplicando o teorema de Green a cada uma das novas regiões R1, R2 e R3 
formadas (ver Figura 8), temos:
No entanto, sabemos que:
Portanto, aplicando tais relações à somatória das regiões R1, R2 e R3, 
chegamos a:
f1dx + f2dy + f1dx + f2dy
R1 C1 AB
=
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
f1dx + f2dy + f1dx + f2dy
R2 C2 BD
=
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
f1dx + f2dy + f1dx + f2dy + f1dx + f2dy
R3 C3 BA DB
=
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
f1dx + f2dy = - f1dx + f2dy
AB BA
f1dx + f2dy = - f1dx + f2dy
BD DB
f2dx + f2dy =
C1∪C2∪C3 R1∪R2∪R3
∂f2 ∂f1
∂x ∂y
- dxdy
y
x
R
R3
C3
C1 C2
R1 R2
A
B
D
C
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 22
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 22 09/10/2019 10:00:18
Observamos que C1UC2C3 corresponde à curva C e que R1UR2UR3 cor-
responde à região R. Logo, concluímos que:
f1dx + f2dy =
C R
∂f2 ∂f1
∂x ∂y
- dxdy
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes generaliza vários teoremas do cálculo vetorial (dentre 
eles, o teorema de Green) e corresponde a uma afi rmação na geometria dife-
rencial sobre integração de formas diferenciais (integrais de superfícies). Dessa 
forma, possui grande importância no estudo de campos vetoriais, em especial 
na análise do movimento de rotação de fl uidos.
Além disso, o teorema de Stokes, de forma semelhante ao teorema de 
Green, transforma linhas de curvas fechadas no espaço em integrais de super-
fície, ou seja, o teorema de Stokes é uma forma de resolver integrais de linha 
no espaço tridimensional. Vimos anteriormente que o rotacional (densidade 
de circulação)é um vetor normal ao plano de circulação, em que sua direção 
satisfaz a regra da mão direita (regra de Fleming).
EXPLICANDO
A regra de Fleming é popularmente conhecida como a regra da mão 
direita devido ao uso da mão direita para orientar o sistema de coordena-
das tridimensional ortogonal padrão. Pode ser facilmente entendida com 
a adoção do dedo médio como eixo Y, dedo indicador como eixo X e o 
polegar correspondendo ao produto vetorial i x j = k.
Dado um campo vetorial tridimensional = f1 (x, y, z) + f2(x, y, z) + f2 (x, y, z) , o 
rotacional de tal campo corresponde a:
Ainda, o teorema de Stokes nos diz que determinado campo vetorial que se 
encontra ao longo de uma superfície S no sentido anti-horário, tomando como 
base o campo de vetores normais a S, deve corresponder à integral de superfí-
cie da normal do rotacional:
+ +. def ∂f3
∂y
∂f1
∂z
∂f2
∂x
∂f2
∂z
∂f3
∂x
∂f1
∂y
+ + +
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 23
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 23 09/10/2019 10:00:19
( . f ) . ndσ . dr =c
DICA
Se duas superfícies, S1 e S2, compartilham da mesma curva C, as integrais 
correspondentes ao componente normal relacionado ao campo vetorial 
que atravessa tais superfícies são iguais. Observe a fórmula:
( . f ) . ndσ = ( . f ) . ndσ
S1 S2
Exemplo 6. 
Dada a curva C, x2 + y2 = 4, e a superfície paraboloide S, z = 4 – x2 – y2, calcu-
le a integral para o campo vetorial = 2z + 3x + 5y utilizando o teorema de 
Stokes.
O rotacional pode ser calculado por:
em que f1 = 2z, f2 = 3x e f3 = 5y. Logo,
O vetor posição corresponde a (x, y) = (x, y, 4 - x2 - y2). Logo, ndσ correspon-
de a (rx . ry )dxdy.
A derivada do vetor posição em relação a x, portanto, é:
A derivada do vetor posição em relação a y, portanto, é:
Como o sentido da curva é anti-horário, temos a relação rx . ry :
Resultando em: 
+ +( . ) ∂f3
∂y
∂f1
∂z
∂f2
∂x
∂f2
∂z
∂f3
∂x
∂f1
∂y
+ - -
def
( . ) (5 - 0) + (2 - 0) + (3 - 0)def
rx = (1, 0, -2x)
ry = (0, 1, -2y)
rx . ry = 1 0 -2x
0 1 -2y
rx . ry = (2x, 2y, 1)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 24
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 24 09/10/2019 10:00:19
Logo, ( . f ) . ndσS , que corresponde a (
 . f ) . (rx . ry )dxdyS , pode ser escrita 
como:
Devemos parametrizar a integral da superfície em função do ângulo e raio. 
Sabemos que o raio da função x2 + y2 = 4 é igual a 2, conforme mostra a Figura 9.
( . f ) . (rx . ry )dxdy =S S S(5,2,3) . (2x, 2y, 1)dxdy = (10x + 4y + 3) . dxdy
Figura 9. Curva da função x2 + y2 = 4. 
Logo:
X = r . cosϴ
Y = r . senϴ
dxdy = rdr . dϴ
EXPLICANDO
Parametrizar é colocar as variáveis da curva, no caso as coordenadas x 
e y em função de parâmetros geométricos convenientes. Em relação ao 
círculo, as coordenadas x e y serão reescritas em função do ângulo e do 
raio que já é conhecido.
2
x
y
-2
21
1
-1
-1-2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 25
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 25 09/10/2019 10:00:19
(10 . r . cosϴ + 4 . r . senϴ + 3)rdr . dϴ
00
22π
Simplifi cando, chegamos a:
Podemos defi nir o teorema de Green como um caso particular do teorema 
de Stokes em duas dimensões. Além disso, já que se a curva C simples e lisa, é 
defi nida no plano xy e orientada no sentido anti-horário, sendo R a região de 
xy. O vetor normal a R é:
Logo, o teorema de Stokes para o caso bidimensional pode ser escrito como:
(10 . r2. cosϴ + 4 . r2 . senϴ + 3r)dr =
00
22π
dϴ
cosϴdϴ + senϴdϴ + 6 dϴ = 12π
0 0 0
2π 2π 2π80 32
3 3
0
2π
dϴ =+ +
0
210 . r3. cosϴ 4 . r3 . senϴ 3r2
3 3 2
 . dr 
c
 . f . n = x f . k =
∂f2
∂x
∂f1
∂y
-
 . dr =
c R
∂f2
∂x
∂f1
∂y
- dxdy
Séries de potência
Utilizada pela primeira vez por Isaac Newton em 1665, corresponde a uma 
série que depende de um parâmetro x:
∞
n = 0
S(x) = an (x - x0 )
n
Podemos considerar uma série de potências como uma série infi nita de po-
linômios, compartilhando muitas propriedades semelhantes aos polinômios. 
Dessa forma, é evidente a importância da série de potência quando pensa-
mos em suas funcionalidades, tais como encontrar aproximações de números 
irracionais como o π e o número de Euler, encontrar o resultado de integrais 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 26
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 26 09/10/2019 10:00:20
que não podem ser solucionadas de forma analítica e, principalmente, seu uso 
na resolução de equações diferenciais, especialmente no ramo da engenharia 
elétrica.
Considerando an com n ≥ 0, uma série de potências corresponde a:
Com coefi cientes an - n centrada em torno de xo.
∞
n = 0
= a0 + a1(x - xo ) + a2 (x - xo )
2 + ... + an (x - xo )
n + ...an (x - x0 )
n
Série geométrica 
Uma série muito importante que deve ser apresentada é a série geomé-
trica, definida como:
∞
n = 0
axn, com a ≠ 0
Logo, cada termo é exatamente igual ao termo anterior multiplicado por x, 
correspondente a uma progressão geométrica, sendo a soma de seus termos 
iguais a:
Multiplicando Sn por x, chegamos a:
Fazendo Sn - Sn.x, temos:
Isolando Sn, temos:
Devemos analisar o comportamento da série, já que é uma série infi nita. 
Logo, quando |x| < 1, xn → 0. Logo, quando n → ∞.
No entanto, se |x| > 1, xn → ∞, quando n → ∞, então a série diverge.
Sn = a + ax + ax2 +ax3 … axn - 1
 Sn.x = ax + ax2 +ax3 … axn - 1 + axn
Sn - Sn . x = a + ax + ax2 + ... + axn - 1 - (ax + ax2 + ... +axn)
Sn - Sn . x = (a - axn) 
Sn (1 - x) = a (1 - xn)
a(1 - xn)
(1 - x)Sn =
a
(1 - x)|x| < 1 → Sn →
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 27
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 27 09/10/2019 10:00:20
Funções representadas por séries de potência e o teste 
da razão
Uma das funções da série de potências é representar funções. Vimos ante-
riormente que a soma de uma série geométrica quando |x| < 1 é igual a:
1
(1 - x)
∞
n = 0
xn =
Portanto, isso signifi ca que temos a representação da função f(x) em uma 
série infi nita da soma dos termos, demonstrando uma das utilidades da série 
de potência: representar uma função.
Exemplo 7. 
Dada a função abaixo, escreva-a como série de potências:
Reescrevendo a função, temos:
Comparando a expressão com a função, temos:
Logo, em vez de x, temos x
2
-
O teste da razão é um teste feito para se analisar o crescimento ou decres-
cimento de uma série de potências. O teorema que defi ne tal teste e seus pa-
râmetros é:
Seja ∞n = 1 an uma série com termos positivos e supondo que:
I. Se L < 1
II. Se L > 1 ou L = ±∞, então a série diverge.
III. Se L = 1, nada pode ser afi rmada a respeito da convergência da série.
1
(2 + x)f(x) =
1
(2 + x)
1 11
2
1
2
= =(1 + ½) 1-(- ½)
1
1 - x
11
2
1
2=
x
2
-1-(- ½)
∞
n = 0
n
an + a = Lan
n → ∞
lim
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 28
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 28 09/10/2019 10:00:21
Convergência das séries de potências
Uma série é convergente quando sua somatória tende a um número conhecido.
Se a série de potência convergir para um número x1, sendo x1 ≠ 0, então a 
série convergirá para todo x no intervalo aberto de -|x1| a |x1|.
Para toda série de potências, existem apenas três possibilidades quanto à 
convergência da série:
I) A série converge apenas para x = 0;
II) A série converge para todo x real;
III) Existe um raio de convergência denominado R > 0, tal que a série conver-
ge para todo x no intervalo (-R, R), a série é divergente para todo |x| > R, sendo 
seus extremos convergentes ou não.
Exemplo 8. 
Encontrar os valores de x para que a série de potência seja convergente:
nxn
3n
∞
n = 0
Deve-se, portanto, utilizar o teste da razão para a verifi cação:
A série é convergente para a condição L < 1, logo:
O teste da razão prova que a série é divergente para L > 1 e convergente 
para L < 1. No entanto, para o caso de L = 1 (|x| = 3), não apresenta resultados 
conclusivos da convergência da série, devendo-se realizar outro teste para ve-
rifi car os pontos x = 3 e x = -3.
(n + 1)x . xn (n + 1)x . xn
3n + 1 3n3Un = Un + 1 = =e
nxn
3n
(n + 1)xn + 1
3n + 3 (n + 1)x
3nnx
n
3n
Un + 1L = = =Un
n → ∞ n → ∞ n → ∞
lim lim lim
=
x
nn → ∞
lim (n + 1)
n
= < 1 ≡|x|< 3
x
3
|x|
3n → ∞L =
lim (n + 1)n
=
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 29
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 29 09/10/2019 10:00:21
Para L = 1, x3 = 1, x = ± 3
Para x = 3, temos:
Para x = -3, temos:
Portanto, a série diverge nos pontos x = -3 e x = 3, e converge para o inter-
valo aberto (-3, 3).
Exemplo 9. 
Dada a série de potências abaixo, encontrar o intervalo de x em que a série 
é convergente.
Aplicando o teste da razão, temos:
E para Un + 1, temos: 
Chegando a:
nxn
3n
∞
n = 0
n3n
3n
∞
n = 0
n
∞
n = 0
n → ∞
lim = n = ∞= ==
n(-3)n
3n
∞
n = 0
n3n
3n
∞
n = 0
n
∞
n = 0
n → ∞
lim ((-1)nn) = ± ∞= ==
x2n - 1
(2n - 1)!
(-1)n + 1
∞
n = 1
x2n - 1
(2n - 1)!(-1)
n + 1Un =
x2n + 2 - 1 x2n - 1 x2
(2n + 2 - 1)! (2n + 1)!
Un + 1 = (-1)n + 2 = (-1)n + 1 (-1) =
x2n - 1 x2
(2n + 1)(2n)(2n - 1)!
(-1)n + 1 (-1)
1
2n(2n + 1) = |x
2|(0) = 0L = = |x2| = |x2| 
(-1)x2
2n(2n+1)n → ∞ n → ∞
lim lim
Un + 1L = L ==Un
n → ∞ n → ∞
lim lim
x2n - 1 x2
(2n + 1)(2n)(2n - 1)!
(-1)n + 1(-1)
x2n - 1
(2n - 1)!
(-1)n + 1
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 30
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 30 09/10/2019 10:00:22
Como podemos ver pela relação, para qualquer valor de x, L < 1, ou seja, a 
série é convergente no intervalo (-∞, +∞) de x.
Integração e diferenciação de série de potências 
As séries de potência são representações de funções, portanto, assim como 
as funções podem ser diferenciadas e integradas.
Se a série de potências é dada por: 
Então, podemos definir a função f(x) como:
Tal função é contínua e, portanto, diferenciável no intervalo (Xo – R, Xo + R). 
Logo, a derivada da função corresponde a:
E a integral de f(x):
Exemplo 10. 
Dada a série de potência abaixo, calcular sua integral.
Aplicando a derivada de f(x), chegamos a:
Quanto ao raio de convergência, podemos afirmar que para f(x) e sua deri-
vada f’(x), o raio de convergência continua o mesmo, logo, seja o raio de conver-
gência R, se R > 0, o raio da função é:
an(x - xo)n
∞
n = 0
an(x - xo)nf(x) =
∞
n = 0
n . an(x - xo)n - 1f’(x) =
∞
n = 0
anf(x)dx = c +
∞
n = 0
(x - xo)n - 1
n + 1
(-1)n
∞
n = 0
(x)2n
(2n)!
(-1)n = c + (-1)n
∞
n = 0
∞
n = 0
(x)2n
(2n)!
x2n - 1
(2n + 1)!
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 31
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 31 09/10/2019 10:00:22
an(x - xo)nf(x) =
∞
n = 0
Corresponde ao mesmo raio de sua derivada:
Exemplo 11. 
Verificar o raio de convergência para a série de potência, bem como sua 
respectiva derivada.
Usando o teste da razão, encontramos o raio de convergência da função 
original:
Aplicando o limite para a razão de 
Un
Un + 1, temos:
Resultando em:
Logo, o raio de convergência é igual a 1 para f(x). A seguir, iremos verificar o 
raio para sua derivada:
Usando o teste da razão:
n . an(x - xo)n - 1f’(x) =
∞
n = 0
xn
n2
f(x) =
∞
n = 0
xn
n2Un =
xn + 1
(n+1)2Un + 1 =
Un + 1L = = = = =Un
n → ∞ n → ∞ n → ∞ n → ∞
lim lim lim lim x
xn + 1
(n + 1)2
xn
n2
xn + 1n2
(n+1)2 xn
n2
n2 + 2n + 1
L = =n → ∞lim
1|x| 
1 + 2n
1
n2+
|x|< 1 
f’(x) = =
∞
n = 1
∞
n = 1
nxn - 1
n2
xn - 1
n
xn - 1
nUn =
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 32
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 32 09/10/2019 10:00:23
xn
(n+1)Un + 1 =
Un + 1L’ = = = = =Un
n → ∞ n → ∞ n → ∞ n → ∞
lim lim lim lim x
xn - 1
n
xn
xnn
(n+1)xn - 1
n
n + 1
(n+1)
L’ = =n → ∞lim|x| |x|< 1 
n
n+1
Dessa forma, o raio de convergência da derivada da função corresponde ao 
mesmo raio da função original.
Com |x - a| < R, e com raio de convergência R > 0, derivando os termos da 
série e chegamos em:
Considerando x = a nas equações, chegamos a:
Pode-se observar a relação:
Tal relação nos demonstra certo padrão nos termos da série obtidos, sendo 
eles:
Séries de Taylor e Maclaurin
São consideradas algumas prerrogativas para que uma função f tenha uma re-
presentação em série de potências. 
Considerando inicialmente uma função que possa ser representada por uma 
série de potências:
f(x) =
∞
n = 0
an(x - a)
n = a0 + a1 (x - a) + a2 (x - a)
2 + ... + an(x - a)
n
f'(x) = a1 + 2a2 (x - a) + 3a3 (x - a)
2 + ... + nan(x - a)
n-1
f’’(x) = 2a2 + 2 . 3a3(x - a) +3 . 4a4(x - a)
2 + ... + (n - 1)nan(x - a)
n - 2
f’’’(x) = 2 . 3a3 + 2 . 3 . 4a4(x - a) + 3 . 4 . 5a5(x - a)
2 + ... + (n - 2)(n - 1)nan (x - a)
n - 3
f'(a) = a1
f''(a) = 2!a2
f'''(a) = 3!a3
f n(a) = n!an
an = f
 n (a)/n!
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 33
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 33 09/10/2019 10:00:24
Logo, a série pode ser escrita em função dos seus termos:
Por definição, a série de Taylor é uma série gerada por f em x = a, sendo f 
uma função com a derivada de todas ordens em algum intervalo contendo a 
como um ponto interior.
A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, em que f é 
gerada em x = 0.
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (x - a)2 + ... + (x - a)n + ...
f’’(a) f (n)(a)
2! n!
∞
n = 0
(x - a)n = f(a) + f’(a)(x - a) +
f’’(a)(x - a)2 f (n)(a)(x - a)nf (n)(a)
2! n!n! + + ...
∞
n = 0
(x)n = f(0) + f’(0) +
f’’(0)(x)2 f (n)(0)(x)nf (n)(0)
n!n! +2! + ...
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 34
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 34 09/10/2019 10:00:24
Sintetizando
Nesta unidade, procuramos apresentar os conceitos fundamentais das 
equações diferenciais, o teorema de Green, o teorema de Stokes e séries de 
potências. 
Dentre as aplicações, podemos destacar o cálculo de área por meio do teo-
rema de Green, o cálculo de campos vetoriais tridimensionais pelo teorema de 
Stokes e a utilidade de se representar funções por séries de potências. 
Os objetivos pré-estabelecidos foram cumpridos ao enunciar os teoremas 
de Green e Stokes, determinando uma forma mais simples e prática de se cal-
cular integrais de linha complexas em campos vetoriais. Dessa forma, foi pos-
sível conceituar a integração de campos vetoriais ao longo de curvas fechadas 
no plano e no espaço. 
Além disso, tal conteúdo apresentou os conceitos de séries de potência e 
suas aplicações, evidenciando a importância das séries de potência como um 
método de representação de funções, dentre outras utilizações.
Os conceitos abordados nesse conteúdo permitem o cálculo de integrais de 
linha complexas em duas e três dimensões, além da aplicação dos conceitos 
de séries de potências por meio da aproximação de funções para séries de 
potências, integração e diferenciação de séries e, por fim, a apresentação das 
séries de Taylor e Maclaurin, amplamente usadas em cálculos das mais diver-
sas grandezas físicas. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 35
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 35 09/10/2019 10:00:24
Referências bibliográficas
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
GOLDSTEIN, L. J. et al. Calculus and its applications. 13. ed. Boston: Pearson, 
2014.
STEWART, J. Calculus early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson, 2009.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 36
SER_EQUADIF_UNID1_V1.indd 36 09/10/2019 10:00:24
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS DE 
PRIMEIRA ORDEM
2
UNIDADE
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 37 09/10/2019 10:04:48
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os conceitos básicos de equações diferenciais;
 Enunciar os principais tipos de equações diferenciais de primeira ordem;
 Demonstrar formas de resolução das equações diferenciais de primeira 
ordem.
 Concepção e classificação das 
equações diferenciais 
 Classificação pelo tipo
 Classificação pela ordem 
 Classificação pela linearidade
 Soluções de equações diferen-
ciais
 Equações diferenciais de primei-
ra ordem
 Equações diferenciais de pri-
meira ordem e primeiro grau 
 Variáveis separáveis
 Equações homogêneas
 Equações exatas
 Equações lineares
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 38
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 38 09/10/2019 10:04:48
Concepção e classificação das equações diferenciais
Geralmente, em problemas de cálculo anteriormente vistos, aprendemos 
que dada uma função f(x), temos a derivada da função:
f’(x) =
dy
dx
Tal derivada é calculada por regras e fórmulas já conhecidas, como por 
exemplo: se y = f(x) = ex2, sua derivada corresponde a f ’(x) + 2xex2 ou f ’(x) = 2xy.
No entanto, o tipo de problemaque abordaremos nesta unidade não é 
encontrar derivadas de funções conhecidas, mas sim dada uma equação, 
como:
= 2xy
dy
dx
Deve-se encontrar, de alguma forma, uma função f(x) que satisfaça a 
equação acima, ou seja, nessa unidade aprenderemos a resolver equa-
ções diferenciais.
Dentro de uma função há uma relação entre as variáveis com n constantes 
arbitrárias, denominada primitiva, por exemplo: y = x2 + Ax.
As constantes n, acima representada pela letra A, nos casos em que não se 
pode reduzir por uma constante de menor valor, são chamadas de essenciais. 
De maneira geral, uma primitiva com n constantes procederá uma equação 
diferencial de ordem n e livre de constantes arbitrárias.
Exemplo 1.
A condição para a criação de uma determinada curva está defi nida na con-
dição de que todos os pontos (x, y) da curva tenham a inclinação do ponto, ou 
seja, a derivada (dx/dy), igual ao dobro da soma das coordenadas. Observando 
a Figura 1, podemos ver a demonstração da condição de criação por meio das 
equações diferenciais.
A equação corresponde a:
= 2 (x + y)
dy
dx
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 39
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 39 09/10/2019 10:04:48
Y
X
P(x,y)
Figura 1. Representação da curva da equação.
Exemplo 2. 
Dada uma curva construída a partir da condição de que a soma dos seg-
mentos determinados sobre os eixos x e y, pela tangente à curva, constante e 
igual a 2 em qualquer ponto.
Vejamos, então, como equacionar a condição da curva utilizando uma equa-
ção diferencial:
A tangente da curva no eixo cartesiano é:
Y - y = (X - x)
dy
dx
Os segmentos determinados são:
X = x - y Y = y - xe 
dy
dx
dy
dx
Portanto, a equação diferencial considerada é igual a:
X + Y = x - y + y - x = 2
dx
dy
dy
dx
Multiplicando tudo por (dy/dx) e por -1:
x
2
- (x + y - 2) + y = 0
dy
dx
dy
dx
Exemplo 3. 
Uma indústria que produz açúcar está testando seu produto e chega à con-
clusão de que 100 gramas de açúcar é transformado em dextrose em uma taxa 
diretamente proporcional à quantidade que não foi transformada.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 40
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 40 09/10/2019 10:04:48
Vejamos como especificar a fórmula (equação diferencial) que entrega 
como resultado a razão de transformação após t minutos:
Considerando que G é a quantidade de gramas de açúcar convertido em 
dextrose, logo (100 – G) corresponde à quantidade não transformada. Conside-
rando ainda uma constante de proporcionalidade k, temos:
= k (100 - G)
dG
dt
Exemplo 4. 
Considerando o movimento de uma partícula de massa m que se movimen-
ta ao longo de uma reta (eixo x) sob a ação de duas forças. 
A primeira resistente à velocidade empregada e a segunda proporcional ao 
deslocamento a partir de um ponto fixo que chamaremos de origem e direcio-
nada ao mesmo ponto de partida, ou seja, uma força contrária ao deslocamen-
to. Vejamos como transcrever o fenômeno físico em uma equação diferencial:
A primeira força pode ser expressa como uma força contrária ao desloca-
mento e proporcional à distância percorrida, como por exemplo, o que ocorre 
quando um corpo é ligado a uma mola de constante k e essa mola é alongada 
uma certa distância x:
Força f1 = -k1.x
A segunda força pode ser entendida como uma força contrária à velocidade, 
como por exemplo, o que ocorre com um amortecedor, ou seja: 
Força f2 = -k2
dx
dt
Figura 2. Representação das forças envolvidas no movimento do corpo.
Y
f2
f1
m
x
m.a
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 41
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 41 09/10/2019 10:04:49
Aplicando a somatória de forças chegamos a:
m -k1x - k2=
d2x dx
dt2 dt
Dado os conceitos iniciais e alguns exemplos de modelamento e concep-
ção das mesmas, podemos observar que há inúmeras formas de concepção e, 
portanto, tais equações devem ser classifi cadas, seguindo os parâmetros, de 
acordo com: tipo, ordem e linearidade.
Classificação pelo tipo 
Caso uma equação diferencial possua somente derivadas ordinárias, de 
uma ou várias variáveis dependentes em relação a uma única variável depen-
dente, a mesma é denominada equação diferencial ordinária (EDO).
EXPLICANDO
Equação diferencial ordinária é uma equação que envolve uma ou várias 
derivadas de uma só variável independente, por exemplo, seja y uma 
função de x então, uma EDO é uma equação que envolve:
x, , , ...
dx
dy
d2x
dy2
Exemplo 5. 
Equações que contêm derivadas de uma só variável independente são de-
nominadas equações diferenciais ordinárias, como visto abaixo:
(y - x)dx + 4xdy = 0
- 5y = 1
dy
dx
- 2 + 6y = 0
dy
dx
d2y
dx2
= x
du
dx
dv
dx
-
Exemplo 6. 
Equações que contém derivadas de duas ou mais variáveis independentes 
são denominadas equações diferenciais parciais (EDP), como visto abaixo:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 42
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 42 09/10/2019 10:04:49
= -
∂2u
∂x2
∂2u
∂t2
∂u
∂t
= -
∂u
∂y
∂v
∂x
+ y = ux
∂u
∂x
∂u
∂y
Classificação pela ordem
A ordem de uma equação diferencial é igual a ordem da derivada de maior 
ordem na equação, como por exemplo:
+ 5 - 4y = ex
3
d2y
dx2
dy
dx
Segunda ordem Primeira ordem
Tal equação corresponde a uma equação diferencial de segunda ordem.
Dada as EDOs abaixo, vamos classifi ca-las acordo com sua ordem:
4x + y = x
dy
dx
Equação diferencial ordinária de 1ª ordem:
x2
4
+ 2 = 0
dy
dx
dy
dx
Equação diferencial ordinária de 2ª ordem:
y2
4
+ = 0
d3y
dx3
d2v
dx2
Como as equações diferenciais parciais demandam um conhecimento 
aprofundado sobre as equações diferencias ordinárias, as mesmas serão 
apresentadas primeiramente a fi m de gerar um conhecimento prévio e uma 
boa base teórica.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 43
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 43 09/10/2019 10:04:49
Uma equação diferencial pode ser apresentada da seguinte forma:
F x, y, , ... = 0
dy
dx
dny
dxn
Tomando tal representação como exemplo, veremos outro tipo de classifi -
cação das equações diferenciais.
Classificação pela linearidade
Uma equação diferencial é classifi cada como linear quando se pode escre-
ve-la tal como:
an (x) + an-1 (x) + ... + a1 (x) + a0(x) y = g(x)
dny
dxn
dy
dx
dn-1y
dxn-1
Pode-se observar que as equações lineares têm algumas características 
marcantes, que são:
• A variável dependente y e suas respectivas derivadas correspondem a ter-
mos do primeiro grau, ou seja, os termos envolvendo y são iguais a 1;
• Todo coefi ciente depende exclusivamente de x (variável independente).
Obviamente, quando a equação diferencial não atende tais condições, a 
mesma é denominada como equação não linear.
Agora veremos a classifi cação de algumas equações de acordo com seu 
tipo, ordem e linearidade:
a) Equação diferencial ordinária, linear de primeira ordem:
 xdy + ydx = 0
b) Equação diferencial ordinária, linear de segunda ordem:
y” - 2y’ + y = 0
c) Equação diferencial ordinária, linear de terceira ordem:
x3 -x2 + 3x + 5y = ex
d3y
dx3
d2y
dx2
dy
dx
d) Equação diferencial ordinária, não linear de segunda ordem:
yy” - 2y’ = x
Coef. depende de y
e) Equação diferencial ordinária, não linear de terceira ordem:
Potência ≠ 1
+ y2 = 0
d3y
dx3
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 44
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 44 09/10/2019 10:04:49
Soluções de equações diferenciais
O principal objetivo de tal conteúdo é elucidar ou encontrar formas 
de se resolver equações diferenciais. Logo, dada uma função f definida 
em um intervalo x, tal que, quando inserida na equação diferencial, reduz 
a equação a uma identidade, definida como solução para a equação no 
intervalo correspondente.
EXPLICANDO
Tal termo quer dizer que quando a função f é substituída na equação 
diferencial temos uma satisfação da equação com a inserção da função, 
como, por exemplo, dada uma equação diferencial ordinária F(x, y, y’, ..., 
yn) = 0, se f for uma solução para a equação diferencial, então f irá satisfa-
zer: F(x, f(x), f’(x), ..., fn(x)).
 Dada a equação não linear abaixo, podemos verifi car se y = x4/16 é uma solu-
ção para a equação diferencial:
= xy1/2
dxdy
No intervalo (-∞, +∞):
Uma forma de se verifi car se a função é uma solução é escrever a equação 
diferencial na seguinte forma:
= xy = 0
dy
dx
1
2
E em seguida verificar se a função, após ser inserida na equação acima, 
tem a subtração zero para todo x especificado no intervalo, assim, se y = x4/16,
temos:
= 4 =
dy
dx
x3
16
x3
4
E:
y1/2 = =
x4
16
x2
4
1/2
Portanto:
x3
4
x3
4
x3
4
x4
16
-xy -x -= = = 0
dy
dx
1
1
2
2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 45
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 45 09/10/2019 10:04:49
Logo percebemos que o resultado é zero para qualquer x no intervalo (-∞, +∞).
Vejamos mais um exemplo:
Dada a equação linear abaixo, vamos verificar se y = xex é uma solução para 
a equação diferencial, no intervalo (-∞, +∞):
- 2 + y = 0
d2y
dx2
dy
dx
Para fazer a verificação, devemos calcular:
- xex + ex
dy
dx
E: d2y
dx2
= xex + 2ex
Logo: d2y
dx2
dy
dx
- 2 + y = (xex + 2ex) - 2(xex + ex) + xex = 0
Assim, notamos que a equação é igual a zero para qualquer valor de x no 
intervalo (-∞, +∞).
DICA
Notamos que no exemplo acima a função y = 0 também corresponde a 
uma solução para a equação diferencial. Uma solução identicamente nula 
para uma equação diferencial em um determinado intervalo é denominada 
solução trivial.
As soluções de equações diferenciais podem ser divididas em soluções im-
plícitas ou explícitas, dessa forma, uma solução para uma equação diferencial 
pode ser escrita na forma y = f(x), chamada de explícita e podemos chamar G(x, 
y) de solução implícita de uma equação diferencial ordinária, em determinado 
intervalo, se a função determina uma ou mais soluções explícitas dentro do 
intervalo em questão.
Agora, considerando o intervalo (-2 < x < 2), vejamos como podemos veri-
ficar se x2 + y2 – 4 = 0 constitui uma solução implícita para a seguinte equação 
diferencial:
= -
dy
dx
x
y
Temos que:
(x2) + (y2) - (4) = 0
d
dx
d
dx
d
dx
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 46
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 46 09/10/2019 10:04:49
Logo:
2x + 2y = 0 ou = -
dy
dx
dy
dx
x
y
Portanto, a equação se x2 + y2 – 4 = 0, traz consigo duas funções y = √4 - x2 e 
y = -√4 - x2 no intervalo (-2 < x < 2). 
Há também as particularidades no número de possíveis soluções de uma 
equação diferencial já que esta pode possuir um número infinito de soluções. 
Podemos verificar tal fato analisando, por exemplo, a função y = cex2. Em que 
c é uma incógnita arbitrária que satisfaz a equação diferencial e c = 0 corres-
ponde à solução trivial da equação (ver Figura 3).
C>0
C<0
C> = 0
y
Figura 3. Inúmeras soluções de acordo com o parâmetro C.
Para seguirmos com nossos estudos, vamos verificar se a função y = c/x + 1 
é solução para a equação diferencial abaixo no intervalo (0, ∞):
+ y = 1x
dy
dx
Logo:
= c (x-1) + (1) = -cx-2 = -
dy
dx
d
dx
d
dx
c
x2
Portanto:
+ y = x = 1-x + + 1
dy
dx
c
x2
c
x 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 47
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 47 09/10/2019 10:04:49
Observa-se que variando o parâmetro c chegamos a inúmeras soluções e, 
em particular, fazendo c = 0 chegamos à solução constante y = 1 (veja a Figura 4).
Há casos em que se somando soluções podemos chegar a outras soluções 
para a mesma equação diferencial.
C>O
y
C = O
C<O
Figura 4. Inúmeras soluções de acordo com o parâmetro C.
Partindo para outro exemplo, dada a equação diferencial xy’ – 4y = 0, veja-
mos como verificar se = c/x + 1 é solução para a equação diferencial abaixo no 
intervalo (0, ∞):
Devemos calcular, então:
x - 4y = x(4cx3) - 4cx4 = 0
dy
dx
Logo, constituindo uma solução no intervalo (-∞, +∞) (ver Figura 5).
A função definida por partes também é uma solução, variando conforme os 
parâmetros c e x (ver Figura 6):
y = -x
4, x < 0
x4, x > 0
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 48
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 48 09/10/2019 10:04:49
y
C = 1
C = -1
y
C = 1, x≥0
C = -1, x<0
Figura 5. Soluções de acordo com o parâmetro C.
Figura 6. Solução função definida por partes.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 49
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 49 09/10/2019 10:04:49
Equações diferenciais de primeira ordem
Supondo que há a necessidade de se resolver a equação diferencial de pri-
meira ordem y’ = f(x,y). Sujeita à condição y(x0) = y0, em que x0 é um número 
dentro do intervalo considerado, e a variável y0 é um número arbitrário. Logo:
dy
= f(x,y)
dx
Sujeito a: y(x0) = y0.
Tal problemática é denominada problema de valor inicial em que estamos 
procurando uma solução em um determinado intervalo L (ver Figura 7), tal que 
o gráfi co da solução passe por um ponto (xo, yo).
Y
L
x
(Xo,Yo)
Figura 7. Problema do valor inicial.
Agora, partiremos para outro exemplo:
Dado que y = cex constitui uma família de soluções para y’ = y no intervalo 
(-∞, +∞), se por exemplo, escolhermos um ponto tal como y(0) = 3, fazendo x = 0 
e y = 3, chegamos em: 3 = ce0 = c.
Portanto, a função é determinada como: y = 3ex.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 50
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 50 09/10/2019 10:04:49
y
x
y
y = 3e x
y = 3e x-1
(1, 3)(0, 3)
c > 0
c < 0
Figura 8. Gráfico da solução y = cex. Fonte: ZILL; CULLEN, 2001.
Neste caso, buscamos uma solução que passasse pelo ponto (0, 3), mas 
também poderíamos escolher o ponto (1, 3), por exemplo, ficando: c = 3e-1. 
Logo, a função fica definida como: y = 3ex-1 também indicado no gráfico da 
Figura 8.
No entanto, primeiramente deseja-se saber se existe uma solução para 
um dado problema, e se caso existir, se esta solução é única. O teorema de 
Picard (ver Figura 9) resulta na condição de existência de soluções e unici-
dade das mesmas:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 51
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 51 09/10/2019 10:04:49
Figura 9. Ilustração do teorema de Picard.
Y
d
c
XO, YO
a L b x
EXPLICANDO
O teorema de Picard diz que:
Se uma região R, retangular no plano cartesiano, defi nida em (a ≤ x ≤ b) 
e (c ≤ y ≤ d), contendo o ponto (X0, Y0) em seu interior, se a função f(x, y) 
e ∂f/∂y são contínuas em R, logo existe um intervalo L, centrado em X0, e 
uma única função y(x) defi nida no intervalo que satisfaz o problema de 
valor inicial.
Equações diferenciais de primeira ordem e primeiro grau
Uma equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau pode ser 
escrita da seguinte forma:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Vejamos, então, como reescrever as equações diferenciais abaixo no 
formato M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0:
dy y + x
+ = 0( )dx y - x
O modo correto de reescrever essa equação é: (y+x) dx + (y-x) dy = 0.
dy
= 1 + x2 y
dx
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 52
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 52 09/10/2019 10:04:50
O modo correto de reescrever essa equação é: (1 + x2y)dx – dy = 0.
Se a soma de M(x, y) com N(x, y) for igual a diferencial total de uma equação 
t(x, y), logo tal equação é denomina equação diferencial exata e t(x, y) = C, que 
é igual a sua solução geral.
Agora, vamos verifi car se M(x, y) + N(x, y) = t(x, y) para a seguinte equação:
3x2y2dx + 2x3ydy = 0
Integrando M em relação a x, temos:
3x2y2dx = x3 y2∫
Integrando N em relação a y, temos:
2x3ydx = x3y2∫
Portanto, (x3 y2) corresponde à solução geral.
Variáveis separáveis
As variáveis separáveis estão entre as equações diferenciais mais simples 
de serem resolvidas, dado uma função g(x), tal que:
dy
= g(x)
dx
A equação pode ser simplesmente resolvida por integração, assim:
g(x)dx + cy =∫
Para as equações diferenciais abaixo, aplicaremos o método de solução das 
variáveis separáveis.
dy
= 1 + e2xa)
dx
dy
= sen(x)b)
dx
a) Utilizando o método das variáveis separáveis, temos a aplicação da 
integral:
(1+e2x)dx = x +y =∫ 1 e2x + c2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 53
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 53 09/10/2019 10:04:50
b) Seguindo o mesmo raciocínio, temos:
sen(x)dx = -cos(x) + cy =∫
Para a equação diferencial abaixo, aplica-se o método de solução das variá-
veis separáveis e resolver o problema de valor inicial y(4) = -3.
dy x
= -
dx y
Modificando a equação, chegamos em:
y dy = -x dx
Assim, temos que chegar a:
y dy = - x dx∫ ∫
Que resultaem:
y2 x2
= - + c2 2
Reescrevendo a solução, chegamos em x² + y² = c². Tal equação representa 
um gráfico de círculos concêntricos (ver Figura 10), assim, substituindo os valo-
res, temos x = 4 e y = -3, assim o problema determina que 4² + 3² = c² = c = 5. Ou 
seja, um círculo de raio igual a 5.
y
x
(4,-3)
Figura 10. Gráfico do resultado – círculos concêntricos. Fonte: JÚNIOR, 1959.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 54
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 54 09/10/2019 10:04:50
Equações homogêneas
A função homogênea é defi nida como: f(tx, ty) = tnf(x, y). Portanto, defi nimos 
tal função como homogênea de grau n, seja n um número real. Para a resolução 
de tal equação, consideramos M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, aplicando uma substitui-
ção algébrica y = ux ou x = vy. Levando em consideração que u e v são novas va-
riáveis independentes, tal substituição resultará em uma equação de primeira 
ordem separável, como por exemplo, fazendo y = ux, logo sua diferencial é dy = 
udv + xdu, então: M (x, ux) + N(x, ux) [udx + xdu] + 0. 
Tomando como partida a propriedade de homogeneidade, temos: f(tx, ty) = 
tn f(x, y). Temos que considerar: xnM (1, u) dx + xnN (1, u) [udx + udx] = 0. Rearran-
jando, chegamos em: [M(1, u) + uN(1, u]dx + xN(1, u)du = 0
Por fi m:
dx N(1,u)du
+ = 0
x M(1,u)+uN(1,u)
Agora, vejamos como classifi car as equações abaixo de acordo com a condi-
ção de homogeneidade e quanto ao grau de cada uma.
a) f(x,y) = x2 - 3xy + 5y2
c) f(x,y) = x3 + y3 + 1
b) f(x,y) = x2 + y23
a) Fazendo f(tx, ty), temos:
f(tx,ty) = (tx)2 - 3(tx)(ty) + 5(ty)2 = 
f(tx,ty) = t2x2 - 3t2xy + 5t2y2 = 
f(tx,ty) = t2(x2 - 3xy + 5y2) = t2f(x,y)
Logo a função é homogênea de grau 2.
b) Aplicando f(tx, ty), chegamos em:
f(tx,ty) = 3 t2x2 + t2y2 =
f(tx,ty) = t2/3 3 x2 + y2 = t f(x,y)3
2
A função é homogênea de grau 2/3.
c) Utilizando o mesmo raciocínio, temos: 
f(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 + 1
f(tx,ty) = t3x3 + t3y3 + 1
Portanto, como podemos notar, a função não é homogênea, já que t3f(x,y) 
= t3x3 + t3y3 + t3.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 55
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 55 09/10/2019 10:04:50
Agora, vamos calcular a equação diferencial homogênea utilizando o méto-
do de resolução de equações homogêneas, considerando a seguinte equação: 
(x² + y²) dx + (x² - xy)dy = 0. 
Já que M(x, y) e N(x. y) são homogêneas de grau dois, temos que considerar 
Y = ux, e logo teremos: (x² + u²x² )dx + (x² - ux²)[udx + xdu] = 0. Reagrupando a 
equação ficamos com:
x² (1 + u)dx + x³ (1 - u)du = 0
Então: 1 - u dxdu + = 01 + u x
- 1 + dxdu + = 01 + u
2
x[ [
Após a integração, temos que:
-y y
+ 2ln 1 + + ln|x|= ln|c|
x x
Podemos reescrever a equação usando as propriedades logarítmicas:
(x + y)2 yln =
cx x
Chegando ao resultado final, que é: (x + y)2 = cxey/x
Agora, iremos resolver a equação abaixo utilizando o método de resolução 
de equações homogêneas:
2( )xy - y dx - xdy = 0 
Os coeficientes M e N são homogêneos de grau um, logo y = ux, e a equação 
então se torna igual a: du du+ = 02 - 2u1/2 x
DICA
A integral do primeiro termo pode ser calculada mais facilmente, fazendo 
t = u1/2. 
Realizando a substituição, temos:
dt dx
+ = 0 
t - 1 x
Finalmente integramos e chegamos em:
ln t - 1 + ln|x|= ln|c|
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 56
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 56 09/10/2019 10:04:50
Lembrando que t = u1/2 e u = y/x, então temos:
yln + ln|x|= ln|c|- 1
x
Chegamos no seguinte resultado:
x
x y -1 = c( )
xy - x = c
Uma das dúvidas que pode surgir nesse momento é o questionamento de 
quando se deve substituir x = vy. Embora tal substituição possa ser feita em 
qualquer equação diferencial homogênea, na prática nós a utilizamos sempre 
que a função M(x, y) é mais simples que N(x, y).
Equações exatas
Uma equação diferencial é dita exata quando pode ser escrita na forma: 
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e também na condição:
∂M ∂N
= 
∂y ∂x
Deve ser verdadeira, ou seja, é separável e homogênea, por exemplo: a 
equação Ydx + xdy = 0 é separável e homogênea, mas também podemos perce-
ber que ela é igual ao diferencial do produto xy, ou seja, d(xy) = ydx + xdy. Dada 
uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, 
então sua diferencial total é igual a:
∂f ∂f
dz = dx + dy 
∂x ∂y
Supondo que f(x, y) = c, logo sua diferencial total é igual a zero, ou seja:
∂f ∂f
dz = dx + dy = 0
∂x ∂y
Logo, dada uma família de curvas f(x, y) = c é possível gerar uma equação 
diferencial de primeira ordem apenas calculando sua diferencial total. Para se 
resolver as equações exatas, deve-se seguir alguns passos lógicos, que vere-
mos logo abaixo. 
Dada uma certa equação M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 57
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 57 09/10/2019 10:04:50
Deve-se primeiro provar primeiro que:
∂M ∂N
= 
∂y ∂x
Depois faça que:
∂f
= M(x,y)
∂x
Após isso, é possível encontrar a função f, integrando M(x, y) em relação a 
x, considerando o y como constante, logo: f(x,y) = ∫M(x,y)dx + g(y) em que g(y) é 
uma constante de integração. A partir daí, deriva-se a integral em relação a y e 
se considera que:
∂f
= N(x,y)
∂y
Logo:
∂f ∂
= M(x,y)dx + g’(y) = N(x,y)
∂y ∂y∫
E, na sequência:
∂
g’(y) = N(x,y) - M(x,y)dx
∂y∫
Por fim, integrando a equação acima em relação a y, e substituindo na pe-
núltima equação demonstrada, chegamos ao resultado: F(x, y) = c.
Agora, veremos como calcular determinada equação utilizando o método 
de resolução de equações diferenciais exatas. 
A equação usada como exemplo será: 2xy dx + (x² - 1)dy = 0.
Primeiramente nomeamos os termos M e N:
M(x, y) = 2xy e N(x, y) = x2 – 1.
Em seguida, verificamos as condições de derivadas parciais de M e N:
∂M ∂N
= 2x =
∂y ∂x
Portanto, f(x, y) é exata e existe uma função f(x, y) tal que:
∂f ∂f
= 2xy e = x2 - 1
∂x ∂y
Integrando a primeira equação acima, chegamos em f(x, y) = x²y + g(y).
Derivando tal expressão e igualando a mesma ao valor de N(x, y) che-
gamos em:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 58
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 58 09/10/2019 10:04:50
∂f
= x2 + g’(y) = x2 - 1
∂x
Logo, chegamos a: g’(x) = -1 e g(x) = -y 
A solução geral encontrada, portanto, é x²y – y = c. Observe a Figura 11.
c = 1 c = 1
c = 1
c = -1
y = 0
c = -1
c = -1y
x
Figura 11. Gráfi co da equação diferencial exata. Fonte: ZILL, 2001.
Equações lineares
Uma equação é denominada linear quando:
dy
a1(x) + a0(x)y = g(x)dx
Porém, sua forma mais usual é obtida quando se divide todos termos por 
a1. Então, considerando:
dy
+ P(x)y = f(x)
dx
Podemos reescrever tal expressão tal como: dy + [P(x)y – f(x)]dx = 0.
Tais equações têm como característica a possibilidade de encontrar uma 
função µ(x), tal que:
μ(x)dy + μ(x)[P(x)y - f(x)]dx = 0 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 59
SER_EQUADIF_UNID2_V1.indd 59 09/10/2019 10:04:50
Logo, a equação acima é exata se:
∂ ∂ dμ
μ(x) = μ(x)[P(x)y - f(x)] ou = μP(x)
∂x ∂x dx
Logo, constituindo uma equação separável em que podemos determinar o 
termo µ(x): ∂μ
= P(x)dx
μ
Ou seja:
ln|μ|=
μ(x) = e∫P(x)dx
P(x)dx∫
O termo μ(x) é denominado fator de integração. Utilizando o método de 
resolução de equações lineares, vejamos como resolver a seguinte equação:
dy
x - 4y = x6ex
dx
Primeiramente deixamos a equação na forma convencional, isolando o dy/dx:
dy 4y
- = x5ex
dx x
Nesse passo, devemos calcular o fator de integração, levando em conside-
ração que P(x) = -4/x:
e-4∫dx/x = e-4 ln|x = x-4
Agora multiplicando por dy 4y- = x5ex
dx x
, chegamos a:
dy
x-4 - 4x-5y = xex
dx
Resultando em:
d
(x-4y) = xex
dx
Resolvendo por integração por partes, chegamos no resultado y = x5 ex – 
x4ex + cx4.
Por fim, veremos como resolver a equação dy/dx -3y = 0, utili-
zando a forma convencional de resolução de equações 
diferenciais lineares.
Como a equação já está reduzida, podemos cal-
cular o fator de integração: e∫-3 dx = e-3x.
Dessa forma, temos que calcular:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 60
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dy
e-3x - 3e-3xy = 0
dxd [e-3xy] = 0
dx
Portanto,chegamos no resultado final:
e-3xy = c
y = ce3x
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 61
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Sintetizando
Nesta unidade, procuramos apresentar os conceitos fundamentais das 
equações diferenciais, enunciar as formas de classificações, bem como apre-
sentar algumas equações importantes que estão presentes na modelagem dos 
mais diversos fenômenos. Dentre as inúmeras aplicações, podemos destacar o 
cálculo de fenômenos físicos das mais variados da natureza, como o movimen-
to de uma massa associada a uma mola e amortecedor. 
Os objetivos pré-estabelecidos foram cumpridos, já que logo inicialmen-
te foi possível apresentar os conceitos básicos de equações diferenciais, bem 
como identificar e classificar tal tipo de equação. Ao longo do conteúdo, pode-
mos ter o conhecimento acerca dos principais tipos de equações diferenciais 
de primeira ordem e demonstrar formas de resolução das equações diferen-
ciais de primeira ordem. Os conceitos abordados nesse conteúdo permitem o 
cálculo de equações diferenciais exatas, homogêneas, separáveis, lineares, etc. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 62
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Referências bibliográficas
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson, 2012. 
GOLDSTEIN, L. J. Calculus and its applications. 13. ed. Boston: Pearson, 2014.
JÚNIOR, F. A. Equações diferenciais. Nova York: McGraw-Hill, 1959.
STEWART, J. Calculus early transcendentals. 6. ed. Belmont: Thomson, 2009.
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson, 2001.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 63
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EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS DE 
PRIMEIRA ORDEM 
E EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS LINEARES 
DE ORDEM SUPERIOR
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Aprofundar conceitos acerca das equações 
diferenciais de primeira ordem;
 Apresentar e desenvolver soluções das 
equações diferenciais lineares de ordem superior;
 Verificar algumas das aplicações das equações 
diferenciais lineares de ordem superior.
 Equações diferenciais de pri-
meira ordem
 Equação de Bernoulli
 Equação de Ricatti
 Equação de Clairaut
 Método da substituição
 Aplicações das equações de 
primeira ordem
 Equações diferenciais lineares 
de ordem superior
 Conceitos iniciais
 Dependência e independência 
linear
 Wronskiano
 Soluções para equações dife-
renciais lineares
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 65
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Equações diferenciais de primeira ordem 
Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem corresponde a uma 
equação que se evidencia por:
= f(y,x)dydx
Onde f(y, x) corresponde a uma equação qualquer, e a incógnita é a função y(x).
O problema pode ser denominado sistema autônomo de primeira ordem, caso 
a função f(y, x) não dependa explicitamente da variável independente x, e a 
equação possa ser escrita da seguinte forma:
= f(y)dydx
Nos tópicos a seguir, iremos apresentar três equações clássicas: as equa-
ções de Bernoulli, de Ricatti e de Clairaut, além de métodos de substituição, 
para simplifi cação e resolução de equações complexas, e aplicações práticas 
das equações diferenciais de primeira ordem.
Preparado, leitor? Então vamos lá!
Equação de Bernoulli
Em primeiro lugar podemos tomar a equação de Bernoulli que, com as de-
vidas considerações, se torna uma equação diferencial linear.
Temos, portanto, a seguinte equação:
+ P(x)y = f(x)yn (I)dydx
Quando n é um número real qualquer, tal equação é conhecida como equa-
ção de Bernoulli. Ela corresponde a uma equação linear para n = 0 e n = 1. No 
entanto, se y ≠ 0, a equação de Bernoulli pode ser escrita, por conseguinte, assim:
+ P(x)y1-n = f(x)dydxy
-n
É importante fazer a seguinte consideração:
w = y1-n 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 66
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Tal consideração nos leva, a partir daí, a representar a equação como:
= (1 - n)y-ndwdx
dy
dx
Com isso, chegamos à equação linear:
+ (1 - n)P(x)w = (1 - n)f(x) (II)dwdx
Resolvendo a Equação (II) e considerando w = y1-n, chegamos em uma solu-
ção para a Equação (I).
Vejamos agora o seguinte exemplo, para entender de maneira concreta a 
aplicação de tais conceitos:
Exemplo 1.
Dada a equação de Bernoulli abaixo, como seria possível resolvê-la, usando 
as devidas considerações?
+dydx
1
x y = xy
2
Observamos que P(x) = 1/x, f(x) = x e n = 2. Assim, consideramos que w = 
y-1. Portanto:
-dwdx
1
x w = -x
Calculando o fator de integração, temos:
e-∫dx/x = e-ln|x| = eln|x|-1 = x-1
Logo, constatamos que:
[x-1w] = -1ddx
Realizando a integração, temos o seguinte:
w = -x2 + cx
Por fim, lembrando que w = y-1, logo, y = 1/w, chegamos a:
y = 1-x2 + cx
Passaremos agora para a abordagem acerca de outro tipo de equação, a 
denominada equação de Ricatti.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 67
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Equação de Ricatti
A equação de Ricatti, por sua vez, é uma equação diferencial não linear, tal 
como demonstrado a seguir.
= P(x) + Q(x)y + R(x)y2 (III)dydx
Dado que y1 é uma solução particular para a Equação (III), temos que:
y = y1 + ue =dydx
dy1
dx +
du
dx
Aplicando em (III), temos a seguinte equação diferencial:
- (Q + 2y1R)u = Ru2dudx
Como podemos observar, a equação disposta é uma equação de Bernoulli 
com n = 2, logo, ela pode ser transformada em uma equação diferencial linear.
Ao contrário dela, a equação de Ricatti é não linear, tal como:
= P(x) + Q(x)y + R(x)y2 (IV)dydx
Se y1 corresponde a uma solução para esta equação, então adotamos as 
seguintes considerações:
y = y1
e
dy
dx
dy1
dx
du
dx= +
Aplicando-as na Equação (IV), temos que:
- (Q + 2y1R)u = Ru2dudx
A partir disso, vamos dar uma olhada em outro exemplo.
Exemplo 2.
Dada a solução particular para a equação y1 = 2x, vamos tentar resolver a 
equação linear correspondente:
= 2 - 2xy + y2dydx
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 68
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Consideramos que P(x) = 2, Q(x) = -2x e R(x) = 1. Logo, resolvemos a equação 
de tal forma:
+ 2xw = -1dwdx
O fator de integração, nesse caso, é ex
2
, logo:
[ex
2
w] = -ex
2d
dx
Portanto, constatamos que:
ex
2
w = - ex
2
dt + c∫X
X0
Ou então:
ex
2 )1u) ∫XX0 et2dt + c
E fi nalmente:
u =
ex2
c - ∫X
X0
et
2
dt
Portanto, uma solução para a equação é y = 2x + u.
Equação de Clairaut
A equação de Clairaut, por sua vez, também é uma equação diferencial não 
linear, conforme demonstra a seguinte equação:
y = x dydx + f ))dydx
Em primeiro lugar, derivamos a equação em relação a x:
y’ = y’ + xy” + f’(y’)y”
Portanto:
y”(x + f’(y’)) = 0
Como agora temos um produto equivalente a zero, chegamos a duas opções:
y’’ = 0
y’’ = 0
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 69
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ou
x + f’(y’) = 0
Logo:
y’ = C
ou
x = -f’(y’)
Se y’ = C, temos que a EDO é uma família de retas, que são soluções para a 
equação de Clairaut:
y = xC + f(C)
No entanto, se x = -f’(y’ ), definindo y’ como t, temos que:
y = xt + f(t)
Isso implica no seguinte sistema:
x = -f’(t)
y = xt + f(t){
E assim chegamos finalmente à solução:
x = -f’(t)
y = -f’(t)t + f(t){
Passemos agora para outro exemplo, visando a expor de forma prática tais 
conceitos e princípios.
Exemplo 3.
Dada a equação abaixo, vamos tentar resolvê-la, utilizando o método de 
resolução da equação de Clairaut:
y = xy’ + 1 + (y’)2
Derivando em relação a x temos:
y’ = xy’’ + y’ + y’’
2y’
1 + (y’)22
Organizando a equação temos que:
0 = ))x + y’1 + (y’)22 y’’
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 70
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Logo, y” = 0. Por conseguinte, y’ = C ou:
y’
1 + (y’)2
x = -
então:
t
1 + t2
x = -
Para y’ = C, a solução é uma família de retas, tal como:
y = xC + 1 + C2
E para x = - t
1 + t2
, temos a seguinte relação:
{ t1 + t2x = - t2
1 + t2
y = - 1 + t2+ { t1 + t2x = - 11 + t2y =
Demonstrada esta parte prática,vamos aprofundá-la por meio da explora-
ção de mais um exemplo.
Exemplo 4.
Resolveremos a equação abaixo de acordo com o método de resolução da 
equação de Clairaut:
y = xy’ + 12 (y’)
2
Em primeiro lugar, identificamos que f(y’ ) = (1/2)(y’ )2, o que implica que f(t) = 
(1/2)t2. Portanto, sabendo que uma família de soluções, conforme demonstra-
do na Figura 1, corresponde a:
y = cx + 12 c
2
Figura 1. Representação gráfica da família de soluções. Fonte: ZILL; CULLEN, 2001, p. 82. (Adaptado).
c = - 3 c = 3
c = 2
c = 1
c = - 2
c = - 1
c = - 1/2
y
x
c = 1/2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 71
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Como f’(t) = t, uma solução singular corresponde a:
x = -t, y = t2 - t . t = -12
1
2 t
2
Uma solução ótima (conforme demonstrado no Gráfi co 1), após a substitui-
ção do parâmetro t, seria:
y = - x2 12
GRÁFICO 1. GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = -X2/2
Fonte: ZILL; CULLEN, 2001, p. 82. (Adaptado).
E assim chegamos à solução de mais um exemplo.
Método da substituição
Podemos perceber como uma substituição ou consideração pode fazer com 
que uma equação diferencial muito complexa de ser resolvida seja transforma-
da em outra, possível de ser resolvida por um método padrão.
DICA
Infelizmente não há uma metodologia para se descobrir qual substituição 
ou consideração deve ser feita. O melhor conselho, no entanto, é testá-las: 
tente realizar alguma consideração!
Vejamos mais alguns exemplos:
y
x
y = x²2
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 72
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Exemplo 5.
A seguinte equação diferencial não é separável, homogênea, exata, linear 
ou de Bernoulli. Com base nisso, tentaremos realizar alguma consideração, 
para aplicar algum método padrão de resolução:
y (1 + 2xy)dx + x(1 - 2xy)dy = 0
Analisando a equação, podemos realizar a seguinte substituição:
u = 2xy
ou
u
2xy =
Tenhamos em mente que:
dy =
xdu - udx
2x2
Portanto, depois de simplificada, a equação fica da seguinte forma:
2u2dx + (1 - u)xdu = 0
Transformamos, assim, a equação original em uma equação separável:
2
dx
x
+ 1 - uu2 du = 0
E tal transformação implica em:
2In|x| - u-1 - In|u| = c
In x2y = c +
1
2xy
x
2y = c1e
1/2xy
E finalmente:
x = 2c1ye1/2xy
Troca-se, assim, eC por c1.
Exemplo 6.
A equação abaixo, da mesma forma que a equação do Exemplo 5, não pode 
ser resolvida pelos métodos convencionais. Uma substituição, visando à sua 
resolução, pode ser proposta, como veremos a seguir.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 73
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2xy dydx + 2y
2 = 3x - 6
Observamos que o termo 2xy
dy
dx impede a consideração u = y
2, uma vez que:
du
dx = 2y
dy
dx
Agora, observe que:
x dudx + 2u = 3x - 6
Isso corresponde à forma linear:
2
x+
du
dx u = 3 -
6
x
Dessa forma, o fator de integração corresponde a:
e∫(2/x)dx = elnx
2
 = x2
Assim, podemos chegar a:
d
dx [x
2u] = 3x2 - 6x 
x2u = x3 - 3x2 + c 
x2y2 = x3 - 3x2 + c 
Vamos observar mais um exemplo.
Exemplo 7.
Não há um algoritmo ou método para definir uma substituição efetiva. Faz-
-se necessário, portanto, um olhar crítico, para escolher as variáveis que serão 
substituídas, além de muita prática.
Observe a equação a seguir, a qual será resolvida por meio do método 
da substituição:
x3
y- y =
dy
dxx e
y/x
Considerando u = y/x, temos que:
ue-udu = dx
Integrando a integração por partes, e fazendo c1 = -c, chegamos a:
-ue-u - e-u = x + c
u + 1 = (c1 - x)eu
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 74
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Aplicações das equações de primeira ordem
É comum buscarmos famílias a n-parâmetros de soluções, dada uma equa-
ção diferencial. No entanto, por outro lado, é conveniente encontrarmos equa-
ções diferenciais, dada uma família de soluções.
Tal raciocínio pode ser aplicado em trajetórias ortogonais, nas quais esta-
mos interessados em encontrar a equação diferencial relacionada a uma famí-
lia de n-parâmetros de curvas.
Considere o exemplo a seguir.
Exemplo 8.
Dada a família de soluções, encontraremos uma equação diferencial cor-
respondente:
y = c1x
3
Após derivar, chegamos em:
= 3c1x
2dy
dx
Substituindo o parâmetro c1 por y/x3, obtido da primeira equação (y = 
c1x
3), temos:
= 3dydx ))yx3 x2
ou
dy
dx = 3
y
x
Em geometria analítica, duas retas L1 e L2 são perpendiculares se, e somente 
se, seus coefi cientes angulares satisfi zerem a relação m1m2 = -1.
Do mesmo modo, duas curvas C1 e C2 são ortogonais em um ponto se, e somen-
te se, suas retas tangentes T1 e T2 forem perpendiculares no ponto de intersecção.
Vejamos o próximo exemplo.
Exemplo 9.
Dada as curvas C1 e C2, demonstraremos que elas são ortogonais nos pon-
tos de interseção:
C1 : y = x
3
C2 : y = x
2
 + 3y
2 = 4
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 75
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Conforme o Gráfico 2 demonstra, os pontos em que eles se tocam são (1,1) 
e (-1,-1). A inclinação da reta tangente a y = x3 em qualquer ponto é dy/dx = 3x2.
Portanto:
para x = 1 =dydx
dy
dx para x = -1 = 3
GRÁFICO 2. PONTOS DE INTERSEÇÃO DOS GRÁFICOS
Fonte: ZILL; CULLEN, 2001, p. 96. (Adaptado).
y
x
(1, 1)
x2 + 3y2 = 4(-1, -1)
m2 = -1/3
m1 = 3
y = x1
Utilizando a derivação implicita, obtemos para a segunda curva dy/dx:
dy
dx2x + 6y =
ou
dy
dx = -
x
3y
E logo chegamos em:
(1,1) =
dy
dx
dy
dx (-1,-1) = -
1
3
Logo nos pontos (1, 1) e (-1, -1), constatamos que:
)c1)dydx )c2)dydxx = -1
Finalmente, fica evidente que qualquer curva C1 da família de equações é 
ortogonal a cada curva C2, já que a equação diferencial da primeira família é:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 76
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dy
dx = 3
y
x
E a derivação implícita de x2 + 3y2 = c2 equivale a:
dy
dx = -
x
3y
Para cada uma das curvas, então, temos uma condição de ortogonalidade, 
visto que que no ponto (x, y), em cada curva (ver Gráfi co 3), temos:
)c
1
)dydx )c
2
)dydxx = ))x3y-))3yx = -1
GRÁFICO 3. RETAS TANGENTES ORTOGONAIS
y
x
T2
C2
C1
T1
Fonte: ZILL; CULLEN, 2001, p. 96. (Adaptado).
Como a inclinação das retas tangentes são inversas e negativas, as curvas 
se interceptam ortogonalmente.
Equações diferenciais lineares de ordem superior
Nesse tópico, iremos abordar soluções para equações diferenciais de ordem 
maior que um. Vimos que podemos resolver equações não lineares de primeira 
ordem, no entanto, equações não lineares de ordem superior geralmente restrin-
gem os métodos de solução. Isso não signifi ca que elas não admitam soluções, 
mas sim que funções elementares não são o bastante para solucioná-las. Portan-
to, métodos e soluções mais complexos devem ser levados em consideração para 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 77
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apresentar resultados a tais equações, e tais resultados devem ser baseados em 
equações lineares.
Em primeiro lugar, o conceito de soluções gerais será apresentado às equa-
ções diferenciais de ordem superior, ou seja, todas as soluções (família de so-
luções) para determinada equação dentro de um intervalo determinado, bem 
como o conceito de valor inicial, determinando resultados específicos e consi-
derando um ponto dentro do intervalo especificado.
Por fim, veremos que a resolução de equações diferenciais de ordem n está dire-
tamente ligada à capacidade de resolução de equações polinomiais de mesmo grau.
Segue abaixo um exemplo ilustrativo da solução de uma equação diferen-
cial de ordem superior. O exemplo foi retirado do livro Cálculo diferencial e inte-
gral III, dos autores Claudio Bidurin e Valéria Gelfuso, de 2015 (p. 87).
Exemplo 10.
Dada a equação diferencial de terceira ordem homogênea, encontre sua 
solução geral:
y’’’ − 4y’’ − 5y′ = 0
Encontrando a equação auxiliar associada à equação diferencial de ordem 
3, temos:
m3 − 4m2 − 5m = 0
Resolvendo a equação colocando inicialmente m em evidência, e resolven-
do a equação do segundo grau, teremos:
m(m2 − 4m − 5)= 0
Cujas soluções serão: m1 = 0, m2 = −1 e m3 = 5 (ambas