Aula 3 - EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONADOS

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AULA 3 
CERTIFICAÇÃO LEAN SIX SIGMA 
GREEN BELT – FERRAMENTAS PARA 
O DESENVOLVIMENTO E MELHORIA 
Prof. Rafael Simões Ribeiro 
 
 
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INTRODUÇÃO 
O objetivo desta aula é nos aprofundarmos nos conceitos de planejamento 
de experimentos (Design of Experiments, DOE). Vamos abordar os experimentos 
fatoriais fracionados, que consistem em frações do experimento fatorial completo. 
Utilizamos tal abordagem quando temos muitos fatores desconhecidos, os quais 
queremos entender a significância estatística e sua contribuição para as variações 
dos resultados experimentais. Isso faz com que tenhamos um custo-benefício 
ainda maior, abrindo mão de algumas informações que não necessariamente são 
importantes para a compreensão do todo. 
TEMA 1 – EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONADOS 
O experimento fatorial é um grande avanço em termos de metodologia e 
custo-benefício em relação à tentativa e erro e ao one factor at a time (Ofat). No 
entanto, se quisermos realizar um experimento com oito fatores em dois níveis, 
teremos 28 = 256 testes, o que é impraticável. Para contornar isso, podemos 
escolher abrir mão de algumas informações, tornando nosso modelo matemático 
menos preciso, em prol de aumentar o custo-benefício do nosso planejamento. 
Isso é realizado com os experimentos fatoriais fracionados. 
Vamos utilizar o mesmo exemplo didático que vimos em momento anterior 
para entendermos o conceito de experimentos fatoriais fracionados. Vejamos, na 
Figura 1 a seguir, a seleção de quatro dos vértices do cubo; isso significa a 
realização, ao invés dos oito testes, de apenas quatro, ou 23−1. Agora, à esquerda 
dessa figura, vejamos a projeção desses pontos, como se tivéssemos uma forte 
luz iluminando cada face. Uma projeção é como uma sombra, na qual não 
conseguimos visualizar o objeto em si, mas, ao menos, temos uma ideia de sua 
silhueta. Isso é o que acontece quando fracionamos um experimento. Perdemos 
informações sobre os dados principais (vértices), mas, por meio de projeções 
(sombras), podemos obter outras informações sobre o experimento, porém, com 
um nível menor de resolução (ou um nível maior de confundimento, que será 
explicado a seguir) entre os fatores. 
 
 
3 
Figura 1 – Projeções de um experimento fracionado 23−1 
 
Fonte: elaborado com base em Box; Bisgaard, 1987, p. 25. 
Em estudos reais sobre projetos e produtos, é normal nos depararmos com 
vários fatores mapeados em nossos mapas de produto e de processo. Na maioria 
das vezes, podemos identificar, entre esses fatores (e com base em nossa 
experiência sobre o tema), os mais promissores em termos de contribuição para 
a variação do valor resposta que estamos medindo. Porém, ainda que essa 
identificação preliminar seja realizada, é comum nos depararmos com cinco, seis 
ou até mais fatores. Um experimento fatorial completo com cinco fatores resulta 
em 32 testes, enquanto um de seis fatores resulta em 64 testes. Mesmo que esses 
números de testes sejam factíveis (apesar de ainda extensos), pode ser que não 
tenhamos uma noção ideal de como escolher os níveis – e + para cada fator. 
Como resultado, é provável que o primeiro experimento planejado que 
realizaremos tenha limitações em termos do planejamento feito; essas limitações, 
eventualmente, não permitirão que atinjamos uma conclusão final em relação ao 
estudo que queremos conduzir, fazendo-se necessárias outras execuções de 
experimentos planejados. 
Assim, geralmente nos referimos ao primeiro experimento planejado que 
estamos realizando a respeito de um problema que queremos estudar, como um 
experimento exploratório. Não há regras, dependendo das respostas, talvez nosso 
segundo experimento planejado ainda continue sendo um experimento 
exploratório. A característica principal de experimentos exploratórios, como o 
nome sugere, é a descoberta rápida de algumas informações limitadas, com um 
bom custo-benefício; em outras palavras, queremos explorar o problema, 
utilizando de experimentos fatoriais fracionados para “separarmos o joio do trigo”. 
 
 
4 
Ainda que tenhamos maiores incertezas na realização de experimentos 
fatoriais fracionados, um DOE exploratório é útil para identificarmos fatores 
totalmente irrelevantes. Caso isso aconteça, por meio de um DOE exploratório de, 
digamos, oito fatores, podemos passar para um segundo DOE carregando, talvez, 
apenas quatro ou cinco. Esse procedimento é muito comum em problemas na 
indústria. À medida que realizamos experimentos, podemos passar para 
planejamentos de otimização, nos quais temos bastante certeza em relação aos 
fatores e seus níveis de variação que interessam ao nosso estudo. Esses 
experimentos podem ser realizados em alta resolução (até como um DOE fatorial 
completo) e, com isso, obtemos modelos matemáticos robustos capazes de nos 
indicar caminhos de otimização. 
TEMA 2 – RESOLUÇÃO DO EXPERIMENTO 
Vejamos, na Tabela 1 a seguir, um esquema que apresenta a resolução de 
experimentos fatoriais. Nela, reparemos que F (full) corresponde ao experimento 
fatorial completo (isto é, sem confundimentos entre os fatores e interações), 
enquanto III, IV, V, … correspondem à resolução do experimento fatorial 
fracionado. Um experimento de resolução III tem confundimento entre fatores de 
primeira ordem e fatores de segunda ordem [III → 1 + 2], o que nem sempre é 
algo desejável (mas pode ser utilizado em DOE exploratórios, com muito fatores). 
Já a resolução IV gera confundimentos entre fatores de primeira e terceira ordens 
e entre fatores de segunda ordem [IV → 1 + 3, 2 + 2]. Experimentos de ordem V 
têm confundimento entre fatores de primeira ordem com quarta ordem e entre 
fatores de segunda ordem com terceira ordem [V → 1 + 4, 2 + 3], e assim por 
diante. 
Tabela 1 – Resolução de experimentos fatoriais 
Fatores 
Rodadas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
4 F III 
8 F IV III III III 
16 F V IV IV IV III III III III 
32 F VI IV IV IV IV IV IV 
64 F VII V IV IV IV IV 
128 F VIII VI V V IV 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
 
 
5 
Reparemos que as cores são sugestões de experimentos; não 
necessariamente um experimento de ordem III é ruim, mas é importante tomar 
cuidado com a interpretação dos resultados, buscando um significado físico para 
as interações de segunda ordem e confundimentos. Já uma resolução V é 
considerada muito boa, uma vez que o confundimento de primeira ordem é com a 
quarta ordem, ou seja, um efeito principal estará confundido com um efeito 
conjunto de quatro fatores, o que é muito improvável acontecer. A resolução IV 
está no meio termo e é a resolução mais utilizada em aplicações reais, pois 
apresenta um custo-benefício interessante. 
Quando temos muitos fatores (nove em diante) é interessante realizarmos 
um experimento planejado de resolução III, com 16 rodadas experimentais 
(comumente chamadas de runs). Quando temos um número entre cinco e sete 
fatores, devemos analisar se faz sentido realizar um experimento de resolução III 
com apenas oito rodadas experimentais ou realizar um experimento de resolução 
maior com 16 rodadas experimentais. Se for o início do estudo, provavelmente o 
experimento de resolução III seja suficiente; se já tivermos conduzido um 
experimento exploratório prévio, talvez a melhor escolha seja aumentarmos a 
resolução (e o número de testes). Resoluções IV ou V são suficientes para 
planejamentos experimentais de quaisquer tipos, enquanto um experimento 
fatorial completo (F) geralmente só é considerado quando lidamos com dois ou 
três fatores. 
TEMA 3 – MATRIZ DE CONFUNDIMENTO 
Para esclarecer o conceito de confundimento, no Quadro 1 a seguir 
mostramos um planejamento de quatro rodadas experimentais com três fatores e 
resolução III, similar ao ilustrado pela Figura 1 anterior. 
Quadro 1 – Experimento fatorial fracionado de resolução III e quatro rodadas 
Rodada A B C AB AC BC ABC 
1 − + − − + − − 
2 + − − − − + + 
3 − − + + −− + 
4 + + + + + + + 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
 
 
6 
Reparemos que AB = C, AC = B e BC = A. Esses são os confundimentos, 
o que significa que os valores que calcularmos para efeitos principais A, B e C 
podem se referir, na verdade, aos efeitos das interações AB, AC e BC, e vice-
versa. Para entendermos qual é qual, necessitamos realizar uma análise prática, 
pensando no fenômeno físico daquilo que está sendo testado e, enfim, utilizar 
nossas habilidades de engenheiros. 
Veja, no Quadro 2, um planejamento fatorial fracionado com quatro fatores 
e oito rodadas experimentais, constituindo-se em um experimento de resolução 
IV, no qual esperamos confundimentos de primeira e terceira ordens e de segunda 
com segunda ordem. 
Quadro 2 – Experimento fatorial fracionado de resolução IV e oito rodadas 
Run A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ACD BCD ABD 
1 + + + + + + + + + + + + + + 
2 + + − − + − − − − + − + + − 
3 + − + − − + − − + − − − + + 
4 + − − + − − + + − − + − + − 
5 − + + − − − + + − − − + − + 
6 − + − + − + − − + − + + − − 
7 − − + + + − − − − + + − − + 
8 − − − − + + + + + + − − − − 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
Em cinza, estão os confundimentos dos fatores de segunda ordem, 
enquanto que em verde estão alguns confundimentos de primeira ordem com 
terceira ordem. 
Apesar de confundimentos existirem, dificilmente BCD será mais 
importante do que A, por exemplo. À medida que nos depararmos com 
experimentos fatoriais fracionados, perceberemos que geralmente os fatores mais 
importantes são, de fato, os de primeira ordem e, às vezes, os de segunda ordem. 
Mesmo o confundimento entre fatores de segunda ordem podem ser interpretados 
à luz de uma análise prática, já que geralmente algumas interações serão mais 
prováveis fisicamente do que outras. 
Por fim, veja que, olhando para uma tabela de confundimento, podemos 
“escolher” quais fatores queremos que se confundam entre si. Por exemplo, no 
Quadro 2, sabemos que A está confundido com BCD de forma que, ao 
escolhermos os fatores que tomaram lugar de A, B, C e D, os dispomos em uma 
 
 
7 
ordem que, fisicamente, faça mais sentido sob o ponto de vista da análise de 
engenharia que queremos realizar. 
TEMA 4 – FRD 
O FRD é a sigla para Factor Relationship Diagram, ou “Diagrama de 
Relacionamento de Fatores”. Esse é um documento importante para o 
planejamento de experimentos planejados, pois, nele, inserimos o raciocínio que 
nos levou a realizar a escolha pelos fatores e pelos níveis do experimento. 
Abordaremos cada seção de um FRD de maneira individualizada. Cabe a 
nós juntá-las em uma planilha eletrônica, por exemplo. Ainda, o preenchimento do 
FRD, a critério ilustrativo, segue uma variação de planejamento do problema 
abordado em momento anterior. Faremos, aqui, a versão fatorial fracionada 
aproveitando aquele conjunto de dados. 
Figura 2 – Versão fatorial fracionada: seção 1 e 2 
Título 
 DOE ilustrativo fatorial fracionado para processo de têmpera de molas 
1. Objetivo 
 O objetivo desse DOE é ilustrar as diferenças, em termos de resultados, entre um 
DOE fatorial completo e um DOE fatorial fracionado. 
2. Informações prévias 
 
Da análise do DOE fatorial completo, sabemos que a estimativa dos efeitos individuais 
dos fatores e das interações é: T +23; C –5; O +1,5; TC +1,5; OC 0,0; TO +10. 
Sabemos, também, que os fatores estatisticamente significantes são T e OT (p-value 
menores do que 0,05) seguidos por C com significância baixa indicada pelo gráfico de 
probabilidade normal. 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
O título do FRD é inicialmente adicionado. Pode parecer simplista, mas 
pensar em um título para o experimento a ser planejado ajuda a clarearmos 
nossos objetivos. Estes devem ser formulados de maneira clara na seção 1, bem 
como a inclusão de informações prévias na seção 2. Aqui é importante 
caracterizar o DOE, indicando se é exploratório ou de otimização. Dados de testes 
anteriores (ainda que tenham sido obtidos por tentativa e erro ou Ofat) devem ser 
considerados na seção de informações prévias. 
Na sequência, adicionamos a seção 3, que são as partes mais importantes 
do FRD. Começamos com o preenchimento das variáveis resposta, ou seja, o que 
vamos medir (lembrando que, para realizarmos um experimento, devemos ter o 
 
 
8 
MSE já validado) e como essa medição será realizada. A seguir, selecionamos os 
fatores e os níveis para o experimento. Novamente, devemos nos referir aos 
mapas de processo e produto para a seleção dos fatores, enquanto os níveis 
podem ser estimados com base em nossa experiência com o processo ou produto, 
ou mesmo nos dados prévios deles. 
Figura 3 – Versão fatorial fracionada: seção 3 
3. Variáveis experimentais 
3.1 Variáveis resposta Técnica de medição 
1 % de molas sem trincas Inspeção e contagem 
2 
3 
3.2 Fatores sob estudo Nível (menos/ −) Nível (mais/ +) 
1 O (temperatura do óleo) 70 120 
2 C (% de carbono) 0,50 0,70 
3 T (temperatura do aço) 1450 1600 
4 
5 
 Teoria Previsão Resultado 
1 
 Temperatura do óleo deve ter menor 
diferença em relação à peça para evitar 
choques térmicos 
O+ é melhor 
2 
 % de carbono influencia na ductilidade 
do aço que impacta na formação de 
trincas 
C+ é pior 
3 
 Temperatura do aço na têmpera reduz 
tensionamento e geração de trincas 
T+ é melhor 
4 
5 
3.3 Variáveis ruído Modo de controle 
1 Dia de ensaio monitoramento 
2 Temperatura do ambiente monitoramento / randomização 
3 Umidade do ambiente monitoramento / randomização 
4 Operador escolha pelo mais experiente 
5 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
Talvez a característica mais importante do FRD seja o fato de ser um 
instrumento que nos obrigue a pensar fisicamente sobre o experimento, 
pesquisando teorias que justifiquem uma previsão. Após a execução do 
experimento e da análise dos resultados, retornamos ao FRD e podemos 
comparar nossas previsões iniciais com o resultado real, gerando aprendizados 
que serão registrados e incorporados. 
 
 
9 
Inserimos, em seguida, previsões gráficas dos efeitos principais e das 
interações (nesse caso, gráficos de interações foram adicionados apenas como 
exemplo, pois, realizando uma análise de três fatores e apenas quatro rodadas 
não temos informações suficientes para realizar os gráficos de interações, apenas 
dos efeitos principais). 
Figura 4 – Versão fatorial fracionada: seção 4 
4. Previsão gráfica 
4.1 Efeitos principais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Interações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
Por fim, completamos o FRD com as demais informações sobre repetições, 
réplicas ou restrições, sobre qual foi o método de “randomização” que, no nosso 
caso, será realizado pelo algoritmo do JMP. Adicionamos, também, a matriz do 
experimento e os dados relativos ao tipo de experimento que estamos 
conduzindo. Na seção 9, podemos inserir alguma informação sobre custos e 
 
 
10 
planejamentos para esse experimento e, finalmente, inserimos a matriz de 
confundimento, caso tenhamos um experimento fatorial fracionado. 
Figura 5 – Versão fatorial fracionada: seção 1 a 10 
5. Repetições / restrições / réplicas 
Nenhum 
6. Método de randomização 
Algoritmo do JMP 
7. Matriz do experimento 
 
 
 
8. Métodos planejados de análise estatística 
DOE 2^(3-1) res III - Experimento fracionado sem bloco randomizado 
9. Custos estimados, planejamento e outros recursos 
 
10. Confundimento dos efeitos 
 
 
Fonte: Ribeiro, 2021. 
 
 
11 
É importante notarmos que o FRD é uma ferramenta organizacional, como 
os mapas de processo, produto e de raciocínio. No dia a dia, é comum 
subestimarmos sua importância e não o utilizarmos. Isso é um erro que deve ser 
combatido, uma vez que sua realização traz inputs e insights úteis ao experimento, 
ajudando a aumentar seu custo-benefícioe nos poupando trabalhos futuros. 
TEMA 5 – JMP: DOE FATORIAL FRACIONADO 
Para realizarmos um DOE fatorial fracionado, no JMP, podemos colar a 
tabela no software e buscar a aplicação Fit Model, na guia Analyze. Outra maneira 
é realizando o planejamento dentro do próprio JMP, na guia DOE, Classical, 
Screening Design, para o caso de experimentos fatoriais fracionados e, após o 
preenchimento das respostas dos experimentos, acessamos à aplicação Model 
com o botão direito do mouse e, em seguida, run script. 
Ao realizarmos o procedimento descrito no parágrafo anterior, o JMP 
automaticamente adiciona os fatores principais e exclui da análise seus 
respectivos confundimentos. Essa é a principal vantagem de realizar todo o 
planejamento direto no JMP. Vejamos, na Figura 6, a caixa de seleção para tal 
procedimento. O JMP automaticamente selecionou a resposta Y. 
 Figura 6 – Caixa de seleção de modelagem do experimento 
 
Crédito: JMP, 2018. 
 
 
12 
Vejamos, agora, os resultados obtidos pelo modelo matemático do 
experimento fatorial fracionado, em comparação com os resultados apresentados 
em momento anterior, do modelo fatorial completo. Reparemos que, no modelo 
fracionado, utilizamos metade dos dados experimentais utilizados para o modelo 
completo. Isso indica, obviamente, que o modelo matemático que obteremos é 
mais pobre. Cabe ressaltar, ainda, que a realização de um experimento fatorial 
fracionado nos moldes do que estamos simulando aqui não é recomendada para 
poucos fatores. DOE de resolução III são indicados apenas quando temos um 
número elevado de fatores e queremos realizar um experimento exploratório. 
Assim, ficará evidente a diferença entre os resultados de um DOE completo em 
comparação com os resultados de um DOE de resolução III. 
Na Figura 7, mostramos o indicativo Sorted Parameter Estimates, que deve 
ser selecionado clicando-se com o botão direito sobre a seta vermelha do 
cabeçalho da janela do experimento e selecionando a aba Estimates. Nessa 
imagem, vemos as estimativas dos fatores considerados, lembrando que o JMP 
apresenta a metade da estimativa real. Vemos também os valores P estimados. 
Figura 7 – Efeito dos fatores e valor P 
 
Crédito: JMP, 2018. 
Comparando as análises de efeito dos fatores com as realizadas em 
momento anterior, vejamos que o valor do efeito de T é exatamente o mesmo: 
+23. C; em contrapartida, apresenta o mesmo valor com o sinal invertido, +5, e O 
apresenta o dobro da estimativa encontrada no experimento completo. Essas 
diferenças são esperadas, uma vez que temos menos dados e confundimentos. 
O segundo fator mais importante do experimento completo foi a interação OT que, 
aqui, está confundida com o fator C. Vejamos que, graças aos confundimentos, 
nenhum fator apresentou relevância estatística segundo o cálculo do valor P no 
 
 
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experimento de resolução III. Podemos concluir disso que apenas os fatores 
extremamente relevantes serão apontados ao utilizarmos essa resolução. 
No entanto, ao analisarmos o gráfico de probabilidade normal, podemos 
ver, na Figura 8, o fator T apresentando destaque estatístico. Sabemos, do 
experimento completo, que o fator T, de fato, apresenta significância estatística e 
isso mostra a relevância de interpretar os valores P calculados em conjunto com 
o gráfico de probabilidade normal. Ainda, o fato de os outros fatores estarem 
ligeiramente afastados da linha azul é um indicativo da pobreza de dados de nosso 
experimento, o que já era esperado. 
Figura 8 – Gráfico de probabilidade normal 
 
Crédito: JMP, 2018. 
O complemento da análise é realizado por intermédio do diagrama de 
Pareto (Figura 9) e da previsão gráfica dos efeitos (Figura 10). Reparemos que, 
nesse exemplo, não conseguimos fazer a previsão das interações por não termos 
dados suficientes. 
 
 
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Figura 9 – Diagrama de Pareto 
 
Crédito: JMP, 2018. 
Figura 10 – Previsão gráfica dos efeitos principais 
 
Crédito: JMP, 2018. 
Veja, na Figura 10 anterior, que o Prediction Profiler, além de ser a previsão 
gráfica dos efeitos principais, apresenta linhas vermelhas horizontais e verticais, 
bem como a resposta em vermelho. Isso ocorre porque essa aplicação é um 
simulador do modelo matemático, de forma que podemos arrastar as linhas 
vermelhas para posições intermediárias para níveis dos fatores. Por exemplo, a 
imagem mostrada apresenta linhas vermelhas posicionadas em 0, o que 
significaria um valor médio entre os níveis escolhidos para cada fator, e a resposta 
simulada do modelo matemático é 71,5. Vejamos, na matriz de experimentos 
apresentada no FRD, que não obtivemos o valor 71,5 experimentalmente. Essa é 
uma ferramenta muito útil na previsão de comportamentos para nossos 
experimentos; é importante ressaltar que os modelos matemáticos em DOE são 
lineares e, portanto, têm faixas de aplicação limitadas, especialmente se o 
fenômeno físico experenciado tiver comportamento não linear. 
A maioria dos fenômenos físicos reais são não lineares e, portanto, 
devemos sempre ter cuidado ao analisar os resultados de experimentos 
planejados, conscientes dessa limitação que restringe o espaço de inferência de 
nosso experimento. No entanto, o planejamento de experimentos é uma 
ferramenta extremamente robusta e útil no estudo de processos para a detecção 
de variações e para a otimização dos níveis dos fatores dos mesmos processos. 
 
 
15 
REFERÊNCIAS 
BOX, G.; BISGAARD, S. The scientific context of quality improvement. Center for 
Quality and Productivity Improvement of University of Wisconsin-Madison, 
Madison, n. 25, p. 1-45, 1987. 
JMP: Statistical Discovery. Version 14.0.0. [S.1.]: SAS Institute Inc, 2018.