Lista 9_gabarito

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Disciplina: ACH4552 – Matemática Aplicada I 
Profa Dra. Andrea Lucchesi 
 
 
Gabarito - Lista 9 de Exercícios 
 
Justifique sua resposta com a resolução, indicando as técnicas/propriedades que 
forem utilizadas. 
 
1. Use a primeira derivada para encontrar os pontos críticos. Use a segunda derivada 
para encontrar os pontos de inflexão e identificar os pontos de máximo e mínimo. 
Construa os gráficos. 
a. 𝑓(𝑥) = 2𝑥³ + 3𝑥² − 36𝑥 + 5 pontos críticos 𝑥 = −3(máximo) e 𝑥 = 2 (mínimo); 
ponto de inflexão 𝑥 = −
1
2
 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 pontos críticos 𝑥 = −1(mínimo), 𝑥 = 0(máximo), 𝑥 = 1(mínimo); 
pontos de inflexão: 𝑥 = − 1
√3
,𝑥 =
1
√3
 
c. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥² + 5pontos críticos x = 0 (maximo) e x = ±2 (mínimos); ponto de 
inflexão 𝑥 = ±
2
√3
 
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥4 + 35pontos críticos: x = 0 (máximo); x = 4 (mínimo); ponto de 
inflexão x = 3 
 
2. Determine os pontos críticos das funções. Classifique estes pontos como mínimo, 
máximo ou nenhum a partir do teste da segunda derivada. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥2 + 2 pontos críticos𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 1; (0,2) ponto mínimo e 
(1,3) não é nem mínimo nem máximo 
b) 𝑓(𝑡) = 2𝑡3 + 6𝑡2 + 6𝑡 + 5𝑡 = −1; (-1, 3) não é ponto mínimo nem máximo 
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)5 𝑥 = 1; (1,0) não ponto mínimo nem máximo 
d) 𝑓(𝑡) = 10𝑡6 + 24𝑡5 + 15𝑡4 + 3pontos críticos 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = 0; (-1,4) não é 
ponto mínimo nem máximo e (0,3) é ponto mínimo 
e) 𝑓(𝑥) = 324𝑥 − 72𝑥2 + 4𝑥3 pontos críticos 𝑥 = 3 𝑒 𝑥 = 9; (3,432) é ponto 
máximo e (9,0) é ponto mínimo 
 
 
3. Encontre os pontos de inflexão, e os intervalos onde o gráfico de 𝑓(𝑥) é convexo, 
e os intervalos onde é côncavo, e os pontos de máximo e mínimo a partir do teste da 
segunda derivada. 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 6𝑥² convexo para todo x; ponto mínimo (0,0); não há ponto de inflexão 
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 4𝑥² + 5𝑥 − 2ponto de inflexão em 𝑥 =
4
3
; máximo (1,0). mínimo 
(
5
3
, −
4
27
) 
x < 
4
3
 f(x) côncavo 
x > 
4
3
 f(x) convexo 
 
4. Use o teste da segunda derivada para confirmar que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 − 48𝑥 + 52 tem um 
máximo local em 𝑥 = −2 e um mínimo local em 𝑥 = 8 
𝑓′(8) = 0 𝑒 𝑓′(−2) = 0, portanto são ambos pontos críticos. 
Como 𝑓′′(8) = 30 𝑒 𝑓′′(−2) = −30, o teste da segunda derivada confirma que 𝑥 = 8 é 
ponto mínimo e 𝑥 = −2 é ponto máximo 
 
5. Suponha que o custo C(q) para produzir q bens seja dado por: 𝐶(𝑞) = 0,01𝑞³ −
 0,6𝑞² + 13𝑞 
a. Qual é o custo fixo? $0 
b. Qual é o lucro máximo se cada item for vendido por $7? (suponha que você 
vende tudo que produz) $96,56 
 
6. Suponha que equação de demanda para um certo produto é 𝑃(𝑞) = 45 − 0,01𝑞. 
Escreva a receita como função de 𝑞 e ache a quantidade que maximiza a receita. 
𝑅(𝑞) = 45𝑞 − 0,01𝑞2 𝑞 = 2250 
Qual o preço correspondente a essa quantidade? qual a receita total a esse preço? 
𝑝 = $22,50 𝑅 = $50.625 
 
7. Suponha que a demanda por batatas doces seja dada por 𝑄(𝑝) = 5000 − 10𝑝². 
 
a. A um preço de $2 por quilo, qual é a receita total para o fazendeiro? $9920 
b. Escreva a receita como função do preço, depois ache o preço que dê a máxima 
receita. 𝑅(𝑝) = 5000𝑝 − 10𝑝3 𝑝 = √
500
3
= $12,91 
 
8. A tabela mostra custo, 𝐶(𝑞), e receita, 𝑅(𝑞) 
a. A aproximadamente qual nível de produção 𝑞, o lucro é maximizado? Explique 
seu raciocínio 𝑞 = 2500 
b. Qual é o preço do produto? $3 por unidade 
c. Quais são os custos fixos? $3000 
 
𝑞 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 
𝑅(𝑞) 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 
𝐶(𝑞) 3000 3800 4200 4500 4800 5500 7400 
 
9. Receita é dada por 𝑅(𝑞) = 450𝑞 e o custo é dado por 𝐶(𝑞) = 10.000 + 3𝑞2. A qual 
quantidade o lucro é maximizado? Qual é o lucro total neste nível de produção? 
𝑞 = 75 $6875 
 
10. A demanda por tickets para um parque de diversão é dada por 𝑃(𝑞) = 70 − 0,02𝑞, 
onde 𝑞 é o número de pessoas que vão àquele lugar. 
a. Qual preço gera uma presença de 3000 pessoas? $10 Qual é a receita total 
neste nível de preço? $30.000 Qual é a receita total se o preço é $20? $50.000 
b. Escreva a função receita como função da presença, 𝑞, no parque de diversão. 
𝑅(𝑞) = 70𝑞 − 0,02𝑞2 
c. Qual nível de presença maximiza a receita? 1750 
d. Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita? $35 
e. Qual é a receita máxima? $61.250 
 
11. A equação demanda para uma quantidade 𝑞 de um produto, ao preço 𝑝, em reais, 
é 𝑃(𝑞) = −5𝑞 + 4000. A companhia que fabrica este produto indica que o custo, 𝐶, 
em reais, para produzir uma quantidade 𝑞 é 𝐶(𝑞) = 6𝑞 + 5 reais. 
 
a. Expresse o lucro da companhia, em reais, como uma função de 𝑞.𝐿(𝑞) =
−5𝑞² + 3994𝑞 − 5 
b. Qual nível de produção garante à companhia o maior lucro? 𝑞 = 399,4 
c. Qual é o maior lucro possível? $797.596,8 
 
Gráficos: 
1. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d)