matematica faculdade estacio-11

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35. Se \( A \) é uma matriz diagonal, o que isso significa? 
 - Resposta: Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos fora da diagonal 
principal são zero. 
 
36. Calcule a integral definida \( \int_0^\pi \sin(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \left[ -\cos(x) \right]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2 \). 
 
37. Se \( f(x) = \ln(2x) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{1}{2x} \). 
 
38. Encontre a solução para a equação \( \sin(3x) = \frac{1}{2} \) para \( 0 \leq x < 2\pi \). 
 - Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \), \( x = \frac{5\pi}{6} \), \( x = \frac{7\pi}{6} \), \( x = 
\frac{11\pi}{6} \). 
 
39. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)? 
 - Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \), uma vez que a função se aproxima de 
zero à medida que \( x \) tende ao infinito. 
 
40. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos(x) \). 
 - Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = \sin(x) + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
41. Se \( f(x) = \frac{1}{x} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Aplicando a regra do poder fracionário, a derivada é \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \). 
 
42. Calcule a integral definida \( \int_{-1}^1 (x^3 - x) \, dx \). 
 - Resposta: Integrando termo a termo, temos \( \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-
1}^1 = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) 
= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0 \). 
 
43. Se \( f(x) = \ln(x^3) \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia, a derivada é \( f'(x) = \frac{3x^2}{x^3} = 
\frac{3}{x} \).