Calculo 1-52

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Resposta: A área sob a curva \( y = \sqrt{x} \) de \( x = 0 \) a \( x = 25 \) é dada pela integral 
definida \( \int_{0}^{25} \sqrt{x} \, dx \). Aplicando a regra da integral definida, obtemos \( 
\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{25} = \frac{2}{3} \times 25^{\frac{3}{2}} = 
\frac{2}{3} \times 125 = \frac{250}{3} \) unidades quadradas. 
 
119. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(7x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do seno em \( x = 0 \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(7x)}{x} = 7 \). 
 
120. Questão: Resolva a equação \( \log_{6}(x) = \log_{6}(216) \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 6, 
resultando em \( x = 216 \). 
 
121. Questão: Se \( f(x) = \ln(8x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: Para encontrar \( f'(x) \), aplicamos a regra da cadeia à função \( \ln(8x) \). A 
derivada é \( f'(x) = \frac{1}{8x} \). 
 
122. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x de 
\( x = 0 \) a \( x = \frac{3\pi}{2} \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = \sin(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{3\pi}{2} \) é dada 
pela integral definida \( \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(x) \, dx \). Aplicando a regra da integral 
definida, obtemos \( \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\frac{3\pi}{2}} = -\cos(\frac{3\pi}{2}) - (-
\cos(0)) = 0 - (-1) = 1 \) unidades quadradas. 
 
123. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(8x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada da tangente em \( x = \infty \), sabemos que 
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(8x)}{x} = 8 \). 
 
124. Questão: Resolva a equação \( \log_{7}(x) = \log_{7}(343) \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 7, 
resultando em \( x = 343 \). 
 
125. Questão: Se \( f(x) = e^{8x} \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: A derivada de \( e^{8x} \) em relação a \( x \) é \( 8e^{8x} \).