Calculo 1-106

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45. Qual é a solução para a equação \( e^{2x} = 7 \)? 
 **Resposta:** \( x = \frac{\ln(7)}{2} \). 
 **Explicação:** Isso ocorre porque \( \ln(e^{2x}) = 2x \). 
 
46. Qual é o determinante da matriz \( \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \)? 
 **Resposta:** O determinante é \( 14 \). 
 **Explicação:** O determinante de uma matriz \( 2 \times 2 \) é dado por \( ad - bc \). 
 
47. Qual é a integral indefinida de \( \cot(x) \)? 
 **Resposta:** A integral indefinida de \( \cot(x) \) é \( \ln|\sin(x)| + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 **Explicação:** Isso pode ser provado utilizando a técnica de integração por 
substituição. 
 
48. Qual é o valor de \( \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)? 
 **Resposta:** \( \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação:** Isso ocorre porque \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
49. Resolva a equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = y^2 \) com a condição inicial \( y(0) = 
1 \). 
 **Resposta:** A solução é \( y = \frac{1}{1 - x} \). 
 **Explicação:** Integrando ambos os lados da equação diferencial e aplicando a 
condição inicial. 
 
50. Qual é a área da região limitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^2 \) no intervalo \( [0, 
1] \)? 
 **Resposta:** A área é \( e - \frac{1}{3} \). 
 **Explicação:** Isso pode ser encontrado calculando a integral da diferença entre as 
duas funções no intervalo apropriado. 
 
51. Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln(x)}}{{x}} \)? 
 **Resposta:** O limite é \( 0 \). 
 **Explicação:** Isso ocorre porque o logaritmo natural cresce mais lentamente do que 
qualquer função polinomial.