AULA 2 INTEGRAÇÃO DEFINIDA

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Fernanda Fonseca 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, buscaremos compreender métodos para realizar a integração 
de funções contínuas em intervalos bem definidos que não podem ser 
determinadas pelos métodos do cálculo diferencial e integral. 
A facilidade ao acesso e uso de recursos computacionais permite a ampla 
aplicação dos métodos de integração numérica na solução de problemas da 
engenharia, possibilitando que processos complexos sejam resolvidos de forma 
eficiente e cada vez mais rápida. 
Estudaremos três métodos para integração numérica: método dos 
retângulos, método dos trapézios e regras de Simpson. E discutiremos, ao final, 
como a escolha do método pode gerar uma maior precisão na estimativa do 
resultado da integral calculada. 
TEMA 1 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Quando falamos sobre o processo de integração de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 
buscamos por uma função primitiva 𝐹𝐹(𝑥𝑥), cuja derivada reconstitui a função 
inicial 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (Thomas, 2002). 
𝐹𝐹′(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
A integração permite a determinação de distâncias, áreas, volumes e 
valores médios por somas em intervalos finitos. Da mesma forma, quando os 
métodos do cálculo diferencial e integral não possibilitam a determinação de uma 
integração, ou tornam-se muito complexos, podemos determiná-las por meio de 
métodos numéricos nesse intervalo. 
Segundo o teorema fundamental do cálculo (Equação 1): 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= [𝐹𝐹(𝑥𝑥)]𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎) (1) 
Em que 𝐹𝐹(𝑥𝑥) representa a função primitiva de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) contínua 
no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] (Jarletti, 2018). 
Os métodos numéricos buscam aproximar a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) de uma função 
polinomial, o que torna mais fácil o processo de integração. Para isso, 
dividiremos o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] em n subintervalos com comprimento ℎ dado pela 
Equação 2. A esse valor de h, denominamos passo. 
 
 
3 
ℎ =
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
𝑛𝑛
 (2) 
Aplicaremos essa análise pelas fórmulas de Newton-Cotes fechadas 
(para as quais os extremos do intervalo são incluídos no cálculo). São 
denominadas fórmulas de Newton-Cotes abertas aquelas que não incluem os 
extremos do intervalo (Jarletti, 2018), mas essas não serão abordadas em 
nossos estudos. 
TEMA 2 – MÉTODO DOS RETÂNGULOS 
Método dos retângulos consiste em dividir o intervalo [a; b] em “fatias” 
retangulares cuja altura pode ser tomada pelo vértice superior esquerdo, vértice 
superior direito ou pelo ponto central da aresta superior que compõe cada “fatia” 
retangular. 
Veja o exemplo da Figura 1, que mostra essa subdivisão em quatro (𝑛𝑛 =
4) “fatias” retangulares com a altura tomada pela esquerda do intervalo [a; b]. A 
altura de cada retângulo equivale ao valor da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no respectivo valor 
de 𝑥𝑥. 
Figura 1 – Método dos retângulos com altura tomada pela esquerda 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
 
 
4 
Veja que, nesse caso, adotamos um passo ℎ constante, entretanto, esse 
valor não precisa ser constante nesse método, podendo assumir diferentes 
valores para cada subintervalo. 
No método dos retângulos, a integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏
𝑎𝑎 é aproximada à soma das 
áreas dos retângulos. 
2.1 Método dos retângulos com a altura tomada pela esquerda 
Conforme vimos anteriormente, o método dos retângulos permite 
determinar o valor aproximada da integração ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏
𝑎𝑎 pela soma das áreas 
das “fatias” retangulares, cuja área abaixo da função foi subdividida no intervalo 
[𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. No caso do método dos retângulos com a altura tomada pela esquerda, a 
altura de cada subintervalo retangular é dada pelo valor da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para 
cada 𝑥𝑥 que indica a posição da aresta esquerda desse retângulo. 
Veja na Figura 1, por exemplo. Podemos definir que: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥3)] = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 
Sendo ℎ o valor do comprimento da base do retângulo multiplicado pela 
sua altura dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
Generalizando, podemos definir que a integral de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] 
é dada pela Equação 3 para o método dos retângulos com a altura tomada pela 
esquerda. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= ℎ ∙ [𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛−1)] (3) 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotados. 
Exemplo 1: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura tomada 
pela esquerda. Adotaremos quatro subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 4). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
4
⇒ ℎ = 0,5 
 
 
5 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 
x 0 0,5 1 1,5 2 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙
 1 0,666667 0,5 0,4 0,333333 
Pela Equação 3, que descreve o método dos retângulos com a altura 
tomada pela esquerda, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 0,5 ∙ [1 + 0,666667 + 0,5 + 0,4] 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,283333 
Exemplo 2: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura tomada 
pela esquerda. Adotaremos três subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
4 − 1
3
⇒ ℎ = 1 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 
x 1 2 3 4 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒆𝒆𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟓𝟓
 1,477811 10,919630 80,685759 596,191597 
Pela Equação 3, que descreve o método dos retângulos com a altura 
tomada pela esquerda, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 1 ∙ [1,477811 + 10,919630 + 80,685759] 
 
 
6 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 93,083200 
2.2 Método dos retângulos com a altura tomada pela direita 
No caso do método dos retângulos com a altura tomada pela direita, a 
altura de cada subintervalo retangular é dada pelo valor da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para 
cada 𝑥𝑥 que indica a posição da aresta direita desse retângulo (veja na Figura 2). 
Figura 2 – Método dos retângulos com altura tomada pela direita 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
Na Figura 2, podemos definir que: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥3)] + [ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥4)] = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 
Sendo ℎ o valor do comprimento da base do retângulo multiplicado pela 
sua altura dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
Generalizando, podemos definir que a integral de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] 
é dada pela Equação 4 para o método dos retângulos com a altura tomada pela 
direita. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= ℎ ∙ [𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)] (4) 
 
 
7 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotados. 
Exemplo 3: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura tomada 
pela direita. Adotaremos quatro subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 4). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
4
⇒ ℎ = 0,5 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 
x 0 0,5 1 1,5 2 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙
 1 0,666667 0,5 0,4 0,333333 
Pela Equação 4, que descreve o método dos retângulos com a altura 
tomada pela direita, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 0,5 ∙ [0,666667 + 0,5 + 0,4 + 0,333333] 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 0,95 
Exemplo 4: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura tomada 
pela direita. Adotaremos três subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
4 − 1
3
⇒ ℎ = 1 
 
 
 
 
8 
Assim, os valoresde 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 
x 1 2 3 4 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒆𝒆𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟓𝟓
 1,477811 10,919630 80,685759 596,191597 
Pela Equação 4, que descreve o método dos retângulos com a altura 
tomada pela direita, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 1 ∙ [10,919630 + 80,685759 + 596,191597] 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 687,796986 
2.3 Método dos retângulos com a altura centrada 
No caso do método dos retângulos com a altura centrada, a altura de cada 
subintervalo retangular é dada pelo valor da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚) para cada 𝑥𝑥𝑚𝑚 que 
indica que a posição da linha passa pelo centro desse retângulo (veja na Figura 
3). 
Figura 3 – Método dos retângulos com altura centrada 
 
Fonte: Fonseca ,2020. 
 
 
9 
O valor de 𝑥𝑥𝑚𝑚 pode ser determinado pela Equação 5. 
𝑥𝑥𝑚𝑚𝑖𝑖 =
𝑥𝑥𝑖𝑖−1 + 𝑥𝑥𝑖𝑖
2
 (5) 
Na Figura 3, podemos definir que: 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= �ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚1)� + �ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚2)� + �ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚3)� + �ℎ ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚4)� = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 
Sendo ℎ o valor do comprimento da base do retângulo multiplicado pela 
sua altura dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑚𝑚). 
Generalizando, podemos definir que a integral de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] 
é dada pela Equação 6 para o método dos retângulos com a altura centrada. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= ℎ ∙ �𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑚𝑚1� + 𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑚𝑚2� + 𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑚𝑚3� + ⋯+ 𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑚𝑚𝑛𝑛�� (6) 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotados. 
Exemplo 5: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura centrada. 
Adotaremos quatro subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 4). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
4
⇒ ℎ = 0,5 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 
x 0 0,5 1 1,5 2 
Com esses valores, podemos determinar os valores médios 𝑥𝑥𝑚𝑚 dos quatro 
intervalos pela Equação 5. Por exemplo, para determinar 𝑥𝑥𝑚𝑚1, 
𝑥𝑥𝑚𝑚1 =
𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥1
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚1 =
0 + 0,5
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚1 = 0,25 
 
 
10 
Para determinar 𝑥𝑥𝑚𝑚2, 
𝑥𝑥𝑚𝑚2 =
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚2 =
0,5 + 1
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚2 = 0,75 
Da mesma forma, calcula-se 𝑥𝑥𝑚𝑚3 e 𝑥𝑥𝑚𝑚4. 
𝑥𝑥𝑚𝑚3 =
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚3 =
1 + 1,5
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚3 = 1,25 
𝑥𝑥𝑚𝑚4 =
𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚4 =
1,5 + 2
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚4 = 1,75 
Podemos, então, definir o seguinte quadro: 
 xm1 xm2 xm3 xm4 
xm 0,25 0,75 1,25 1,75 
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒎𝒎) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝒎𝒎
 0,8 0,571429 0,444444 0,363636 
Pela Equação 6, que descreve o método dos retângulos com a altura 
centrada, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 0,5 ∙ [0,8 + 0,571429 + 0,444444 + 0,363636] 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,089755 
 
 
 
 
 
11 
Exemplo 6: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar o método dos retângulos com a altura centrada. 
Adotaremos três subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
4 − 1
3
⇒ ℎ = 1 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 
x 1 2 3 4 
Com esses valores, podemos determinar os valores médios 𝑥𝑥𝑚𝑚 dos quatro 
intervalos pela Equação 5. Por exemplo, para determinar 𝑥𝑥𝑚𝑚1, 
𝑥𝑥𝑚𝑚1 =
𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥1
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚1 =
1 + 2
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚1 = 1,5 
Para determinar 𝑥𝑥𝑚𝑚2, 
𝑥𝑥𝑚𝑚2 =
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚2 =
2 + 3
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚2 = 2,5 
Da mesma forma, calcula-se 𝑥𝑥𝑚𝑚3. 
𝑥𝑥𝑚𝑚3 =
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
2
 
𝑥𝑥𝑚𝑚3 =
3 + 4
2
⇒ 𝑥𝑥𝑚𝑚3 = 3,5 
 
 
 
12 
Podemos, então, definir o seguinte quadro: 
 xm1 xm2 xm3 
xm 1,5 2,5 3,5 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒆𝒆𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟓𝟓
 4,017107 29,682632 219,326632 
Pela Equação 6, que descreve o método dos retângulos com a altura 
centrada, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 1 ∙ [4,017107 + 29,682632 + 219,326632] 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 253, 026371 
TEMA 3 – MÉTODO DOS TRAPÉZIOS 
O método do trapézio consiste na aproximação da área do gráfico abaixo 
da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) com um trapézio para determinação da integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏
𝑎𝑎 . 
Entretanto, essa aproximação em apenas um trapézio pode resultar em um 
desvio grande em relação ao valor real da integral (Chapra; Canale, 2002). Por 
isso, podemos utilizar essa aproximação em múltiplos subintervalos de forma a 
aproximar melhor a área sob a curva com uma série de áreas trapezoidais, 
conforme mostra a Figura 4. 
Figura 4 – Método dos trapézios para integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
 
 
13 
Veja que, no segundo caso da Figura 4, o intervalor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] foi dividido em 
quatro subintervalos (𝑛𝑛 = 4). O método dos trapézios determina o passo ℎ pela 
Equação 2, de acordo com o número 𝑛𝑛 de subintervalos. Entretanto, esse passo 
ℎ não precisa ser constante. Pode-se adotar diferentes valores de ℎ para cada 
subintervalo. 
No segundo caso da Figura 4, podemos aproximar a integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏
𝑎𝑎 
da soma da área dos trapézios, 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
= �
ℎ ∙ �𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)�
2
� + �
ℎ ∙ �𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)�
2
� + �
ℎ ∙ �𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3)�
2
� + �
ℎ ∙ �𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4)�
2
� = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
=
ℎ
2
�𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 2�𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3)� + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4)� 
Sendo ℎ o valor do comprimento da altura do trapézio multiplicado pela 
soma das bases cujos comprimentos são dados por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) nos respectivos valores 
de 𝑥𝑥. 
Generalizando, podemos definir que a integral de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] 
é dada pela Equação 7 para o método dos trapézios. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
=
ℎ
2
�𝑓𝑓(𝑥𝑥0) + 2�𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + ⋯+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛−1)� + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)� (7) 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotados. 
Exemplo 7: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar o método dos trapézios. Adotaremos quatro 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 4). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
4
⇒ ℎ = 0,5 
 
 
 
 
 
14 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 
x 0 0,5 1 1,5 2 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙
 1 0,666667 0,5 0,4 0,333333 
Pela Equação 7, que descreve o método dos trapézios, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
=
0,5
2
∙ [1 + 2 ∙ (0,666667 + 0,5 + 0,4) + 0,333333] 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,116667 
Exemplo 8: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar o método dos trapézios. Adotaremos quatro 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
1 − 4
3
⇒ ℎ = 1 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 xm1 xm2 xm3 xm4 
xm 0,25 0,75 1,25 1,75 
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒎𝒎) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝒎𝒎
 0,8 0,571429 0,444444 0,363636 
Pela Equação 7, que descreve o método dos trapézios: 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
=
1
2
∙ [0,8 + 2 ∙ (0,571429 + 0,444444) + 0,363636] 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 390, 440093 
 
 
15 
TEMA 4 – REGRA DE SIMPSON 
Buscando melhor precisão nas estimativas, outra forma de determinar a 
integral de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em função de 𝑥𝑥, limitada em um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] é 
aproximando a área sob a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), mais complexa, de polinômios com alto 
grau (conforme Figura 5). Esse método de aproximação é denominado regra de 
Simpson (Chapra; Canale, 2002). 
Figura 5 – Regra de Simpson 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
Na Figura 5, a aproximação a partir dos pontos é feita para uma única 
função polinomial. Entretanto, podemos aplicar esse método em intervalos de 𝑥𝑥, 
de forma a aproximar um conjunto de pontosa uma função polinomial (Chapra; 
Canale, 2002), conforme veremos na regra 1/3 de Simpson e na regra 3/8 de 
Simpson. 
4.1 Regra 1/3 de Simpson 
Essa regra consiste na aproximação da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a função polinomial 
quadrática (Figura 6). Contudo, para esse método ser utilizado, é necessário 
atender algumas condições (Jarletti, 2018): 
• É preciso a definição de um passo ℎ constante. 
• É preciso a definição de um número 𝑛𝑛 de subintervalos par. 
 
 
16 
Veja na Figura 6 que essas condições são necessárias para que seja 
possível trabalhar com pares de subintervalos para as aproximações 
polinomiais, uma vez que a aproximação para uma função quadrática faz uso de 
três pontos. 
Figura 6 – Regra 1/3 de Simpson 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
Para determinar a integral da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em função de 𝑥𝑥 no intervalo 
[𝑎𝑎; 𝑏𝑏] pela regra 1/3 de Simpson, utilizaremos a Equação 8. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
=
1
3
ℎ ∙ � 𝑓𝑓
(𝑥𝑥0) + 4 ∙ (𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + ⋯ )
+2 ∙ (𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) + ⋯ ) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)� (8) 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotado. 
Exemplo 9: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar a regra 1/3 de Simpson. Adotaremos seis 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 6). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
6
⇒ ℎ = 0,333333 
 
 
 
17 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 
x 0 0,333333 0,666667 1 1,333333 1,666667 2 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 1 0,750000 0,6 0,5 0,428571 0,375 0,333333 
Pela Equação 8, que descreve a regra 1/3 de Simpson, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
=
1
3
(0,333333) ∙ � 1 + 4 ∙ (0,750000 + 0,5 + 0,375)
+2 ∙ (0,6 + 0,428571) + 0,333333� 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,098942 
Exemplo 10: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar a regra 1/3 de Simpson. Adotaremos três 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
4 − 1
3
⇒ ℎ = 1 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 
x 1 2 3 4 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒆𝒆𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟓𝟓
 1,477811 10,919630 80,685759 596,191597 
Pela Equação 8, que descreve a regra 1/3 de Simpson, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
=
1
3
(1) ∙ � 1,477811 + 4 ∙ (10,919630)
+2 ∙ (80,685759) + 596,191597� 
 
 
18 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 267, 573149 
4.2 Regra 3/8 de Simpson 
Essa regra consiste na aproximação da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a função polinomial 
de terceiro grau. Contudo, para esse método ser utilizado, é necessário atender 
algumas condições (Jarletti, 2018): 
• É necessária a definição de um passo ℎ constante. 
• É necessária a definição de um número 𝑛𝑛 de subintervalos múltiplo de 
três. 
Veja na Figura 7 que essas condições são necessárias para que seja 
possível trabalhar com subintervalos triplos para as aproximações polinomiais, 
uma vez que a aproximação para uma função polinomial de grau três faz uso de 
quatro pontos. 
Figura 7 – Regra 3/8 de Simpson 
 
Fonte: Fonseca, 2020. 
De forma semelhante ao método anterior, para determinar a integral da 
função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em função de 𝑥𝑥 no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] pela regra 3/8 de Simpson, 
utilizaremos a Equação 9. 
� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑏𝑏
𝑎𝑎
=
3
8
ℎ ∙ �𝑓𝑓
(𝑥𝑥0) + 3 ∙ (𝑓𝑓(𝑥𝑥1) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥5) + ⋯ )
+2 ∙ (𝑓𝑓(𝑥𝑥3) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥6) + ⋯ ) + 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛) � (9) 
 
 
19 
Sendo 𝑛𝑛 o número de subintervalos adotado. 
Exemplo 11: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2], podemos aplicar a regra 3/8 de Simpson. Adotaremos seis 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 6). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
2 − 0
6
⇒ ℎ = 0,333333 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 
x 0 0,333333 0,666667 1 1,333333 1,666667 2 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒙𝒙 1 0,750000 0,6 0,5 0,428571 0,375 0,333333 
Pela Equação 9, que descreve a regra 3/8 de Simpson, 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
=
3
8
(0,333333) ∙ �1 + 4 ∙ (0,750000 + 0,6 + 0,428571 + 0,375)
+2 ∙ (0,5) + 0,333333 � 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,099256 
Exemplo 12: 
Para determinar a integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [1; 4], podemos aplicar a regra 3/8 de Simpson. Adotaremos três 
subintervalos nesse exemplo (𝑛𝑛 = 3). 
Veja que o passo ℎ, determinado pela Equação 2, será de: 
ℎ =
4 − 1
3
⇒ ℎ = 1 
 
 
 
 
20 
Assim, os valores de 𝑥𝑥 que limitam os subintervalos são: 
 x0 x1 x2 x3 
x 1 2 3 4 
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒆𝒆𝟐𝟐𝒙𝒙
𝟓𝟓
 1,477811 10,919630 80,685759 596,191597 
Pela Equação 9, que descreve a regra 3/8 de Simpson, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
=
3
8
(1) ∙ [1,477811 + 3 ∙ (10,919630 + 80,685759) + 596,191597] 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 327,182091 
TEMA 5 – COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS 
Da mesma forma que o número de subintervalos afeta a precisão do 
resultado estimado para as integrais, os métodos adotados também interferem 
nessa precisão. 
Veja o caso da integração da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
1+𝑥𝑥
 em função de 𝑥𝑥 no 
intervalo [0; 2] nos diferentes métodos. Pelos métodos do cálculo diferencial e 
integral: 
�
1
1 + 𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
0
= 1,098612 
Vamos analisar o erro relativo encontrado em casa um dos exemplos de 
integração dessa função: 
MÉTODO NÚMERO DE 
SUBINTERVALOS RESULTADO 
ERRO 
RELATIVO 
(%) 
Retângulos com 
a altura tomada 
pela esquerda 
4 1,283333 16,81 
Retângulos com 
a altura tomada 
pela direita 
4 0,95 13,53 
 
 
21 
Retângulos com 
a altura centrada 4 1,089755 0,81 
Trapézios 4 1,116667 1,64 
1/3 de Simpson 6 1,098942 0,03 
3/8 de Simpson 6 1,099256 0,06 
Veja que, entre os métodos dos retângulos, o método que adota a altura 
tomada pelo centro foi o que apresentou menor erro relativo no valor estimado 
para integração. No caso do método dos retângulos com a altura tomada pela 
esquerda, houve um excesso, e no método dos retângulos com a altura tomada 
pela direita, houve uma falta. Isso acontece devido ao fato de f(x) ser uma função 
decrescente no intervalo de integração. No caso de funções f(x) crescentes, o 
método dos retângulos com a altura tomada pela esquerda gera faltas, e o 
método dos retângulos com a altura tomada pela direita, geram excesso, de 
forma contrária ao que observamos nesse caso. Entretanto, os erros relativos 
podem ser semelhantes (Jarletti, 2018). 
Podemos observar também que a mudança de métodos pode influenciar 
na precisão da estimativa. Veja que o método dos retângulos e o método dos 
trapézios foram todos calculados com quatro subintervalos. Ainda assim, o 
método dos trapézios apresentou um erro relativamente pequeno em relação ao 
método dos retângulos com a altura tomada pela esquerda e pela direita. Nesse 
caso, o método dos retângulos com a altura centrada ainda apresentou desvio 
menor que o método dos trapézios. 
Para uma melhor análise de como o número de subintervalos interfere na 
exatidão, vamos recalcular a integral pelo método dos trapézios adotando um 
maior número de subintervalos. Vamos adotar 10 subintervalos. 
Com 𝑛𝑛 = 10, teremos um passo de ℎ = 0,2. 
k xk f(xk) 
0 0 1,000000 
1 0,2 0,833333 
2 0,4 0,714286 
3 0,6 0,625000 
4 0,8 0,555556 
 
 
22 
5 1 0,500000 
6 1,2 0,454545 
7 1,4 0,416667 
8 1,6 0,384615 
9 1,8 0,357143 
10 2 0,333333 
Pelo método do trapézio, a integral é estimada em ∫ 1
1+𝑥𝑥
 𝑑𝑑𝑥𝑥2
0 = 1,101562. 
Esse valor apresenta um erro relativo de 0,27% em relação ao valor real obtido 
pelo método do cálculo diferencial e integral. Veja que o aumento do número de 
subintervalos reduzir de 4 para 10 reduziu de 0,81% para 0,27% esse desvio. O 
problema douso de muitos subintervalos é o aumento do número de operações 
matemáticas necessárias para a resolução da integração. 
Podemos observar também o aumento na precisão com o uso das regras 
de Simpson. Veja que ambas as implementações dessa regra (1/3 de Simpson 
e 3/8 de Simpson) apresentam erros relativos menores que o caso do uso do 
método dos trapézios com dez subintervalos. Mas a limitação no número de 
subintervalos nem sempre permite a implementação dessas regras. 
Vejamos agora a comparação dos métodos para integração da função 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 em função de 𝑥𝑥 no intervalo [1; 4] nos diferentes métodos. Pelos 
métodos do cálculo diferencial e integral, 
�
𝑟𝑟2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥
4
1
= 297,356893 
Vamos analisar o erro relativo encontrado em casa um dos exemplos de 
integração dessa função: 
MÉTODO NÚMERO DE 
SUBINTERVALOS RESULTADO 
ERRO 
RELATIVO 
(%) 
Retângulos com 
a altura tomada 
pela esquerda 
3 93,083200 68,70 
Retângulos com 
a altura tomada 
pela direita 
3 687,796986 131,10 
Retângulos com 
a altura centrada 3 253,026371 14,91 
 
 
23 
Trapézios 3 390,440093 31,30 
1/3 de Simpson 3 267,573149 10,02 
3/8 de Simpson 3 327,182091 10,03 
Veja que essa função foi calculada com o mesmo número de subintervalos 
para todos os métodos estudados. Nesse caso, a regra de Simpson foi a que 
apresentou uma melhor precisão na estimativa do resultado da integração. Entre 
elas, a regra 1/3 de Simpson foi a que apresentou melhor certeza. 
De modo semelhante que a comparação da integração da função anterior, 
o método dos trapézios também se mostrou mais preciso que os métodos dos 
retângulos com a altura tomada pela esquerda e com a altura pela direita. 
Ao ampliarmos o número de subdivisões do intervalo de integração, 
observamos também uma melhora na precisão da estimativa. Veja o caso de 
adotarmos 10 subintervalos no método dos trapézios. 
Com 𝑛𝑛 = 10, teremos um passo de ℎ = 0,2. 
k xk f(xk) 
0 1 1,477811 
1 1,3 2,692748 
2 1,6 4,906506 
3 1,9 8,940237 
4 2,2 16,290174 
5 2,5 29,682632 
6 2,8 54,085281 
7 3,1 98,549808 
8 3,4 179,569458 
9 3,7 327,196886 
10 4 596,191597 
Pelo método do trapézio, a integral é estimada em ∫ 𝑒𝑒2𝑥𝑥
5
 𝑑𝑑𝑥𝑥4
1 =
297,356893. Esse valor apresenta um erro relativo de 2,98% em relação ao valor 
real obtido pelo método do cálculo diferencial e integral. Veja que o aumento do 
número de subintervalos reduzir de 3 para 10 reduziu de 31,3% para 2,98% esse 
desvio. Mas, novamente, a ampliação dos números de subintervalos acarreta no 
aumento do número de operações matemáticas necessárias para a resolução 
da integração. 
 
 
24 
FINALIZANDO 
Nesta aula, compreendemos que a integração de uma função contínua 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) em função de 𝑥𝑥 e limitada no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], que não pode ser determinado 
por meio dos recursos algébricos do Cálculo diferencial e integral, pode ser 
estimada por meio de métodos numéricos aplicados. No entanto, essas 
estimativas podem ser aprimoradas com uso de recursos computacionais que 
possibilitam determinar melhores aproximações para a integração com a divisão 
desse intervalo em maior número de subintervalos. 
Existem diversos métodos numéricos para o cálculo de integrais de uma 
função. Alguns métodos, como as regras de Simpson, permitem uma melhor 
aproximação, mas acarretam limitações no número de subintervalos. Por esse 
motivo, o método dos trapézios é comumente empregado nas implementações 
computacionais, por utilizar operações simples e não apresentar limitações no 
número de subdivisões adotado. 
Uma limitação de todos os métodos estudados para integração numérica 
é que exigem que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) a ser integrada seja conhecida, impossibilitando 
a integração apenas a partir de pontos conhecidos sobre a função. 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers: with 
softwares and programming applications. 4th. ed. New York: The McGraw-Hill, 
2002. 
JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002. v. 1. 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS