Propriedades geométricas de uma área - Resistencia dos Materiais Hibbeler

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A.1 Centroide de uma área 
O centroide de uma área refere-se ao ponto que 
define o centro geométrico dela. Se a área tiver uma 
forma arbitrária, como mostra a Figura A. la, as coor­
denadas x e y que definem a localização do centroide 
C são determinadas pelas fórmulas 
x = y = (A.l) 
Os numeradores dessas equações são formulações 
do 'momento de primeira ordem' do elemento de área 
dA em torno dos eixos y e x, respectivamente (Figura 
A.lb ) ; os denominadores representam a área total A 
da forma. 
y 
(a) 
y 
T 
lL________--'----------x f--- x 
(b) 
Figura A.l 
Devemos observar que a localização do cen­
troide de algumas áreas pode ser especificada par­
cial ou completamente pelas condições de simetria. 
Nos casos em que a área tem um eixo de simetria, 0 
centroide estará localizado ao longo desse eixo. Por 
exemplo, o centroide C da área mostrada na Figura 
A.2 deve encontrar-se ao longo do eixo y, visto que, 
para cada área elementar dA à distância + x à direita 
do eixo y há um elemento idêntico à distância - x 
à esquerda. Portanto, o momento total para todos 
os elementos em torno do eixo de simetria se can­
celará; isto é, fx dA = O (Equação A.l) , de modo 
que x = O . Nos casos em que a forma tem dois eixos 
de simetria, decorre que o centroide encontra-se na 
interseção desses eixos (Figura A.3) . Tomando como 
base o princípio da simetria ou usando a Equação 
A.l , as localizações dos centroides para formas de 
área comuns são apresentadas na parte interna da 
primeira capa deste livro. 
Figura A.3 
Áreas compostas. Muitas vezes, uma área pode 
ser secionada ou dividida em várias partes com formas 
mais simples. Contanto que a área e a localização do 
centroide de cada uma dessas 'formas compostas' se­
jam conhecidas, podemos eliminar a necessidade de 
integração para determinar o centroide da área intei­
ra. Nesse caso, devem ser usadas equações análogas à 
Equação A. l , porém substituindo as integrais por si­
nais de somatório finito; isto é, 
- .2::XA 
X = .2:A 
.2:yA 
y = .2:A (A.2) 
Nessas expressões matemáticas, x e y representam 
as distâncias algébricas ou coordenadas x, y do centrai­
de de cada parte composta, e :kA representa a soma 
das áreas das partes compostas ou, simplesmente, a 
área total. Em particular, se um furo ou uma região 
geométrica onde não exista nenhum material estiver 
localizado no interior de uma parte composta, o furo 
será considerado uma parte composta adicional com 
área negativa. Além disso, como j á discutimos, se a área 
total for simétrica em torno de um eixo, o centroide da 
área encontra-se no eixo. 
O exemplo a seguir ilustra a aplicação da Equa­
ção A.2. 
Localize o centroide C da área da seção transversal da 
viga T mostrada na Figura A.4a. 
SOLUÇÃO I 
O eixo y está localizado ao longo do eixo de simetria, de 
modo que x = O (Figura A.4a) . Para obter y, definiremos o 
eixo x (eixo de referência) passando pela base da área, que 
é segmentada em dois retângulos como mostra a figura, e 
a localização y do centroide é definida para cada um deles. 
Aplicando a Equação A.2, temos 
_ _ 2:yA _ [5 cm](10 cm)(2 cm) + [11,5 cm](3 cm)(8 cm) y - -- -
2:A (10 cm)(2 cm) + (3 cm)(8 cm) 
= 8,55 cm Resposta 
SOLUÇÃO 1 1 
Usando os mesmos dois segmentos, o eixo x pode ser 
localizado na parte superior da área, como mostra a Figura 
A.4b. Nesse caso, 
_ _ 2:yA _ [-1,5 cm](3 cm)(8 cm) + [-8 cm](10 cm)(2 cm) 
y - 2:A - (3 cm)(8 cm) + (10 cm)(2 cm) 
= -4,45 cm 
3 cm 
-
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 569 
2 cm 
(a) 
-1,5 cm 
l I l Y 
c- t I 
-S em 
1'-r- c 
lO cm I 
L__ 
H 
2 cm 
(b) 
(c) 
Figma A.4 
O sinal negativo indica que C está localizado abaixo da 
origem, o que era previsível. Observe também que, pelas 
duas respostas, 8,55 cm + 4,45 cm = 13,0 cm, que também é 
a profundidade da viga. 
SOLUÇÃO I I I 
Pode-se também considerar que a área da seção trans­
versal é um único retângulo grande menos dois retângulos 
pequenos (Figura A.4c) . Então, teremos 
570 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
_ 2;yA _ [6,5 cm](l3 cm)(8 cm) - 2[5 cm](lO cm)(3 cm) 
Y = 2;A - (13 cm)(8 cm) - 2(10 cm)(3 cm) 
= 8,55 cm 
A.2 M omento de inércia 
uma á rea 
Resposta 
Quando calculamos o centroide de uma área, con­
sideramos o momento de primeira ordem da área em 
torno de um eixo; isto é, para executar o cálculo foi pre­
ciso calcular uma integral da forma fx dA. Há alguns 
tópicos da resistência dos materiais que exigem o cál­
culo de uma integral do momento de segunda ordem 
de uma área, isto é, J x2 dA. Essa integral é denominada 
momento de inércia de uma área. Para mostrar a defi­
nição formal do momento de inércia, considere a área 
A, mostrada na Figura A.5, que se encontra no plano 
x-y. Por definição, os momentos de inércia do elemento 
diferencial dA em torno dos eixos x e y são di, = y2dA e 
di = x2dA, respectivamente. Para a área inteira, o mo­
m�nto de inércia é determinado por integração, isto é, 
I, = 1 y2 dA 
I = 1 x2 dA y 
A 
(A.3) 
Também podemos expressar o momento de segun­
da ordem do elemento diferencial em torno do polo 
O ou eixo z (Figura A.5), denominado momento polar 
de inércia, di 0 = r2dA. Nessa expressão, r é a distância 
perpendicular entre o polo (eixo z) e o elemento dA. 
O momento polar de inércia para a área inteira é 
J 
0 
= 1 r2 dA = I.� + I y (A.4) 
A relação entre J 0 e I,, IY é possível, contanto que 
rz = x2 + y2 (Figura A.5). 
Pelas formulações acima, vemos que I,, IY e J 0 sem­
pre serão positivos, j á que envolvem o produto entre o 
quadrado de uma distância e uma área. Além disso, as 
unidades para o momento de inércia envolvem com­
primento elevado à quarta potência, por exemplo, m\ 
mm4 ou pé4, pol4• 
As equações acima foram usadas para calcular os 
momentos de inércia em torno dos eixos centroides de 
algumas formas de áreas comuns, apresentados no fi­
nal deste livro. 
y 
Figura A.5 
Teorema dos eixos paralelos para uma área. 
Se o momento de inércia de uma área em torno de 
um eixo centroide for conhecido, poderemos deter­
minar o momento de inércia da área em torno de um 
eixo paralelo correspondente por meio do teorema dos 
eixos paralelos. Para deduzir esse teorema, considere 
a determinação do momento de inércia em torno do 
eixo x da área mostrada na Figura A.6. Nesse caso, um 
elemento diferencial dA está localizado a uma distân­
cia arbitrária y' do eixo centroide x' , ao passo que a 
distância fixa entre os eixos paralelos x e x' é definida 
como d . Visto que o momento de inércia de dA em )' 
torno do eixo x é d( = (y' + dy)2dA, então, para a 
área inteira, 
I, = 1 (y ' + d)l dA 
= 1 y'2 dA + 2dy1 y' dA + d/ 1 dA 
O primeiro termo do lado direito represent� o 
momento de inércia da área em torno do eixo x' , Ix' . 
y y' 
1�\ r.-c ,�-w x' �d>1 �)' 
X 
o 
Figura A.6 
O segundo termo é zero, visto que o eixo x' passa pelo 
centroide da área C, isto é, f y' dA = y' A = O, já que 
y' = O. Portanto, o resultado final é 
- - 2 I, - I,· + Ady (A.S) 
Uma expressão semelhante pode ser escrita para 
Iv, isto é , 
- - 2 Iy - Il + Ad, (A.6) 
E, por fim, para o momento polar de inércia em tor­
no de um eixo perpendicular ao plano x-y e que passa 
pelo polo O (eixo z) (Figura A.6), temos 
(A.7) 
A forma de cada uma dessas equações estipula 
que o momento de inércia de uma área em torno de 
um eixo é igual ao momento de inércia em torno 
de um eixo paralelo que passa pelo 'centroide ' mais o 
produto entre a área e o quadrado da distância per­
pendicular entre os eixos. 
Áreas compostas. Muitas áreas de seção trans­
versal consistem em uma série de formas mais simples 
interligadas, como retângulos, triângulos e semicírcu­
los. Contanto que o momento de inércia de cada uma 
dessas formas seja conhecido ou possa ser determina­
do em torno de um eixo comum, o momento de inér­
cia da 'área composta ' pode ser determinado como a 
soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes 
compostas. 
Para determinar adequadamente o momento de 
inércia detal área em torno de um eixo específico, em 
primeiro lugar é necessário dividir a área em suas par­
tes compostas e indicar a distância perpendicular entre 
o eixo especificado e o eixo centroide paralelo de cada 
parte. A tabela apresentada no final deste livro pode 
ser usada para calcular o momento de inércia em torno 
do eixo centroide de cada parte. Se esse eixo não coin­
cidir com o especificado, o teorema do eixo paralelo, I 
= I + Ad2, deve ser usado para determinar o momento 
de inércia da parte em questão em torno do eixo espe­
cificado. Então, o momento de inércia da área inteira 
em torno desse eixo é determinado pela soma dos re­
sultados de suas partes compostas. Em particular, se 
uma parte composta tiver um 'furo' , o momento de 
inércia para a parte composta será determinado 'sub­
traindo-se' o momento de inércia do furo do momento 
de inércia da área inteira que inclui o furo. 
Os exemplos apresentados a seguir ilustram a apli­
cação desse método. 
PROPRIEDADES GEOMÉTF�ICAS DE UMA ÁREA 57 1 
Determine o momento de inércia da área da seção 
transversal da viga T mostrada na Figura A.7a em torno do 
eixo centro ide x' . 
SOLUÇÃO I 
A área é subdividida em dois retângulos como mostra a Fi­
gura A.7a para determinar a distância entre o eixo x' e cada 
eixo centroide. Pela tabela apresentada no final deste livro, 
o momento de inércia de um retângulo em torno de seu eixo 
centroide é I = l/12bh3• Aplicando o teorema dos eixos pa­
ralelos (Equação A.5), a cada retângulo e somando os resul­
tados, temos 
- 2 I = 2I,. + Ady 
2 cm 
(a) 
3 cm2 cm3 cm 
(b) 
Figura A.7 
= l l� (2 cm)(lO cm)3 + (2 cm)(lO cm)(8,55 cm - 5 cm)2 ] 
+ ll� (8 cm)(3 cm)3 + (8 cm)(3 cm)(4,45 cm - 1,5 cm)2] 
I = 646 cm4 Resposta 
SOLUÇÃO 1 1 
A área pode ser considerada como um único retângulo gran­
de menos dois retângulos pequenos, como mostram as linhas 
tracejadas na Figura A.7b. Temos 
572 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
I = 2],, + Ad/ 
= [ :2 (8 cm)(13 cm? + (8 cm)(13 cm)(8,55 cm - 6,5 cm? J 
- [ 1� (3 cm)(10 cm? + (3 cm)(10 cm)(8,55 cm - 5 cmf J 
I = 646 cm 4 Resposta 
Determine os momentos de inércia da área da seção 
transversal da viga mostrada na Figura A.8a em torno dos 
eixos centroides x e y. 
SOLUÇÃO 
A seção transversal pode ser considerada como três áreas 
compostas retangulares A, B e D mostradas na Figura A.8b. 
Para o cálculo, o centroide de cada um desses retângulos é 
localizado na figura. Pela tabela apresentada no final deste 
livro, o momento de inércia de um retângulo em torno de 
seu eixo centroide é I = 1/12bh3• Por consequência, usando 
o teorema dos eixos paralelos para os retângulos A e D, os 
cálculos são os seguintes: 
Retângulo A: 
- 2 1 3 l, = I,. + Ady = 12 ( 100 mm)(300 mm) 
+ (100 mm)(300 mm)(200 mm)2 
- 2 1 3 ly = I y' + Ad, = 12 (300 mm) (100 mm) 
+ ( 100 mm) (300 mm) (250 mm)2 
Retângulo 8: 
1 
l, = 12 (600 mm) (100 mm? = 0,05(109) mm4 
1 
Iy = 12 (100 mm)(600 mm? = 1 ,80(109) mm4 
Retângulo 0: 
1, = lx' + Ad/ = 1
1
2 ( 100 mm) (300 mm)3 
+ ( 100 mm)(300 mm)(200 mm)2 
y 
1 OO mm 
I 400 mm 
1f lOO mm 
,_I--
�-x 
400 mm j_ 
--i L_ 
l----600 mm �
lOOmm 
(a) 
(b) 
Figura A.8 
2 1 3 Iy = ly' + Adx = 12 (300 mm) (100 mm) 
+ ( 100 mm) (300 mm)(250 mm)2 
Logo, os momentos de inércia para a seção transversal 
inteira são 
3 
1, = 1,425(109) + 0,05(109) + 1,425( 109 ) 
= 2,90(109) mm4 Resposta 
ly = 1,90(109) + 1 ,80( 109) + 1,90(109) 
= 5,60(109) mm4 Resposta 
uto r a 
F 
uma area 
Em geral, o momento de inércia para uma área é di­
ferente para cada eixo em torno do qual é calculado. Em 
algumas aplicações de projeto mecânico ou estrutural, 
necessita-se saber a orientação desses eixos que dão, res­
pectivamente, os momentos de inércia máximo e mínimo 
da área. A Seção A.4 discute o método para determinar 
isso. Todavia, para utilizá-lo, em primeiro lugar deve-se 
calcular o produto de inércia para a área, bem como seus 
momentos de inércia para os eixos x, y dados. 
O produto de inércia para o elemento diferencial 
dA na Figura A.9, que está localizado no ponto (x, y ) , é 
definido como di,Y = xy dA. Dessa forma, para a área 
inteira A, o produto de inércia é 
(A.S) 
Corno ocorre para o momento de inércia, as unida­
des de comprimento do produto de inércia são eleva­
das à quarta potência, por exemplo, m4, mm\ pé\ pol4• 
Entretanto, visto que x ou y podem representar uma 
quantidade negativa, ao passo que o elemento de área 
é sempre positivo, o produto de inércia pode ser po­
sitivo, negativo ou zero, dependendo da localização e 
orientação dos eixos coordenados. Por exemplo, o pro­
duto de inércia I,Y para uma área será zero se o eixo x 
ou o eixo y, for um eixo de simetria para a área. Para 
mostrar isso, considere a área sombreada na Figura 
A.lü, na qual, para cada elemento dA localizado no 
ponto (x, y), há um elemento de área corresponden­
te dA localizado em (x, -y) . Visto que os produtos de 
inércia para esses elementos são, respectivamente, xy 
dA e -xy dA, quando da soma algébrica ou da inte­
gração de todos os elementos de área escolhidos desse 
modo, eles se cancelarão mutuamente. Por consequ­
ência, o produto de inércia para a área total torna-se 
zero. Além disso, decorre da definição de I," que o 'si­
nal' dessa quantidade depende do quadrante no qual 
a área está localizada. Como mostra a Figura A.ll , o 
sinal de l,Y mudará à medida que a área girar de um 
quadrante para outro. 
y 
L---------------�------- x 
Figura A.9 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 573 
y 
-=1 ( dA ��� 
---'----+-------�+Y 
____ �---?-- X 
\ ddAA��" __l::--yy � � � 
Figura A.lO 
y 
Figum A.ll 
Teorema dos eixos para lelos. Considere a 
área sombreada mostrada na Figura A.l2, na qual x ' 
e y' representam um conjunto de eixos centroides e x 
e y representam um conjunto correspondente de eixos 
paralelos. Considerando que o produto de inércia de 
dA em relação aos eixos x e y é di,Y = (x' + dx)(y' + 
dy)dA, para a área inteira, 
Ixy = 1 (x' + d,:) (y ' + dy) dA 
y y' 
r -----!-------- !------+'--- x' 
dy 
lL___--:--- X 
Figura A.12 
574 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
= r x'y' dA + d, r y' dA 
JA JA 
O primeiro termo à direita representa o p_!oduto de 
inércia da área em relação ao eixo centroide I,. v·· Os se­
gundo e terceiro termos equivalem a zero, já que os mo­
mentos da área são considerados em torno do eixo cen­
troide. Como sabemos que a quarta integral representa 
a área total A, temos, portanto, como resultado final 
(A.9) 
Deve-se notar a similaridade entre essa equação e o 
teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia. 
Em particular, é importante que os sinais algébricos para 
d, e dY sejam mantidos quando da aplicação da Equação 
A.9. Como ilustrado no exemplo a seguir, o teorema dos 
eixos paralelos encontra importante aplicação na deter­
minação do produto de inércia de uma área composta 
em relação a um conjunto de eixos x, y. 
Determine o produto de inércia da área da seção trans­
versal da viga mostrada na Figura A.13a em torno dos eixos 
centroides x e y. 
SOLUÇÃO 
Como no exemplo A.3, a seção transversal pode ser 
considerada como três áreas retangulares compostas, A, B 
e D (Figura A.13b ). As coordenadas para os centroides de 
cada um desses retângulos são mostradas na figura. Devido 
à simetria, o produto de inércia de cada retângulo é igual 
zero em torno de um conjunto de eixos x' , y' que passam 
pelo centroide do retângulo. Por consequência, a aplicação 
1 OO mm 
,J----1 
I 400 mm 
li lOO mm 
y 
�-x 
400 mm 
___,-
_l 
l---600 mm �
lOOmm 
(a) 
do teorema dos eixos paralelos a cada um dos retângulos 
dá como resultado 
Retângulo A: 
lxy = fx'y' + Ad,dy 
= O + (300 mm)(100 mm)( -250 mm) (200 mm) 
= -1,50(109) mm4 
Retângulo 8: 
Retângulo D: 
lxy = l.r'y' + Adxdy 
= 0 + 0 
= O 
lxy = Jx'y' + Adxdy 
= O + (300 mm) (100 mm) (250 mm) ( -200 mm) 
= -1,50(109) mm4 
Logo, o produto de inércia para a seção transversal in­
teira é 
I,y = [-1,50(109)) + O + [-1,50(109)]= -3,00(109) mm4 Resposta 
Momentos de inércia para 
u ma á rea em torn o de 
eixos inc l inados 
Em projeto mecânico ou estrutural, às vezes é ne­
cessário calcular os momentos e produtos de inércia I,. , 
Ii e I,'y' para uma área em relação a um conjunto de 
eixos x' e y' inclinados quando os valores de e, I,, IY e 
(b) 
Figma A.13 
y' y 
Figura A.14 
I"Y são conhecidos. Como mostra a Figura A.14, as co­
ordenadas para o elemento de área dA em relação aos 
dois sistemas de coordenadas estão relacionadas pelas 
equações de transformação 
x' = x cos 8 + y sen 8 
y' = y cos e - x sen e 
Por essas equações, os momentos e produto de 
inércia de dA em torno dos eixos x' e y ' tornam-se 
dix' = y'2 dA = (y cos e - X sen e? dA 
diy' = x'2 dA = (x cos 8 + y sen e)2 dA 
dix'y' = x'y ' dA 
= (x cos e + y sen e)(y cos e - x sen e) d� 
Expandindo cada expressão e integrando, e per­
cebendo que I" = f y2 dA, IY = J x2 dA e I"Y = J xy dA, 
obtemos 
I , = I cos2 e + I sen2 e 2I sen e cos e X X )' X)' 
I , = I sen2 e + I cos2 e + 2I sen e cos e )' X )' A)' 
I<'y' = I" sen e cos e - IY sen e cos e + I,/ cos2 e - sen2 e) 
Essas equações podem ser simplificadas por meio 
das identidades trigonométricas sen 2e = 2 sen e cos e 
e cos 2e = cos2 e - sen2 e, o que dá como resultado 
r1: + Iy I, Iy 
Ix' = 
2 + --2-- cos 2e - Ixy sen 2e 
l, + Iy 
I/ = �-2-
Ix - Iy 
2 
cos 2e + Ixy sen 2e (A. lO) 
Ix - Iy 
Ix'y' = 
2 
sen 2e + Ixy cos 2e 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 575 
Observe que, se somarmos a primeira e a segunda 
equações, veremos que o momento polar de inércia em 
torno do eixo z que passa pelo ponto O é independente 
da orientação dos eixos x' e y ' , isto é, 
10 = I", + I,. = I" + IY 
Momentos principais inércia. A Equação 
A.lü mostra que I,., Iv, e I<'y' dependem do ângulo de 
inclinação, e, dos eixos x' , y ' . Agora, determinaremos a 
orientação desses eixos em torno dos quais os momen­
tos de inércia da área, I,, e I", são máximos e mínimos. 
Esse conjunto particular de -eixos é denominado eixos 
principais de inércia para a área, e os momentos de 
inércia correspondentes em relação a esses eixos são 
denominados momentos principais de inércia. Em ge­
ral, há um conjunto de eixos principais para cada ori­
gem escolhida O; todavia, normalmente o centroide da 
área é a localização mais importante para O. 
o ângulo e = ep, que define a orientação dos eixos 
principais para a área, pode ser determinado diferen­
ciando a primeira Equação A. lO em relação a e e igua­
lando o resultado a zero. Assim, 
dix' (I, - Iy) 
de = -2 2 sen 2e - 2lxy cos 2e = ( 
Portanto, em e = e , 
p 
-Ixy 
tg 2ep = �----=---­Ux - Iy)/2 (A.ll) 
Essa equação tem duas raízes, eP1 e e
pz
' separadas 
por um ângulo de 90° e, portanto, especificam a incli­
nação de cada eixo principal. 
O seno e o cosseno de 2eP1 e 2eP2 podem ser obti­
dos pelos triângulos mostrados na Figura A.15, que se 
baseiam na Equação A.ll . Substituindo essas relações 
trigonométricas na primeira ou na segunda Equação 
A. lO e simplificando, o resultado é 
Jm:íx == mín 
1, + Iy 
2 ± 
(Ix - Iy)2 2 
2 + Ixy (A12) 
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá o 
momento de inércia máximo ou mínimo da área. Além 
do mais, se substituirmos tais relações trigonométricas 
para e e e na terceira Equação A.lO, veremos que p
o
l • p2 , d d · , · 1 - · I<'y' = ; Isto e, o pro uto e mercw em re açao aos eT-
xos principais equivale a zero. Visto que na Seção A.3 
indicamos que o produto de inércia é igual a zero em 
relação a qualquer eixo simétrico, decorre, por con­
sequência, que qualquer eixo simétrico representa wn 
eixo principal de inércia para a área. 
576 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Figma A.15 
Observe também que as equações deduzidas nesta 
seção são semelhantes àquelas para a transformação 
de tensão e deformação desenvolvidas nos capítulos 9 
e 10, respectivamente. O exemplo a seguir ilustra sua 
aplicação. 
Determine os momentos principais de inércia para a área 
da seção transversal da viga mostrada na Figura A.l6 cm rela­
ção a um eixo que passa pelo centroide C. 
y x' 
y' 
ep! = 57,1° f2a=t=r=-x 
SOLUÇÃO 
400 mm 
� 
-j r lOO mm 
600 mm --l 
Figura A.16 
Os momentos e o produto de inércia da seção transver­
sal em relação aos eixos x, y foram calculados nos exemplos 
A.3 e A.4. Os resultados são 
I, = 2,90(109)mm4 I" = 5,60(109)mm4 I,1 = -3,00(109)mm4 
A Equação A.ll nos dá os ângulos de inclinação dos 
eixos principais x' e y ' 
tg 21Jp = (1, - Iy)/2 
21Jp1 = 114,2° 
Logo, como mostra a Figura A.16 , 
epl = 57,1 o e ep2 = -32,9° 
Os momentos principais de inércia em relação aos eixos x' 
e y' são determinados pela Equação A.l2. Por consequência, 
ou 
2,90(109) + 5,60(109) 
2 
Imáx = 7,54(109)mm4 Resposta 
Especificamente, o momento de inércia max1mo, 
Imáx = 7,54(109)mm4, ocorre em relação ao eixo x' (eixo 
maior) j á que, por inspeção, grande parte da área da seção 
transversal encontra-se na posição mais afastada desse eixo. 
Provamos isso substituindo os dados na primeira Equação 
AlO por e = 57,1 ° . 
5 Círcu lo M oh r para 
momentos de inércia 
As equações A. lO a A.12 têm uma solução gráfica 
que é conveniente usar e, de modo geral, fácil de lem­
brar. Elevando ao quadrado a primeira e a terceira das 
Equações A.10 e somando, temos como resultado ( I, + Iy)2 2 (I, - Iy)2 2 I,· -
2 
+ I,'y' = 
2 
+ I,y (A.l3) 
Em qualquer problema dado, I,. e I,,. são variáveis e 
I,, IY e I,Y são constantes conhecidas. Assim, a Equação 
A.13 pode ser escrita em forma compacta como 
(I,, - a)2 + I,./ = R2 
A representação gráfica dessa equação é um círcu­
lo de raio 
�(Ix - 1v)2 
2 R = 
2 
+ I,y 
cujo centro está localizado no ponto (a, 0), onde a = 
(I, + I)/2. O círculo construído dessa maneira é deno­
minado círculo de Mohr. Sua aplicação assemelha-se à 
usada para as transformações de tensão e deformação 
desenvolvidas nos capítulos 9 e 10, respectivamente. 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 577 
A principal finalidade da utilização do círculo de Mohr aqui é dispor de um modo conveniente para transformar I,, 
I,. e I,Y nos momentos principais de inércia. O procedimento descrito a seguir nos dá um método para fazer isso. 
Calcule I , I e I . X y Xl 
Determine os eixos x, y para a área, com a origem localizada no ponto P de interesse, normalmente o centroide, 
e determine I,, IY e I,Y (Figura A.17a). 
y y' R= (lx - I;'{ 2 -2-) + I,y 
I,---t 
\1 
l,y 
(a) (b) 
Figura A.17 
Construa o círculo 
Determine um sistema coordenado retangular tal que a abscissa represente o momento de inércia I e a ordenada 
represente o produto de inércia I9, (Figura A.17b ). Determine o centro do círculo, C, que está localizado a uma distân­
cia (/, + Iv)/2 da origem, e marque o 'ponto de referência' A cujas coordenadas são (/,, /".). Por definição, I, é sempre 
positivo, ao passo que I,)' será ou positivo ou negativo. Ligue o ponto de referência A ao céntro do círculo e determine 
a distância CA por trigonometria. Essa distância representa o raio elo círculo (Figura A.17b.) Por fin1, trace o círculo. 
Momentos principais de inércia 
Os pontos onde o círculo intercepta a abscissa dão os valores dos momentos principais de inércia /mín e /máx' Obser­
ve que o produto de inércia será igual a zero nesses pontos (Figura A.l7b ). 
Para determinar a direção elo eixo principal maior, calcule por trigonometria o ângulo 28pl' medido entre o raio 
CA e o eixo I positivo (Figura A.17b ). Esse ângulo representa duas vezes o ângulo entre o eixo x e o eixo ele momento 
ele inércia máximo I . (Figura A.17a). O ângulo no círculo, 28 1 , e o ângulo na área, 8 1, devem ser medidos no mesmo mnx p p sentido, como mostrado na Figura A.l7. O eixo menor serve para o momento de inércia mínimo /mín' que é perpendi-
cular ao eixo maior que define lmáx' 
Use o Círculo de Mohr para determinar os momentos 
principais de inércia para a área da seção transversal da 
viga mostrada na Figura A.l8a, em relação aoseixos que 
passam pelo centroide C. 
SOLUÇÃO 
Calcule l,, I>' l,y- Os momentos de inércia e o produ­
to de inércia foram determinados nos exemplos A.3 e A.4 
em relação aos eixos x, y mostrados na Figura A.l8a. Os 
resultados são I, = 2,90(109)mm4, IY = 5,60(109)mm4 e 
(y = -3,00(109)mm4• 
Construa o círculo. Os eixos I e I são mostrados na xy 
Figura A.18b. O centro do círculo, C, está a uma distância 
(I, + 1)12 = (2,90 + 5,60)/2 = 4,25 da origem. Ligando o 
ponto de referência A(2,90, -3,00) ao ponto C, o raio CA 
pode ser determinado aplicando o teorema de Pitágoras ao 
triângulo sombreado CBA: 
CA = V(1,35)2 + ( -3,00)2 = 3,29 
O círculo construído é mostrado na Figura A.18c. 
Momentos principais de inérda. O círculo intercepta o 
eixo I nos pontos (7,54, O) e (0,960, 0). Por consequência, 
lmix = 7,54(109)mm4 
lmín = 0,960(109)mm4 
Resposta 
Resposta 
578 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
y' 
y x' I 
Bp1 = 57,1° 
c 
=r-x 
lOO mm 400 mm j_ 
---j r lOO mm 
600 mm---l 
(a) 
A(2,90, -3,00) 
(b) 
--Imáx = 7,54 �-
0 960 jJ r-, I 
A(2,90, -3,00) 
(c) 
Figura A.18 
Como mostra a Figura A.18c, o ângulo 2()P1 é medido no 
próprio círculo, em sentido m1fi-horário a partir de CA, na 
direção do eixo I positivo, Por consequência, 
2() = 180° - tg -1( IBAI ) = 180° - tg-1(3'00) = 114 2° PI IBCI 1 ,35 , 
Portanto, o eixo maior principal [para Imáx = 
7,54(109)mm4] está orientado a um ângulo ()P1 = 57,1 o me­
dido em sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. O 
eixo menor é perpendicular a este eixo. Os resultados são 
mostrados na Figura A.18a. 
A.l. Determine a localização y do centroide C para a área 
da seção transversal da viga. A viga é simétrica em relação 
ao eixo y. 
y 
Problema A.l 
A.2. Determine y, que marca a localização do centroide, e a 
seguir calcule os momentos de inércia 7,. e �- para a viga T. 
y 
Problema A.2 
A.3. Determine a localização (:X, y ) do centro ide C; a se­
guir, determine os momentos de inércia �-· e I, . . 
y 
�<--��<--- 3 cm ---1 
l cm 
Problema A.3 
'A.4. Determine o centroide y para a área da seção trans­
versal da viga; a seguir, calcule I,, . 
A.5. Determine I" para a viga que tenha a área de seção transversal mostrada. 
25 mm 25 mm 
Problemas A.4/5 
A.6. Determine :X que localiza o centroide C; a seguir, de­
termine os momentos de inércia I,. , � .. para a área da seção 
transversaL 
· 
y y' 
---'---- X 
�120mm� 40 mm 
Problema A.6 
A.7. Determine os momentos de inércia I, e IY da seção Z. 
A origem das coordenadas está no centroide C. 
20cL Y 
rÍ= �- X ZO mm I I C � - 200 mm T- 6oo mm�{_/__L 20mm 
I f 20 mmiJI 
Problema A.7 
''A.S. Determine a localização (:X, y) do centroide C da área 
da seção transversal da cantoneira e, então, calcule o produto 
de inércia em relação aos eixos x ' e y ' . 
y 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 579 
Problema A.S 
A.9. Determine o produto de inércia da área da seção 
transversal em relação aos eixos x e _v cuja origem está loca­
lizada no centroide C. 
y 
Problema A.9 
A.lO. Localize o centroide (:X, y) da s�çi!_o da canaleta e, a 
seguir, calcule os momentos de inércia I,. , IY, 
A.ll. Localize o centroide (:X, y) da seção da canaleta e, a 
seguir, determine o produto de inércia Y,'y' em relação aos 
eixos x' e y' , 
y y' 
15 mffi 
300mm 
y 
_,__ __
_ 
'----�·-·· . ·-·'-]Tis mm x 
� 125 mm� 
Problemas A.l0/11 
580 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
""A.12. Localize a posição (:X, y) do centroide C da área da 
seção transversal e, a seguir, determine o produto de inércia 
em relação aos eixos x ' e y'. 
y' 
Problema A.l2 
A.13. Determine o produto de inércia da área em relação 
aos eixos x e y. 
l cm 
l------- 12 cm-------l 
P1·oblema A.13 
A.14. Determine os momentos de inércia I,. e IY. da área 
sombreada. 
40 mm 
Problema A.14 
A.15. Determine os momentos de inércia I,. e I,.. e o pro-
duto de inércia l,'y' para a área semicircular. · 
y 
X 
Problema A.15 
''A.16. Determine os momentos de inércia I,. e IY, e o pro­
duto de inércia I,./ para a área retangular. Os eixos x' e y' 
passam pelo centroide C. 
y 
Problema A.16 
A.17. Determine os momentos principais de inércia da 
área da seção transversal em torno dos eixos principais cuja 
origem está localizada no centroide C. Use as equações de­
senvolvidas na Seção A.4. Para o cálculo, considere que to­
dos os cantos são quadrados. 
A.18. Resolva o Problema A.l7 usando o Círculo de 
Mohr. 
y 
_LV2 cm-li 
o,zsT- 1 
0,25 cm - I 
2 cm 
...----=c� __ ,L_[ __ 
x 
2 cm 
Problemas A.17/18 
A.19. Determine os momentos principais de inércia para 
a área da seção transversal da cantoneira em relação a um 
conjunto de eixos principais cuja origem está localizada no 
centroide C. Use as equações desenvolvidas na Seção A.4. 
Para o cálculo, suponha que todos os cantos são quadrados. 
*A.20. Resolva o Problema A.19 usando o círculo de 
Mohr. 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 581 
20 mm 
Pl'oblemas A.19/20