Lista de Exercícios 3

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Lista de Exercícios - 3
Equações Diferenciais Ordinárias
Prof. Dr. Rodrigo Labiak
Problema 1 Determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de
homogeneidade quando for o caso.
(a) x3 + 2xy2 − y4
x
(b)
√
x+ y(4x+ 3y)
(c) x3y−x2y2
(x+8y)2
(d) x
y2+
√
x4+y4
(e) cos x2
x+y
(f) sin x
x+y
(g) lnx2 − 2 ln y
(h) lnx3
ln y3
(i) (x−1 + y−1)2
(j) (x+ y + 1)2
Problema 2 Resolva a equação diferencial homogênea dada usando uma substi-
tuição apropriada.
(a) (x− y)dx+ xdy = 0
(b) (x+ y)dx+ xdy = 0
(c) xdx+ (y − 2x)dy = 0
(d) ydx = 2(x+ y)dy
(e) (y2 + yx)dx− x2dy = 0
(f) (y2 + yx)dx+ x2dy = 0
(g) dy
dx = y−x
y+x
(h) dy
dx = x+3y
3x+y
(i) 2x2ydx = (3x3 + y3)dy
(j) (x4 + y4)dx− 2x3ydy = 0
(k) (x2 + xy − y2)dx− xydy = 0
(l) (x2 + xy − 3y2)dx− (x2 + 2xy)dy = 0
Problema 3 Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indi-
cada.
(a) xy2 dydx = y3 − x3, y(1) = 2
(b) (x2 + 2y2)dx = xydy, y(−1) = 1
(c) 2x2 dydx = 3xy + y2, y(1) = −2
(d) xydx− x2dy = y
√
x2 + y2dy, y(0) = 1
(e) (x+ ye
y
x )dx− xe
y
xdy = 0, y(1) = 0
(f) y2dx+ (x2 + xy + y2)dy = 0, y(0) = 1
Problema 4 Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
1
(a) (2x− 1)dx+ (3y + 7)dy = 0
(b) (2x− y)dx− (x+ 6y)dy = 0
(c) (5x+ 4y)dx+ (4x− 8y3)dy = 0
(d) (sin y − y sinx)dx+ (cosx+ x cos y − y)dy = 0
(e) (2y2x− 3)dx+ (2yx2 + 4)dy = 0
(f) (x3 + y3)dx+ 3xy2dy = 0
(g) (3x2y + ey)dx+ (x3 + xey − 2y)dy = 0
Problema 5 Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indi-
cada.
(a) (x+ y)2dx+ (2xy + x2 − 1)dy = 0, y(1) = 1
(b) (ex + y)dx+ (2 + x+ yey)dy = 0, y(0) = 1
(c) (4y + 2x− 5)dx+ (6y + 4x− 1)dy = 0, y(−1) = 2
2