Álgebra Linear - Matrizes

Prévia do material em texto

Aula 1 - Álgebra Linear
1. Matrizes
1.1 Definição : uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 am3 . . . amn
m×n
Esta matriz é dita matriz de ordem m × n porque tem m linhas e n colunas.
O elemento numérico na i-ésima linha e j-ésima coluna de A será denotado por aij e será
chamado de elemento i, j de A.
As colunas de A são vetores do ℝm e serão denotados por u1, ....., un. Focalizamos nossa
atenção nessas colunas sempre que escrevemos
A = u1 u2. . . . .un.
Por exemplo, na matriz
A =
1 2 −1
3 4 6
5 −1 7
, de ordem 3, os vetores colunas são os vetores u1 =
1
3
5
,u2 =
2
4
−1
e u3 =
−1
6
7
.
Os elementos diagonais de A = aij são a11, a22, a33, . . . .e eles formam a diagonal principal de
A
● Matriz quadrada : Matrizes com o mesmo número de linhas e de colunas são chamadas
de matrizes quadradas.
A matriz acima é um exemplo de matriz quadrada de ordem 3.
No MATLAB: digite a matriz de nome A:
A diagonal principal de A é:
Os vetores colunas de A são:
● Matriz nula ou matriz zero : Uma matriz zero apresenta todos os elementos nulos e é
representada pelo símbolo 0.
No MATLAB: O = zerosm,n define uma matriz nula de ordem m × n.
● Matriz identidade : Uma matriz n × n com aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j é
chamada de matriz identidade n × n. Usa-se o símbolo In para representá-la.
No MATLAB: I = eyen define a matriz identidadede ordem n.
● Matriz diagonal : Uma matriz A, n × n, com aij = 0, para i ≠ j é chamada de matriz
1
diagonal.
No MATLAB: Define o vetor da diagonal, por exemplo, u = 1 2 3 4. Digita-se
D = diagu, formando uma matriz diagonal de ordem 4.
● Matriz triangular inferior : Uma matriz A, n × n, com aij = 0, para i < j é chamada de
matriz triangular inferior.
No MATLAB: help tril
● Matriz triangular superior : Uma matriz A, n × n, com aij = 0, para i > j é chamada de
matriz triangular superior.
No MATLAB: help triu
● A transposta de uma matriz : Dada uma matriz m × n , a transposta de A é uma matriz
n × m, denotada por A t, cujas colunas são formadas com as linhas correspondentes de A.
No MATLAB: definida uma matriz A, a transposta de A é a matriz A′.
Exemplo:
Sejam
A =
a b
c d
, B =
−5 2
1 −3
0 4
, C =
1 1 1 1
−3 5 −2 7
A t =
a c
b d
, B t =
−5 1 0
2 −3 4
, Ct =
1 −3
1 5
1 −2
1 7
1.2 Adição de Matrizes
Assim como a soma de vetores colunas é feita componente a componente, cada elemento
de A + B é a soma dos elementos correspondentes de A e B. A soma A + B está definida apenas
quando A e B são do mesmo tipo.
Exemplo:
Sejam A =
4 0 5
−1 3 2
, B =
1 1 1
3 5 7
, C =
2 −3
0 1
Então
● A + B =
5 1 6
2 8 9
, mas A + C não está definida porque A e C são de tipos diferentes.
1.3 Multiplicação de matriz por escalar
Se k é um escalar e A é uma matriz, então k vezes A, digo, kA é uma matriz cujas colunas
são k vezes as colunas correspondentes de A. Assim como os vetores, definimos −A como
sendo −1A.
Sejam A =
4 0 5
−1 3 2
, B =
1 1 1
3 5 7
, então
2 B = 2
1 1 1
3 5 7
=
2 2 2
6 10 14
A − 2 B =
4 0 5
−1 3 2
−
2 2 2
6 10 14
=
2 −2 3
−7 −7 −12
2
TEOREMA 1
Se A, B e C matrizes do mesmo tipo e sejam r e s escalares.
a) A + B = B + A d) rA + B = rA + rB
b) A + B + C = A + B + C e) r + sA = rA + sA
c) A + 0 = A f) rsA = rsA
1.4 Produto Escalar entre dois vetores
Sejam os vetores x =
x1
x2
:
xn
e y =
y1
y2
:
yn
vetores do ℝn.
O produto escalar entre os vetares x e y , é definido da seguinte forma:
x.y = x1.y1 + x2.y2 +. . . . . .+xnyn
Exemplo:
x =
1
2
3
e y =
3
2
1
x.y = 1.3+ 2.2+ 3.1 = 10
No MATLAB: Define-se o vetor linha x e o vetor coluna y. Faz x ∗ y.
1.5 Multiplicação de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B, o produto AB só é possível quando o número de colunas da
primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, A ordem da matriz AB será o
número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Exemplo: Calcule AB, onde A =
2 3
1 −5
e B =
4 3 6
1 −2 3
Então
AB =
11 0 21
−1 13 −9
Observe que
11 é o produto escalar entre os vetores
2
3
4
1
0 é o produto escalar entre os vetores
2
3
3
−2
21 é o produto escalar entre os vetores
2
3
6
3
3
-1 é o produto escalar entre os vetores
1
−5
4
1
13 é o produto escalar entre os vetores
-9 é o produto escalar entre os vetores
Exemplo: Se A é uma matriz 3 × 5 e B é uma matriz 5 × 2, quais são os tipos AB e BA, caso
estejam definidas?
TEOREMA 2
Seja Am×n, e sejam B e C com os tipos corretos de modo que as somas e os produtos estejam
definidos.
a) ABC = ABC (propriedade associativa da multiplicação)
b) AB + C = AB + AC (propriedade distributiva à esquerda)
c) B + CA = BA + CA (propriedade distributiva à direita)
d) rAB = rAB = ArB para todo escalar r
e) ImA = A = AIn (elemento neutro da multiplicação de matrizes)
Mostre que as matrizes
A =
5 1
3 −2
e B =
2 0
4 3
não comutam. Isto é, verifique que AB ≠ BA.
Cuidados:
1. Em geral, AB ≠ BA.
2. As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, se AB
= AC, então não é verdade, em geral, que B = C .
3. Se o produto AB for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0.
TEOREMA 3 (sobre a transposta de uma matriz e operações matriciais)
Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para as seguintes somas e produtos.
a) A t t = A
b) A + B t = A t + B t
c) Para qualquer escalar rA t = rA t
d) AB t = B t.A t
1.6 Potências de Matriz
Se A é uma matriz n × n e se k é um inteiro positivo, então Ak denota o produto
Ak = A.A. . . . .A, k vezes.
No MATLAB : para ver como as operações matriciais são definidas vá em
Help, Matlab Help , index, matrix , addition (por exemplo).
Auxílio : Matlab_Introd _Dotto. Disponível em Acervo, Disciplina.
4
The list of operators includes
+ Addition
- Subtraction
.* Element-by-element multiplication
./ Element-by-element division
.\ Element-by-element left division
.^Element-by-element power
.’ Unconjugated array transpose
Sugestão de atividades
Exercícios página 100 da bibliografia básica.
5