relatório leito fixo

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RESUMO 
Muitas operações unitárias envolvem a interação entre um sólido e um 
fluido, cuja eficácia do contato entre as faces é um fator determinante para o 
resultado do processo. A fluidização é a principal técnica para o engenheiro 
realizar esse contato entre fluido e superfície do sólido, e ela consegue reduzir 
as resistências de transporte de massa e calor, promovendo uma mistura 
eficiente e boa homogeneização do material, sendo que um exemplo desse 
procedimento é o Leito Fixo. Nele, o fluxo passa de maneira ascendente pelas 
partículas sólidas, e para a caracterização de um reator PBR, é necessário o 
estudo dos regimes de escoamento do gás, além de dados como perfis de 
porosidade, média de tamanho de partícula e diâmetro dos poros. As colunas 
desse leito possuem várias vantagens, como baixa queda de pressão, alta taxa 
de transferência de massa e de calor. Colocou-se em operação um leito fixo com 
partículas de vidro e, sendo a água o meio fluido do processo, ligando a bomba 
e abrindo a válvula para obter-se diferentes vazões de água para o leito, sendo 
as quais foram 4,225.10-5, 9,857.10-5 e 1,864.10-4 (m³/s). Para cada uma destas 
vazões, foi realizada a leitura da queda de pressão fazendo uso do manômetro 
em U, preenchido com tetracloreto. Conforme alterou-se a vazão, também foi 
medido a altura do leito com o auxílio de uma régua. Com os valores obtidos 
experimentalmente, e o diâmetro do leito, determinou-se a área do leito (3,85. 
10-3 m2), e realizou-se o gráfico de ΔP/Δz.q versus q, cujos valores de 
coeficientes angular e linear foram de, respectivamente, 400.749.618,25 e 
58.880.103,35. Assim, foi possível determinar-se os valores de fator c e 
permeabilidade do leito, cujos valores foram de 1,581 e 1,546.10-11 m2, 
respectivamente. Já os valores estimados de porosidade e do produto Dp.ϕ 
foram de, respectivamente, 0,199 e 0,000044 m. A fim de comparar os valores 
experimentais com correlações teóricas, seria necessária uma maior coleta de 
dados, ou conhecimento específico das propriedades físicas do leito, como por 
exemplo a esfericidade, a massa e diâmetro das partículas. Assim, como 
sugestão, recomenda-se a realização de testes futuros com a estimação da 
permeabilidade do leito e fator c em outros pontos do leito comparando-os com 
os valores obtidos teoricamente. 
 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
1.1 Introdução 
Muitas operações unitárias envolvem a interação entre um sólido e um 
fluido, cuja eficácia do contato entre as faces é um fator determinante para o 
resultado do processo. A principal técnica para o engenheiro realizar esse 
contato entre fluido e superfície do sólido é a fluidização. (Gomide, 1980). 
 A fluidização é uma técnica que consegue reduzir as resistências de 
transporte de massa e calor, promovendo uma mistura eficiente e boa 
homogeneização do material. Ela pode ser dividida em 3 técnicas distintas: Leito 
Fixo, Leito Fluidizado e Leito Móvel (Nitz & Guardani). 
 No Leito Fixo, o fluxo passa de maneira ascendente pelas partículas 
sólidas, e para a caracterização de um reator PBR, é necessário o estudo dos 
regimes de escoamento do gás, além de dados como perfis de porosidade, 
média de tamanho de partícula e diâmetro dos poros. As colunas desse leito 
possuem várias vantagens, como baixa queda de pressão, alta taxa de 
transferência de massa e de calor (Foltin, 2013). 
 Assim, o objetivo da prática é a obtenção dos parâmetros permeabilidade 
e fator “c” do meio poroso, analisando-se a queda de pressão do leito com 
relação a vazão de operação. 
 
1.2 Queda de pressão em leito fixo 
 
Para determinar a queda de pressão em leito fixo, inicia-se pelas 
equações da continuidade e do movimento, respectivamente, dadas por: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ ∇ · 𝜌�⃗� = 0 
(1.2.1) 
𝜌
𝜕�⃗�
𝜕𝑡
+ �⃗� · ∇⃗ �⃗� = −∇⃗𝑝 + ∇ · 𝜏 + 𝜌�⃗� 
(1.2.2) 
As quais, para um leito fixo são representadas da seguinte forma: 
𝜕(𝜌𝜀)
𝜕𝑡
+ ∇ · 𝜌�⃗� = 0 
(1.2.3) 
𝜌𝜀
𝜕�⃗�
𝜕𝑡
+ �⃗� · ∇⃗ �⃗� = −∇⃗𝑝 − �⃗� + ∇⃗ · 𝜏 + 𝜌�⃗� 
(1.2.4) 
Em que, ԑ é a porosidade do leito, q é velocidade superficial do fluido (m 
s-1), u é a velocidade intersticial do fluido (m s-1), m é a força resistiva entre o 
fluido e a partícula, τ é a tensão e g é a aceleração da gravidade (m s-2). 
A força resistiva (m, N m-³) e a tensão (τ, N m-²) são função da velocidade 
superficial (q) relativa a um referencial fixo à matriz. 
Considerando um fluido newtoniano, regime permanente, um meio 
isotrópico e homogêneo, escoamento uniforme e estabelecido, a equação do 
movimento resumida a: 
0 = −∇⃗𝑝 − �⃗� + 𝜌�⃗� (1.2.5) 
A qual é conhecida como equação de Darcy. 
Em escoamento incompressível, a equação de Darcy se torna: 
−∇⃗𝑃 = �⃗� (1.2.6) 
Na qual, P é a pressão piezométrica, dada por: 
𝑃 = 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 (1.2.7) 
em que z é a distância do ponto em questão, positiva na direção contrária à 
gravidade. 
Em baixas velocidades, a força resistiva (m) varia linearmente com a 
velocidade superficial (q), dada pela Lei de Darcy: 
�⃗� =
𝜇
𝑘
�⃗� (1.2.8) 
Em que, μ é a viscosidade do fluido e k a permeabilidade do meio. 
Já em altas velocidades, a Lei de Darcy é modificada para a forma 
quadrática de Forchheimer: 
�⃗� =
𝜇
𝑘
1 +
𝑐𝜌√𝑘|�⃗�|
𝜇
�⃗� 
(1.2.9) 
Na qual c é um parâmetro adimensional que depende apenas de fatores 
estruturais da matriz porosa, desde que não ocorram interações físico-químicas 
entre a matriz e o fluido. 
A equação de Forchheimer (1.2.9) é válida para o escoamento viscoso em 
meios isotrópicos homogêneos ou heterogêneos, ou seja, em que k é constante 
e c é variável com a posição no sistema. 
Em situações em que o escoamento do fluido na matriz porosa é lento, ou 
seja, as equações (1.2.10) ou (1.2.11) são verdadeiras, a equação (1.2.9) recai 
na forma linear e então é conhecido como escoamento Darcyano, o qual está 
associado à validade da Lei de Darcy. 
𝑅𝑒 =
𝑐𝜌√𝑘𝑞
𝜇
< 0,01 
(1.2.10) 
𝑅𝑒 =
𝜌. 𝑑 . 𝑞
𝜇(1 − 𝜀)
< 10 
(1.2.11) 
 
1.3 Determinação Experimental da Permeabilidade e do Fator C 
 
De acordo com Moreira, 2019, a permeabilidade e o fator c são 
determinados experimentalmente por permeametria através de medidas 
experimentais de vazão e queda de pressão, conforme apresenta a Figura 1.3.1. 
 
Figura 1.3.1. Esquema de um permeâmetro (Moreira, 2019). 
 
Tem-se que a equação de Darcy, Equação 1.2.6, se torna na Equação 
1.3.1 para o esquema da Figura 1.3.1 
−
𝑑𝑃
𝑑𝑍
=
𝜇 ∙ 𝑞
𝑘
+
𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑞
√𝑘
 (1.3.1) 
 
onde z está no sentido da vazão (Q) na Figura 1.3.1. 
Aplicando a definição de integral na Equação 1.3.1 resulta-se em 
equações para dois casos, um no qual o escoamento é incompressível e outro 
para escoamento compressível e isotérmico de um gás ideal, respectivamente 
as Equações 1.3.2 e 1.3.3. 
1
𝑞
−
∆𝑃
𝐿
=
𝜇
𝑘
+
𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑞
√𝑘
 
 
(1.3.2) 
 
�̅�
𝐺
−
∆𝑃
𝐿
=
𝜇
𝑘
+
𝑐
√𝑘
𝐺 
 
(1.3.3) 
 
onde G é dada pela Equação 1.3.3. 
𝐺 = �̅� ∙ 𝑞 
 
(1.3.4) 
 
E, determina-se a massa específica média (�̅�) pela Equação 1.3.3 
�̅� =
𝜌 + 𝜌
2
=
𝑀
𝑅 ∙ 𝑇
 𝑝 +
∆𝑃
2
 
 
(1.3.5) 
 
Logo, as formas lineares das Equações 1.3.2 e 1.3.3 permitem calcular 
com facilidade os valores de k e c. 
 
1.4 Equação de Ergun (1952) 
 
Ergun propôs que a perda de carga em um meio poroso é proporcional ao 
quadrado da vazão de fluido empregada, como segue: 
−
∆P
ρ
=
(1 − ε)
ε
∙ f ∗
L
d
q (1.4.1) 
onde 
f ∗ =
150
Re
+ 1,75 
 
(1.4.2) 
 Substituindo a Equação 1.4.2 em 1.4.1, tomando dp = .Dp, tem-se: 
−
∆P
L
= 150
(1 − ε)
ΦD ε
μq + 1,75
(1 − ε)
ΦD ε
ρq² 
 
(1.4.3) 
conhecida como Equação de Ergun, extensamente utilizada para avaliar a queda 
de pressão em escoamentos em leitos porosos, para porosidades entre 0,35 e 
0,50. Comparando a Equação 1.43 com a equação constitutiva de Forchheimer 
(1.2.9), obtém-se: 
k =
ΦD ε
150(1 − ε)
 (1.4.4) 
c =
0,14
𝜀 /(1.4.5) 
 Para porosidades acima de 0,50, recomenda-se o emprego da Equação 
de Blake-Konezy-Carman: 
−
∆P
L
= A
(1 − ε)
ΦD ε
μq + B
(1 − ε)
ΦD ε
ρq² 
 
(1.4.6) 
onde A é a constante de Blake-Konezy e B é a constante de Burke-Plummer, 
ambas funções da porosidade e do número de Reynolds da partícula. A 
constante “A” aumenta com o aumento da porosidade, enquanto a constante “B” 
diminui com o aumento da porosidade. Correlações para a determinação de dos 
parâmetros A e B são definidas a seguir: 
A = 36k (1.4.7) 
B = Ω√A 
 
(1.4.8) 
na Equação de Ergun (1.4.3), verifica-se que kKOZ = 25/6 e  = 0,143. 
Massarani propôs uma correlação para Ω presente no Quadro 1.1 válida 
para porosidades de 0,15 a 0,75. 
Massarani propôs duas correlações para kKOZ dadas por: 
𝑘 = 0,6.
𝜀 ,
1 − 𝜀
 (1.4.9) 
𝑘 =
𝜀
2. (1 − 𝜀). (4,8. 𝜀 − 3,8)
 (1.4.10) 
 
Beetstra et al. (2007) propuseram para 𝜀.Re<1.000: 
A = 180 +
18. 𝜀
1 − 𝜀
. 1 + 1,5√1 − 𝜀 (1.4.11) 
𝐵 =
0,31[𝜀 + 3. (1 − 𝜀) + 8,4. (𝜀. 𝑅 ) , ]
1 + 10 .( )(𝜀. 𝑅 ) . ,
 
 
(1.4.12) 
Para os casos em que D/dp < 10, as constantes A e B necessitam da 
correção devido ao efeito de parede e isso pode ser feito utilizando os termos de 
correção de Reichelt (Eisfeld e Schnitzlein, 2001) o que transforma a equação 
de Ergun em: 
∆𝑃
𝐿
= 𝐾 . 𝐴 .
(1 − 𝜀)
𝑑 . 𝜀
. 𝜇. 𝑞 +
𝐴
𝐵
.
(1 − 𝜀)
𝑑 . 𝜀
. 𝜌. 𝑞 
 
(1.4.13) 
onde: 
𝐴 = 1 +
2
3. 𝐷 𝑑⁄ . (1 − 𝜀)
 (1.4.14) 
𝐵 = 𝑘 .
𝑑
𝐷
+ 𝑘 
 
(1.4.15) 
A Tabela 1.4.1 apresenta os valores das constantes K1, k1 e k2 para 
esferas, cilindros e todas as partículas. 
 
Tabela 1.4.1: Valores de K1, k1 e k2 para esferas, cilindros e todas as 
partículas (Moreira, 2019). 
Formas K1 k1 k2 
Esferas 154 1,15 0,87 
Cilindros 190 2,00 0,77 
Todas as partículas 155 1,42 0,83 
 
A porosidade para esferas em leito fixo pode ser obtida de forma 
aproximada por (Ribeiro et al., 2010): 
𝜀 = 0,373 + 0,917. exp −0,824.
𝐷
𝑑
 (1.4.16) 
2. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
Colocou-se em operação um leito fixo com partículas de vidro e, sendo a 
água o meio fluido do processo, ligando a bomba e abrindo a válvula para obter-
se diferentes vazões de água para o leito, sendo as quais foram 4,225E-5, 
9,857E-5 e 1,864E-4 m³/s. Para cada uma destas vazões, foi realizada a leitura 
da queda de pressão fazendo uso do manômetro em U, preenchido com 
tetracloreto. Conforme alterou-se a vazão, também foi medido a altura do leito 
com o auxílio de uma régua. 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
A fim de definir o fator c e a permeabilidade, k, do meio, foram estimadas 
as quedas de pressão (ΔP) para três vazões volumétricas diferentes, e para as 
seguintes alturas, conforme a Tabela 1, a seguir. 
Tabela 1 – Dados obtidos experimentalmente. 
Vazão (m3/s) Altura do leito (m) Queda de pressão (Pa) 
4,224.10-5 0,03 80,05 
9,857.10-5 0,03 192,12 
1,864.10-4 0,625 8965,55 
Com o diâmetro do leito de 10 cm foi possível estimar a área do mesmo, 
e então plotar o gráfico da Equação (1.3.1), linearizada, ilustrado na Figura 1. 
 
Figura 1 - Gráfico da variação de pressão pelo comprimento versus velocidade 
superficial. 
Com os coeficientes linear (56.880.103,35) e angular (400.749.618,25) foi 
possível estimar o fator c e a permeabilidade do meio de 1,581 e 1,546.10-11 m2, 
respectivamente. 
Com uso das Equações (XXX) e (XXX) estimou-se a porosidade do meio 
e o produto Dp.φ. Os valores estimados estão apresentados na Tabela 2 abaixo. 
Tabela 2 - Parâmetros estimados. 
Fator c Permeabilidade (m2) Porosidade Dp.φ (m) 
1,581 1,546.10-11 0,199 0,000044 
 
Com intuito de comparar os valores experimentais com correlações 
teóricas, seria necessária uma maior coleta de dados, ou conhecimento 
específico das propriedades físicas do leito, como diâmetro da partícula, 
esfericidade e massa de partículas. 
 
 
 
 
 
 
R² = 0,95
y = 4E+08x + 6E+07
0,00E+00
1,00E+07
2,00E+07
3,00E+07
4,00E+07
5,00E+07
6,00E+07
7,00E+07
8,00E+07
9,00E+07
0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 6,00E-02
Δ
P
/Δ
z.
q
q (m/s)
5. CONCLUSÃO 
 
 Foi possível determinar experimentalmente o Fator c e a permeabilidade 
do leito, sendo eles 1,581 e 1,546.10-11 m² respectivamente. Assim, como 
sugestão, recomenda-se a realização de testes futuros com a estimação da 
permeabilidade do leito e fator c em outros pontos do leito comparando-os com 
os valores obtidos teoricamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS 
 
Moreira, M. F.P. Leito fixo e leitos expandidos. Toledo-PR, 2019. 
Gomide, R. (1983). OPERAÇÕES UNITÁRIAS. 1° volume: operações com 
sistemas sólidos granulares. São Paulo. 
Nitz, M., Guardani, R. Fluidização Gás-Sólido – Fundamentos e Avanços. Escola 
de Engenharia Mauá, Centro Universitário do Instituto Mauá de Tecnologia. 
Departamento de Engenharia Química, Escola Politécnica da USP. 
Foltin, J.P. (2013). Avaliação da perda de carga em leito fixo de partículas 
irregulares utilizando xisto betuminoso, analisando a modelagem 
matemática através do efeito de parede e porosidade. Dissertação de 
Mestrado, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química, Universidade 
Federal do Paraná.