Matemática - Teórico_VOLUME4

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VIVENCIANDO
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO 
INCIDÊNCIA DO TEMA 
NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁREAS DE 
CONHECiMENTO DO ENEM
TEORIA
MULTiMÍDiA
CONEXÃO ENTRE DiSCiPLiNAS
DiAGRAMA DE iDEiAS
HERLAN FELLiNi
Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclu-
siva metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. 
O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. 
O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de 
forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo 
complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. 
A seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidado-
sa seleção de conteúdos multimídia para complementar o reper-
tório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreen-
são, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o apro-
fundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, 
imagens, artigos e até sugestões de aplicativos que facilitam os 
estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades 
de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno.
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreen-
são de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos 
temas para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. 
Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvol-
vida a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há 
uma preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato 
em seu dia a dia.
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resol-
vê-las com tranquilidade.
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em 
suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aqueles 
que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio de 
esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da 
aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos princi-
pais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organização dos 
estudos e até a resolução dos exercícios.
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Mate-
mática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com 
essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do 
dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, 
sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o aluno consegue 
entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz 
parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compila-
dos, deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e co-
mentados, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difí-
cil compreensão torne-se mais acessível e de bom entendimento 
aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, 
a qualquer momento, as explicações dadas em sala de aula.
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Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2021
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Herlan Fellini
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Diretor-geral
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Coordenador-geral
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lação, tendo por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do 
qual seja necessária a inclusão de informação adicional, ficamos à disposição para 
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA
GEOMETRIA ESPACIAL
Aulas 27 e 28: Função composta 6
Aulas 29 e 30: Funções trigonométricas 10
Aulas 31 e 32: Equações e inequações modulares 30
Aulas 33 e 34: Funções modulares 37
Aulas 27 e 28: Inequações trigonométricas 50
Aulas 29 e 30: Princípio fundamental da contagem 55
Aulas 31 e 32: Fatorial e permutações simples e com repetição 60
Aulas 33 e 34: Arranjos 67
Aulas 27 e 28: Volume de prismas 76
Aulas 29 e 30: Pirâmides e troncos de pirâmides 84
Aulas 31 e 32: Cilindros 96
Aulas 33 e 34: Cones e troncos de cone reto 103
SUMÁRIO
UFMG
A prova trará uma questão sobre as funções, 
na primeira ou segunda fase. Questões com 
temas aplicados ao nosso cotidiano ocorrem 
com frequência.
A prova exigirá conceitos mais específicos 
sobre as funções estudadas neste livro, e 
equações e inequações podem aparecer com 
grau elevado de dificuldade.
Na primeira e segunda fase podem aparecer 
funções modulares e/ou função trigonométrica, 
aplicadas em questões muito bem elaboradas e 
com elevado grau de dificuldade.
Questões de função composta e trigono-métricas podem aparecer relacionadas com 
questões de domínio e imagem.
Questões elaboradas com boa interpretação 
de texto em funções trigonométricas. Dentre 
os temas abordados, módulo pode ser o 
mais difícil.
Apresenta alta incidência de função com-
posta, além de questões sobre inequações 
modulares e funções trigonométricas muito 
difíceis.
A prova possui questões com elevado grau de 
dificuldade.
A prova do Enem tem baixa incidência em 
questões das funções abordadas. Mesmo assim, 
quando aparece, pode ser uma questão difícil.
Funções modulares aparecem pouco e funções 
compostas ocorrem bastante. Os temas são 
abordados em questões com elevado grau de 
dificuldade.
O candidato pode se deparar com funções 
compostas em questões contextualizadas e 
medianas. Funções trigonométricas ocorrerão 
de forma objetiva.
A prova de Matemática é diferente da prova 
do Enem, com questões de pouco texto e mais 
objetividade. Saber os conceitos de funções 
trigonométricas é fundamental.
A prova apresenta questões com os temas 
deste livro junto com outros grandes temas da 
Matemática.
A prova apresenta poucas questões, porém 
abordando vários temas da Matemática. 
Assim, o candidato deve trazer todos os 
conceitos anteriores para somar com as aulas 
deste livro.
A prova de Matemática é muito bem 
elaborada, por isso, as aulas deste livro são 
totalmente necessárias para a resolução das 
questões.
A prova apresenta questões bem elaboradas 
em aritmética. Podem ocorrer questões de 
módulos e sua função, além de funções 
trigonométricas.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁLGEBRA
 6
1. Funções compostas
1.1. Definição
Considere as funções f: A → B e g: B → C. Lembre-se de que:
 § A é o conjunto domínio da função f;
 § B é o contradomínio da função f e domínio da função g; e
 § C é o contradomínio da função g.
É chamada de função composta de g com f a função g + f: 
A → C, tal que: 
(g + f)(x) = g(f(x))
Na forma de diagrama, tem-se:
x
A
B
C
f(x)
gf
g o f
g[f(x)]
g + f
Note que, como a função g + f associa valores do conjun-
to A diretamente a valores do conjunto C, o domínio da 
função composta é A, e seu contradomínio é o conjunto C.
Observe um procedimento análogo para as funções f: A → 
B, definida por f(x) = 2x, e g: B → C, definida por 
g(x) = x2. Perceba que o contradomínio B da função 
f é o mesmo domínio da função g.
 § f: A → B: a cada x [ A associa-se um único y [ B, tal 
que y = 2x
 § g: B → C: a cada y [ B associa-se um único z [ C, 
tal que z = y2
Nesse caso, é possível considerar uma terceira função 
h: A → C, que faz a composição entre as funções f e g:
A B
f g
z
h
yx
C
 § h: A → C: a cada x [ A associa-se um único z [ C, tal 
que z = y2 = (2x)2 = 4x2
Essa função h de A em C, dada por h(x) = 4x2, é denomina-
da função composta de g e f.
De modo geral, para indicar como o elemento z [ C é de-
terminado de modo único pelo elemento x [ A, escreve-se:
z = g(y) = g(f(x))
1.1.1. Notação
A função composta de g e f será indicada por g + f 
(lê-se: g bola f).
(g + f)(x) = g(f(x))
Fonte: Youtube
Resolução de funções compostas
multimídia: vídeo
Aplicação do conteúdo
1. Sendo f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = 3 – x, determine g(x).
 § Como tem-se f[g(x)], substitui-se x por g(x) em f(x):
f(x) = 2x – 1
f[g(x)] = 2g(x) – 1
FUNÇÃO 
COMPOSTA
HABILIDADES: 12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5
AULAS 27 e 28
 7
 § Como se sabe que f[g(x)] = 3 – x, tem-se:
2g(x) – 1 = 3 – x 
 § Isolando g(x):
g(x) = 4 – x ____ 
2
 
2. Sendo f(x) = 2x + 1 e f o f(k) = 5, calcule o valor de k.
 § Se f o f(k) = 5, então f(f(k)) = 5. Calculando f(k):
f(k) = 2k + 1
 § Calculando f(f(k)):
f(f(k)) = f(2k + 1)
 § Substituindo na função f:
f(2k + 1) = 2(2k + 1) + 1 = 4k + 3
 § Como f(f(k)) = f(2k + 1) = 5, tem-se:
4k + 3 = 5
k = 1 __ 
2
 
3. Se f(x) = 1 _____ 
x − 8
 e g(x) = 2x2, encontre o domínio da 
função f(g(x)).
 § O domínio da função f(x) pode ser calculado da se-
guinte maneira:
x – 8 ≠ 0
x ≠ 8
 § No entanto, observe que, calculando f(g(x)), obtém-se:
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 – 8
 
 § Note que é possível calcular:
f(g(8)) = 1 _______ 
2(8)2 – 8
 = 1 ___ 
120
 
 § Ou seja, os domínios de f(x) e de f(g(x)) são diferentes. 
O domínio da composta deve ser calculado a partir da 
própria f(g(x)):
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 − 8
 
 § O domínio é dado por:
2x2 − 8 ≠ 0
x2 ≠ 4
x ≠ ±2
 § Assim, o domínio de f(g(x)) é R − {±2}.
1.2. Condição de existência
 § Contradomínio de f (CDf) seja igual ao domínio de g (Dg).
Modelo
Considere:
f: A → B g: B → C
f(x) = 2x – 3 g(x) = 5x
Assim:
Em f: Em g:
Para x = 1, tem-se: Para x = –1, tem-se:
f(1) = 2 · 1 – 3 = –1 g(– 1) = 5 · (–1) = –5
Para x = 2, tem-se: Para x = 1, tem-se:
f(2) = 2 · 2 – 3 = 1 g(1) = 5 · 1 = 5
Para x = 3, tem-se: Para x = 3, tem-se:
f(3) = 2 · 3 – 3 = 3 g(3) = 5 · 3 = 15
Na forma de diagrama, tem-se:
1
A
B
C
g(-1)g(1)g(3)
f(1)
f(2)
f(3)
-5
h(1)
h(2)
h(3)
5
15
-1
1
3
2
3
Note que existe uma função h que transforma diretamente 
os elementos de A em C. Assim:
 § h: A → C
 § h(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = 5 · (2x – 3) = 10x – 15
 § h(1) = 10 · 1 – 15 = –5
 § h(2) = 10 · 2 – 15 = 5
 § h(3) = 10 · 3 – 15 = 15
 § h(x) = 10x – 15 é denominada função composta de g 
com f, podendo ser representada por:
h(x) = (g + f) (x) ⇒ lê-se “g bola f de x”.
ou
h(x) = g(f(x)) ⇒ lê-se “g de f de x”.
Assim, segue que h representa a aplicação da função g em 
f, e a função f, por sua vez, aplica-se em x.
 8
A função composta é utilizada em diversas situações. Por exemplo, quando é possível relacionar mais de duas gran-
dezas por meio de uma mesma função. Pode-se dizer que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera de 
uma determinada cidade depende da quantidade de carros que trafega por ela; no entanto, a quantidade de carros 
varia com o tempo. Em consequência, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo, o que determina 
uma função composta.
VIVENCIANDO
As funções compostas estão diretamente relacionadas às ações geológicas da Terra. Um geofísico, por exemplo, ao 
analisar precipitações no interior do planeta ou ao estudar características de novos planetas, necessita de mais de 
duas grandezas para relacionar temperatura, relevo, altura e pressões do ambiente. Além disso, as funções compostas 
também estão presentes na Medicina. No procedimento médico conhecido como angioplastia, os médicos inserem 
um cateter numa veia ou artéria e inflam um pequeno balão de formato esférico até que ele atinja certo volume. Por 
meio da função composta, pode-se determinar o tempo que o balão leva para atingir o volume necessário.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 9
DIAGRAMA DE IDEIAS
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
CD(f) = D(g)
A
B
C
(g + f) (x) = g[f(x)]
FUNÇÃO COMPOSTA
REPRESENTANDO 
EM DIAGRAMA
f: A B
g: B C
g + f: A C 
REPRESENTAÇÃO DA 
FUNÇÃO COMPOSTA
x
f(x)
g(x)
g + f
f g
 10
Em razão disso, definimos a função seno como a função 
real de variáveis reais que associa a cada número real x o 
valor real senx, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = senx
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para posterior 
obtenção do valor senx; bem como já foi estudado como 
obter os valores de senx para quaisquer valores x de medi-
das de ângulos (ou arco). A título de lembrança, x – medida 
de ângulo (ou arco) – é expresso em radianos.
1.1. Gráfico da função seno
Para montar o gráfico da função seno, é necessário construir 
uma tabela com valores de x da primeira volta positiva. Há 
casos em que o seno será usado com valores aproximados.
x 0 p __ 6 p __ 4 p __ 3 p __ 2 2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p
senx 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0
senx 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
x 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
senx – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 
dXX 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0
senx –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0
Primeiramente, observe o gráfico para x [ [0, 2p]; e, em 
seguida, para x [ R:
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
HABILIDADES: 12, 15, 17, 18, 19, 20 e 21
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5
AULAS 29 e 30
1. Estudo da função seno
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do 
seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
R R
Uma vez que a função f(x) = senx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva pode ser esten-
dida para valores de x menores que zero e maiores que 2p. Portanto, o gráfico da função f: R é R, definida por f(x) = senx, é 
a curva chamada senoide, cujo aspecto é este:
 11
Observações sobre a função seno
1. O domínio de f(x) = senx é R, uma vez que, para qualquer valor real de x, existe um e apenas um valor para senx.
2. O conjunto imagem de f(x) = senx é o intervalo [–1, 1].
3. A função seno não é sobrejetiva, uma vez que [–1, 1] i R, isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4. A função seno não é injetiva, uma vez que os valores diferentes de x resultam no mesmo f(x). Por exemplo:
sen p __ 
2
 = sen 5p ___ 
2
 = sen ( – 3p ___ 
2
 ) = ... = 1
5. A função seno é função ímpar, isto é, seja qual for x [ D(f) = R, sen (–x) = –sen(x). Por exemplo:
sen ( – p __ 
6
 ) = –sen ( p __ 6 ) = – 1 __ 
2
 
1.2. Periodicidade da função seno
Ao observar o gráfico da função seno, nota-se que a função repete periodicamente seus valores nos intervalos ..., [–2p, 0], 
[0, 2p], [2p, 4p],... Por isso, diz-se que a função seno é periódica.
Como se pode observar no gráfico anterior:
senx = sen(x + 2p) = sen(x + 4p) = ... para todo x [ R
Por isso, diz-se que o período da função seno é 2p, e indica-se p = 2p.
Para encontrar o período, basta observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para que ele comece a se repetir.
1.3. Sinal da função seno
Ao observar o sinal da função seno, nota-se que a função é positiva – para valores do primeiro e segundo quadrantes – e 
negativa – para valores do terceiro e quarto quadrantes.
 12
1.4. Variação da função seno
Considerando valores de x [ [0, 2p], observe o que acon-
tece com senx1 e senx2 para x1 > x2 nos quatro quadrantes:
primeiro quadrante
x1
x2
segundo quadrante
x1
x2
terceiro quadrante
x1
x2
quarto quadrante
x2
x1
No gráfico:
Analisada a variação em cada quadrante, obtém-se o se-
guinte quadro:
 § Primeiro quadrante: se x cresce de 0 a p __ 
2
 , senx cresce 
de 0 a 1;
 § Segundo quadrante: se x cresce de p __ 
2
 a p, senx decres-
ce de 1 a 0;
 § Terceiro quadrante: se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , senx decres-
ce de 0 a –1;
 § Quarto quadrante: se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, senx cresce 
de –1 a 0.
1.5. Resumo sobre a função seno
1. Função seno é a função de R em R definida por f(x) = senx.
2. A função seno tem D = R e Im = [–1, 1].
3. A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4. A função seno é função ímpar, isto é, –senx = sen(–x), 
∀ x ∈ R.
5. A função seno é periódica com período p = 2p.
6. senx = 0, para x = kp, com k [ Z.
7. senx > 0, para x do 1.º e 2.º quadrantes e senx = 1 
para x = p __ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
8. senx < 0, para x do 3.° e 4.° quadrantes e senx = –1 
para x = 3p ___ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
Aplicação do conteúdo
1. Determine os valores reais que m pode assumir para 
que exista um número real x que satisfaça a igualdade 
senx = 2m – 3.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx ≤ 1 ä –1 ≤ 2m – 3 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
–1 ≤ 2m – 3 ≤ 1 ä –1 + 3 ≤ 2m ≤ 1 + 3 ä 2 ≤ 2m ≤ 4 
ä 1 ≤ m ≤ 2
 13
Logo, os valores de m são dados pelo conjunto:
{m [ R | 1 ≤ m ≤ 2}
2. Determine os valores reais de m para os quais a 
equação senx = m2 – m – 1 tenha solução.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx ≤ 1 ä –1 ≤ m2 – m – 1 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
m2 – m – 1 ≤ 1 ä m2 – m – 2 ≤ 0
D = 9
m’ = 2 e m” = –1
S1 = {m [ R | –1 ≤ m ≤ 2}
m2 – m – 1 ≥ –1 ä m2 – m ≥ 0
D = 1
m’ = 1 e m” = 0
S2 = {m [ R | m ≤ 0 ou m ≥ 1}
Quadro de resolução:
Os valores de m são dados por:
{m [ R | –1 ≤ m ≤ 0 ou 1 ≤ m ≤ 2}
3. Determine os valores máximo e mínimo da função 
y = 2 + 3 · senx.
Resolução:
Para –1, que é o valor mínimo de senx, obtém-se:
 y = 2 + 3(–1) = –1.
Para 1, que é o valor máximo de senx, obtém-se:
y = 2 + 3 · 1 = 5.
Logo, ymin = –1 e ymax = 5.
Observação: dessa forma, também pode-se afirmar que 
a imagem dessa função é [–1, 5].
2. Estudo da função cosseno
Dado um número real x, pode-se associar a ele o valor do 
cosseno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
R R
Em razão disso, define-se a função cosseno como a função 
real de variáveis reais, que associa a cada número real x, 
cosseno de x, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = cosx
Já foi estudado o processo que permite associar um número 
real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter o 
valor cosx. Estudou-se também como obter os valores de 
cosx para quaisquer valores x de medidas de ângulos (ou 
arco). A título de lembrança, x, medida de ângulo (ou arco), 
é expresso em radianos.
2.1. Gráfico da função cosseno
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = cosx, para x [ [0, 2p] e, em seguida, para x [ R. Alguns valores 
de cosx serão aproximados.
x 0 p __ 6 p __ 4 p __ 3 p __ 2 2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___ 
3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
cosx 1 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0 – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – √
__
 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1
cosx 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
 14
Uma vez que a função f(x) = cosx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é , a curva pode ser 
estendida para valores menores que zero e maiores que 2p. Por isso, o gráfico da função f: R é R, definida por f(x) = cosx, 
é a curva chamada de cossenoide, cujo aspecto é este:
Observações sobre a função cosseno
1. A cossenoide não é uma nova curva, mas uma se-
noide transladada p __ 
2
 unidades para a esquerda. Obser-
ve no gráfico da senoide que, se o eixo y for inscrito no 
ponto de abscissa x = p __ 
2
 , obtém-se exatamente o grá-
fico daquela cossenoide. Resultado: a maioria dos 
aspectos relevantes da função cosseno é a mesma 
da função seno.
2. O domínio é o mesmo – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem D = .
3. A imagem é a mesma – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem Im = [–1, 1].
4. O período é o mesmo – a função cosseno é periódi-
ca de período p = 2p.
5. A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva.
6. A função cosseno é par, pois cos(-x)=cos(x) ? x [ R.
As diferenças entre a função cosseno e a função seno di-
zem respeito aos aspectos que dependem dos valores das 
imagens associados aos domínios, que transladam p __ 
2
 uni-
dades para a esquerda.
2.2. Sinal da função cosseno
Ao observar o sinal da função f(x) = cosx, nota-se que a 
função cosseno é positiva para valores do primeiro e do 
quarto quadrantes, e negativa para valores do segundo e 
do terceiro quadrantes.
2.3. Variação da função cosseno
y
x
1
0 p __ 
2
 3p ___ 
2
 
-1
 2p p
 15
Analisada a variação no intervalo [0, 2p], obtém-se 
este quadro:
 § Primeiro quadrante: se x cresce de 0 a p __ 
2
 , cosx decresce 
de 1 a 0;
 § Segundo quadrante: se x cresce de p __ 
2
 a p, cosx decres-
ce de 0 a –1;
 § Terceiro quadrante: se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , cosx cresce 
de –1 a 0;
 § Quarto quadrante: se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, cosx cresce 
de 0 a 1.
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valorde sen ( – p __ 
6
 ) + cos ( – p __ 
4
 ) .
Resolução:
Uma vez que a função seno é ímpar, sen(–x) = –senx.
Portanto, sen ( – p __ 
6
 ) = –sen p __ 
6
 = – 1 __ 
2
 .
Uma vez que a função cosseno é par, cos(–x) = cosx.
Portanto, cos ( – p __ 
4
 ) = cos p __ 
4
 = 
dXX 2 ___ 
2
 .
Assim, sen ( – p __ 
6
 ) + cos ( – p __ 
4
 ) = – 1 __ 
2
 + 
dXX 2 ___ 
2
 = 
dXX 2 – 1 ______ 
2
 .
3. Estudo da função tangente
Por definição, função tangente é a função real de variáveis 
reais que associa a cada número real x o valor tgx, desde 
que x não seja p __ 
2
 nem 3p ___ 
2
 ; bem como nenhum de seus res-
pectivos arcos côngruos, isto é:
f: D ∫ R
x ∫ f(x) = tgx
do qual D = { x [ R | x ≠ p __ 
2
 + kp, k [ Z } .
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter 
o valor de tgx. Estudou-se também como obter os valores 
de tgx para quaisquer valores de x ( x ≠ p __ 
2
 + kp, k [ Z ) 
de medidas de ângulos (ou arcos). A título de lembrança, x, 
medida do ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
3.1. Gráfico da função tangente
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = tgx 
no intervalo [0, 2p].
À medida que x tende aos valores em que tgx não existe 
( p __ 
2
 , 3p ___ 
2
 ) e seus respectivos arcos côngruos, como ( 5p ___ 
2
 , 7p ___ 
2
 etc. ), 
o gráfico da tangente tende ao infinito (positivo ou negati-
vo). As retas verticais tracejadas nesses valores são chama-
das assíntotas verticais, ou seja, retas essas cujo ponto de 
interseção com o gráfico tende ao infinito.
Uma vez que o domínio da função f(x) = tgx corresponde 
a D = R – { x [ R | x = p __ 
2
 + kp, k [ Z } , a curva pode ser 
estendida para valores menores que zero e maiores que 
2p. Portanto, o gráfico da função f: D ∫ R, definida por 
f(x) = tgx, é a curva chamada tangentoide, cujo aspecto 
é este:
À luz desse gráfico, é possível fazer algumas afirmações 
sobre a função tangente:
 § Tem D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z } e Im(f) = R.
 § A função tangente não é injetiva, e sim sobrejetiva.
 § A função tangente é função ímpar, isto é, tg(–x) = –tgx, 
? x [ D(f).
 § A função tangente é periódica com período p = p, isto 
é, tgx = tg(x + kp), com k [ Z e x [ D(f).
3.2. Sinal da função tangente
Ao observar o sinal da função tangente, nota-se que a 
função é positiva para valores do primeiro e do terceiro 
quadrantes, e negativa para valores do segundo e do 
quarto quadrantes.
 16
3.3. Variação da função tangente
Analisado o gráfico da função f(x) = tgx, obtém-se:
 § Primeiro quadrante: se x cresce de 0 a p __ 
2
 , tgx cresce de 
0 a +Ü;
 § Segundo quadrante: se x cresce de p __ 
2
 a p, tgx cresce 
de –Ü a 0;
 § Terceiro quadrante: se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , tgx cresce 
de 0 a +Ü;
 § Quarto quadrante: se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, tgx cresce 
de –Ü a 0.
4. Funções cossecante, 
secante e cotangente
À luz das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente 
de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x.
 § cossecx = 1 ____ sen x , para senx ≠ 0
 § secx = 1 ____ cos x , para cosx ≠ 0
 § cotgx = cos x ____ sen x , para senx ≠ 0
Se senx ≠ 0 e cosx ≠ 0, pode-se também escrever cotgx = 1 ___ tg x .
Modelos:
Se sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 , cos p __ 
6
 = 
dXX 3 ___ 
2
 e tg p __ 
6
 = √
__
 3 ___ 
3
 , pode-se calcular:
 § cossec p __ 
6
 = 1 __ 
 1 __ 
2
 
 = 2 __ 
1
 = 2
 § sec p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 2 ___ 
 dXX 3 
 = 2 dXX 3 ____ 
3
 
 § cotg p __ 
6
 = 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 ___ 
 1 __ 
2
 
 = 2 dXX 3 ____ 
2
 = dXX 3 ou cotg p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
3
 
 = 3 ___ 
 dXX 3 
 = dXX 3 
4.1. Função cossecante
Chama-se função cossecante a função definida por f(x) = cossecx ou f(x) = cscx ou f(x) = 1 ____ sen x , para todo x [ R, tal que senx ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
4.1.1. Gráfico de f(x) = cossecx
 17
Se x tende aos valores em que a cossecx não existe, o gráfico da cossecante tende ao infinito (positivo ou negativo). As verticais 
tracejadas nesses valores de x são chamadas assíntotas.
4.2. Função secante
Chama-se de função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1 ____ cos x , para todo x [ R, tal que cos x ≠ 0.
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z } 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
4.2.1. Gráfico de f(x) = sec x
4.3. Função cotangente
Chama-se função cotangente a função definida por f(x) = cotgx ou f(x) = cos x ____ sen x , para todo x [ R, tal que sen x ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} e Im(f) = R
4.3.1. Gráfico de f(x) = cotg x
5. Funções trigonométricas
Além das funções trigonométricas estudadas, há outras que compreendem seno, cosseno, tangente, cossecante, 
secante e cotangente, chamadas de funções do tipo trigonométricas.
Por exemplo, as funções f, g, h e i, tais que:
 § f(x) = 2 + cosx, com x [ R
 18
 § g(x) = sen2x, com x [ R
 § h(x) = tgx + secx, com x ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z
 § i(x) = 1 – cossecx, com x ≠ kp, com k [ Z
5.1. Domínio de funções do 
tipo trigonométricas
O domínio de uma função do tipo trigonométrica é deter-
minado pela análise da condição de existência da função e 
de alguma restrição à própria expressão que a define.
Aplicação do conteúdo
1. Construa e analise os gráficos das funções abaixo 
dando o seu domínio, sua imagem e seu período.
f(x) = 3 · senx
Resolução:
x senx 3 · senx y = f(x)
0 0 3 · 0 = 0 0
 p __ 2 1 3 · 1 = 3 3
p 0 3 · 0 = 0 0
 3p ___ 
2
 –1 3(–1) = –3 –3
2p 0 3 · 0 = 0 0
D = , Im = [–3, 3], p = 2p
f(x) = 1 + cosx
Resolução:
x cosx 1 + cosx y = f(x)
0 1 1 + 1 = 2 2
 p __ 2 0 1 + 0 = 1 1
p –1 1 + (–1) = 0 0
 3p ___ 
2 
0 1 + 0 = 1 1
2p 1 1 + 1 = 2 2
D = , Im = [0, 2], p = 2p
2. Determine, em cada item, o domínio da função f.
a) f(x) = 1 _______ 
1 – cos x
 
Resolução:
Se 1 – cosx ≠ 0, ou seja, se cosx ≠ 1 e se cosx = 1 para 
x = 2kp, logo:
D(f) = {x [ R | x ≠ 2kp, com k [ Z}
b) f(x) = dXXXXXX sen x 
Resolução:
Se senx ≥ 0, é possível que sejam obtidos valores de x de 
acordo com a figura. Logo:
D(f) = {x [ R | 2kp ≤ x ≤ (2k + 1)p, com k [ Z}
c) f(x) = tg 3x
Resolução:
A condição de existência é de 3x ≠ p __ 
2
 + kp.
Daí, 3x ≠ p __ 
2
 + kp ä x ≠ p __ 
6
 + kp ___ 
3
 . Logo:
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 
6
 + kp ___ 
3
 , com k [ Z } . 
d) f(x) = secx + cossecx
Resolução:
Para que haja secx, deve haver cosx ≠ 0, ou seja, x ≠ p __ 
2
 + kp.
Para que haja cossecx, deve haver senx ≠ 0, ou seja, x ≠ kp.
 19
A função f dada tem, portanto, como domínio:
D(f) = { x [ R | x ≠ k · p __ 
2
 , com k [ Z } .
5.2. Gráfico de uma função 
do tipo trigonométrica
Aplicação do conteúdo
1. Trace os gráficos destas funções:
a) f(x) = 2 + senx
Resolução:
É necessário atribuir valores a x, calcular y, marcar os pontos e 
traçar o gráfico por esses pontos. Para que o gráfico fique bem 
definido, o ângulo deve ser igual a 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p:
f(x) = y = 2 + senx
x = 0 ä y = 2 + sen0 = 2 + 0 = 2
x = p __ 
2
 ä y = 2 + sen p __ 
2
 = 2 + 1 = 3
x = p ä y = 2 + senp = 2 + 0 = 2
x = 3p ___ 
2
 ä y = 2 + sen 3p ___ 
2
 = 2 – 1 = 1
x = 2p ä y = 2 + sen 2p ∫ = 2 + 0 = 2
 
período = 2p
imagem = [1, 3]
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx com 
f(x) = 2 + senx, observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) de duas unidades para cima.
f(x) = senx
f(x) = 2 + senx
Considerada a função do tipo f(x) = a + senx, o gráfico 
de f(x) = senx será transladado para cima (a > 0) ou 
para baixo (a < 0) em a unidades.
b) f(x) = 2 · senx
Resolução:
x = 0 ä y = 2 · sen0 = 2 · 0 = 0
x = p __ 
2ä y = 2 · sen p __ 
2
 = 2 · 1 = 2
x = p ä y = 2 · senp = 2 · 0 = 0
x = 3p ___ 
2
 ä y = 2 · sen 3p ___ 
2
 = 2 · (–1) = –2
x = 2p ä y = 2 · sen2p = 2 · 0 = 0
período = 2p
imagem = [–2, 2]
 20
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx 
com f(x) = 2 · senx, observa-se que ele sofreu uma 
dilatação vertical (esticou) duas vezes.
f(x) = senx
f(x) = 2 · senx
Considerada a função do tipo f(x) = b · senx, o grá-
fico de f(x) = senx será dilatado se |b| > 1; ou, se 
0 < |b|< 1, será comprimido um número b de vezes. 
Caso b < 0, o gráfico sofre uma reflexão em relação ao 
eixo x e fica simétrico ao gráfico com b > 0.
c) f(x) = sen2x
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x metade desses valores:
x = 0 ä y = sen(2 · 0) = sen 0 = 0
x = p __ 
4
 ä y = sen ( 2 · p __ 
4
 ) = sen p __ 
2
 = 1
x = p __ 
2
 ä sen ( 2 · p __ 
2
 ) = sen p = 0
x = 3p ___ 
4
 ä y = sen ( 2 · 3p ___ 
4
 ) = sen 3p ___ 
2
 = –1
x = p ä y = sen(2p) = 0
período = p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico 
de f(x) = sen2x, observa-se que ele sofreu uma com-
pressão horizontal duas vezes, enquanto o período foi 
alterado para p.
f(x) = senx
f(x) = sen2x
Ao considerar o gráfico do tipo f(x) = sen(c · x), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será comprimido 
horizontalmente em c vezes se |c| > 1; porém, sofrerá 
dilatação horizontal se 0 < |c| < 1.
Além disso, o período é igual a 2p ___ 
|c|
 .
d) f(x) = sen ( x – p __ 
3
 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir x a esses valores aumentados em p __ 
3
 :
x = p __ 
3
 ä y = sen ( p __ 
3
 – p __ 
3
 ) = sen 0 = 0
x = 5p ___ 
6
 ä y = sen ( 5p ___ 
6
 – p __ 
3
 ) = sen p __ 
2
 = 1
x = 4p ___ 
3
 ä y = sen ( 4p ___ 
3
 – p __ 
3
 ) = sen p = 0
x = 11p ____ 
6
 ä y = sen ( 11p ____ 
6
 – p __ 
3
 ) = sen 3p ___ 
2
 = 1
x = 7p ___ 
3
 ä y = sen ( 7p ___ 
3
 – p __ 
3
 ) = sen 2p = 0
 21
período = 2p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico de 
f(x) = sen ( x – p __ 
3
 ) , observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) horizontal para a direita de p __ 
3
 unidades.
f(x) = senx
f(x) = sen ( x – p __ 
3
 ) 
Considerado o gráfico do tipo f(x) = sen(cx – d), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será deslocado 
horizontalmente em  d __ c  unidades para a direita se d > 0; 
ou para a esquerda se d < 0.
As conclusões da translação, da dilatação e da com-
pressão das funções do tipo f(x) = a + b · sen(cx + d) 
são válidas para as demais funções.
2. Trace os gráficos destas funções.
a) f(x) = y = 3 + 2 · cosx
Resolução:
x = 0 ä y = 3 + 2 · cos0 = 3 + 2 · 1 = 5
x = p __ 
2
 ä y = 3 + 2 · cos p __ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = p ä y = 3 + 2 · cosp = 3 + 2 · (–1) = 1
x = 3p ___ 
2
 ä y = 3 + 2 · cos 3p ___ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = 2p ä y = 3 + 2 · cos2p = 3 + 2 · 1 = 5
período = 2p
imagem = [1, 5]
Observação
Comparando o gráfico obtido com gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado três unidades para cima 
(a = 3) e dilatado verticalmente duas vezes (b = 2).
f(x) = cosx
f(x) = 3 + 2 cosx
 22
b) f(x) = cos ( 2x – p __ 
3
 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir esses valores aumentados em p __ 
3
 e divididos por 2:
x = p __ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · p __ 
6
 – p __ 
3
 ) = cos0 = 1
x = 5p ___ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 5p ___ 
12
 – p __ 
3
 ) = cos p __ 
2
 = 0
x = 2p ___ 
3
 ∫ y = cos ( 2 · 2p ___ 
3
 – p __ 
3
 ) = cosp = –1
x = 11p ____ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 11p ____ 
12
 – p __ 
3
 ) = cos 3p ___ 
2
 = 0
x = 7p ___ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · 7p ___ 
6
 – p __ 
3
 ) = cos2p = 1
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi comprimido horizontalmente duas 
vezes (c = 2) e deslocado para a direita p __ 6 rad (  d __ c  ) .
f(x) = cosx
f(x) = cos ( 2x – p __ 
3
 ) 
c) f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 
2
 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x esses valores diminuídos em p __ 
2
 e divididos por 3:
x = – p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos [ 3 · ( – p __ 
6
 ) + p __ 
2
 ] =
= 2 + 3 cos0 = 2 + 3 · 1 = 5
x = 0 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · 0 + p __ 
2
 ) =
= 2 + 3 cos p __ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 
6
 + p __ 
2
 ) =
= 2 + 3 cosp = 2 + 3 · (–1) = –1
x = p __ 
3
 ∫ y = 2 + cos ( 3 · p __ 
3
 + p __ 
2
 ) =
= 2 + 3 cos 3p ___ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 
2
 + p __ 
2
 ) =
= 2 + 3 cos2p = 2 + 3 · 1 = 5
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado para cima duas unidades 
(a = 2), foi dilatado verticalmente três vezes (b = 3), foi 
comprimido horizontalmente 3 vezes (c = 3) e deslocado 
para a esquerda p __ 
6
 rad (  d __ c  ) .
f(x) = cosx
 23
f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 
2
 ) 
5.3. Generalização
As funções do tipo trigonométricas são escritas na forma 
f(x) = a + b · trig(cx + d), da qual a, b, c e d são constantes 
(b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções trigo-
nométricas estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, 
cossecante e cotangente).
Podemos citar como exemplos de funções do tipo 
f(x) = a + b · trig(cx – d):
 § f(x) = 3 · senx, em que a = 0, b = 3, trig = sen, c = 1 
e d = 0;
 § f(x) = 1 + cosx, em que a = 1, b = 1, trig = cos, c = 1 
e d = 0;
 § f(x) = cos3x, a = 0, b = 1, trig = cos, c = 3 e d = 0;
 § f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 
3
 ) , a = 1, b = 1, trig = tg, c = 2 e 
d = – p __ 
3
 .
5.4. Papel das constantes a, b, c e d
As características das funções do tipo f(x) = a + b · trig(cx + d) 
podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e 
seus gráficos padrão.
As constantes a e b alteram a imagem da função (valores 
de y), e as constantes c e d alteram as características rela-
cionadas com os valores de x. Dessa forma:
 § A constante a translada o gráfico padrão em a unida-
des. Se a > 0, o gráfico “sobe” a unidades, e, se a < 0, 
o gráfico “desce” a unidades. No primeiro exemplo de 
aplicação, item a, observe o gráfico de f(x) = 2 + senx 
em relação ao de y = sen x.
 § A constante b comprime ou dilata verticalmente o grá-
fico. Se |b| > 1, o gráfico dilata, e, se 0 < |b| < 1, o 
gráfico comprime. No primeiro exemplo de aplicação, 
item b, observe o gráfico de f(x) = 2 · senx em relação 
ao de y = senx. Se b = –1, o gráfico fica invertido. Se 
b < 0, o gráfico fica simétrico (em relação ao eixo x) 
ao original, com b > 0. O valor de |b| é, muitas vezes, 
chamado de amplitude do gráfico.
 § A constante c altera o período padrão (ptrig) da função trig, 
ou seja, comprime ou dilata horizontalmente o gráfico 
padrão. Se |c| > 1, f(x) fica comprimido horizontalmente 
em |c| unidades. Se 0 < |c| < 1, f(x) fica dilatado horizon-
talmente em |c| unidades. O novo período é dado por 
py = 
ptrig ___  c  .
 § A constante d translada o gráfico padrão em  d __ c  uni-
dades horizontais. Se d > 0, o gráfico translada para 
a esquerda  d __ c  unidades; se d < 0, o gráfico translada 
para a direita  d __ c  unidades.
Observação
Desde o início do estudo de trigonometria, sabe-se que, 
para um ângulo agudo, cosseno de x é igual ao seno 
do complementar de x. Expressa essa igualdade em ra-
dianos, cosx = sen ( p __ 
2
 – x ) , ou seja, a função cosseno é 
uma função seno com a = 0, b = 1, c = –1 e d = p __ 
2
 . Issopermite estabelecer que a imagem da função cosseno 
é igual a da função seno; que o período da função cos-
seno é py = 
ptrig
 ___  c  = 2p ___ 
  –1  
 = 2p, o mesmo da função seno; 
e que o início de um período da função cosseno 
é x =  d __ c  =  p __ 
2
 
 ___ 
–1
  = p __ 
2
 , que comprovam a afirmação de 
que gráfico da função cosseno também é uma senoide 
transladada para a esquerda p __ 
2
 unidades.
Aplicação do conteúdo
1. Qual o valor máximo da função f(x) = 2cos2 x – 4sen2x?
Resolução:
Substituindo sen2 x por 1 – cos2x:
f(x) = 2cos2x – 4sen2x
f(x) = 6cos2x – 3 – 1
f(x) = 3(2cos2x – 1) – 1 = f(x) = 3cos 2x – 1
O valor máximo da função corresponde a cos2x = 1, o que 
permite afirmar que o valor máximo é 3 · 1 – 1 = 2.
 24
2. Qual o valor máximo da função f(x) = 3 · senx + 4 · cosx?
Resolução:
Dividida a expressão por k(k > 0):
 f(x) ___ 
k
 = 3 __ 
k
 senx + 4 __ 
k
 cosx
Considere-se um ângulo a, tal que cosa = 3 __ 
k
 e sena = 4 __ 
k
 .
Portanto:
sen2a + cos2a = ( 4 __ 
k
 ) 
2
 + ( 3 __ 
k
 ) 
2 
= 1
1 = 16 ___ 
k2 + 19 ___ 
k2 ä 1 = 25 ___ 
k2 ä k2 = 25 ä k = 5
Com isso, a expressão torna-se:
 f(x) ___ 
5
 = cosa senx + sena cosx
 f(x) ___ 
5
 = sen(x + a) ä f(x) = 5sen(x + a)
O valor máximo de f(x) corresponde a sen(x + a) = 1, ou 
seja, f(x)max = 5 · 1 = 5.
3. Determine o período da função 
f(x) = cos ( x __ 
2
 – p __ 
3
 ) :
Resolução:
Há duas maneiras de resolver este exercício.
Primeira maneira:
O período da função cosseno é p = 2p.
É necessário verificar o que ocorre com ( x __ 
2
 – p __ 
3
 ) , se variar 
de 0 a 2p:
 x __ 
2
 – p __ 
3
 = 0 ä x __ 
2
 = p __ 
3
 ä x = 2p ___ 
3
 
 x __ 
2
 – p __ 
3
 = 2p ä x __ 
2
 = 2p + p __ 
3
 ä
ä x __ 
2
 = 7p ___ 
3
 ä x = 14p ____ 
3
 
p = 14p ____ 
3
 – 2p ___ 
3
 = 12p ____ 
3
 ä p = 4p
O período da função dada é p = 4p.
Segunda maneira:
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p:
p = 2p ___ 
  1 __ 
2
  
 = 4p
4. Obtenha o conjunto imagem e o período da função 
y = 2 + 4 · cos3x.
Resolução:
O valor mínimo de y é 2 + 4 (–1) = –2 e o valor máximo é 
2 + 4 · 1 = 6. Portanto, Im(y) = [–2, 6].
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p, 
o período da função y é py = 2p ___ 
  3  
 = 2p ___ 
3
 .
5. Construa e analise cada item do gráfico da função, 
calculando seu domínio, sua imagem e seu período. 
(Construa apenas um período completo.)
a) f(x) = 3 · senx
Resolução:
Calculados a imagem, o período e o valor da translação 
horizontal do gráfico, é possível desenhá-lo facilmente.
Imagem: f(x)max = 3 · 1 = 3 f(x)min = 3(–1) = –3
Logo, Im(f) = [–3, 3] (dilatou verticalmente, mas não transladou).
Período: py = 2p ___ 
  1  
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: xi = d __ c = 0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [–3, 3], p = 2p
b) y = f(x) = 1 + cosx
Resolução:
Imagem: f(x)max = 1 + 1 = 2 f(x)min = 1 + (–1) = 0
Logo, Im(f) = [0, 2] (transladou verticalmente, mas não dilatou).
Período: p = 2p ___ 
  1  
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: x1 = d __ c = 0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [0, 2], p = 2p
 25
6. Qual é o período da função f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 
3
 ) ?
Resolução:
Há duas maneiras de resolver este exercício.
Primeira maneira:
A função tangente tem período p = p.
É necessário verificar o que ocorre com ( 2x – p __ 
3
 ) , se variar 
de 0 a p.
2x – p __ 
3
 = 0 ä 2x = p __ 
3
 ä x = p __ 
6
 
2x – p __ 
3
 = p ä 2x = p + p __ 
3
 ä 2x = 4p ___ 
3
 ä x = 4p ___ 
6
 = 2p ___ 
3
 
p = 2p ___ 
3
 – p __ 
6
 = 4 p – p _______ 
6
 = 3p ___ 
6
 = p __ 
2
 
Logo, o período da função dada é p = p __ 
2
 .
Segunda maneira:
O período da função tangente é p = p; logo, p = p __ 
  2  
 = p __ 
2
 .
7. Qual o período da função f(x) = sen2x · cos2x?
Resolução:
Ao multiplicar f(x) = sen2x · cos2x por 2, obtém-se 2f(x) = 
2sen2x · cos2x.
Uma vez que sen (2 · 2x) = 2sen2x · cos2x: 
2f(x) = sen(2 · 2x) ä f(x) = sen 4x _____ 
2
 = 1 __ 
2
 · sen4x.
O período é 2p ___  4 
 = p __ 
2
 .
6. Funções trigonométricas 
inversas
Conhecimentos adquiridos com o estudo das funções 
trigonométricas:
 § A função seno f: R ∫ R, tal que f(x) = senx não é 
injetiva nem sobrejetiva. Portanto, f não é bijetiva e não 
admite inversa.
 § O mesmo ocorre com a função cosseno g: R ∫ R, tal 
que g(x) = cosx.
 § A função tangente h: A ∫ R com A = { x [ R | x ≠ p __ 
2
 
+ k p} , tal que h(x), é sobrejetiva, mas não injetiva.
Se, no entanto, forem escolhidos certos domínios e contra-
domínios, essas mesmas sentenças definem funções bijeti-
vas que, consequentemente, admitem inversa.
1. f: [ – p __ 
2
 , p __ 
2
 ] ∫ [–1, 1], tal que f(x) = senx ou y = senx é função bijetiva; logo, admite inversa:
Inversa de f ∫ x = seny ∫ y = arcsenx (lê-se y é o arco de – p __ 
2
 a p __ 
2
 , cujo seno é x).
2. g: [0, p] ∫ [–1, 1], tal que g(x) = cosx ou y = cosx é função bijetiva; logo, admite inversa:
-1
Inversa de g ∫ x = cosy ∫ y = arccosx (lê-se y é o arco de 0 a p, cujo cosseno é x).
 26
3. h: ]– p __ 
2
 , p __ 
2
 [ ∫ R, tal que h(x) = tgx ou y = tgx é função 
bijetiva; logo, admite inversa.
Inversa de h ∫ x = tgy ∫ y = arctgx (lê-se y é o arco entre 
– p __ 
2
 a p __ 
2
 , cuja tangente é x).
Por definição:
 § Função arco-seno é a função de [–1, 1] em [ – p __ 
2
 , p __ 
2
 ] , 
tal que y = arcsenx.
 § Função arco-cosseno é a função de [–1, 1] em [0, p], 
tal que y = arccosx.
 § Função arco-tangente é a função de R em ]– p __ 
2
 , p __ 
2
 [, tal 
que y = arctgx.
Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de a em cada item.
a) a = arcsen 1 __ 
2
 
Resolução: a = arcsen 1 __ 
2
 ä sena = 1 __ 
2
 , – p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
6
 
b) a = arccos0
Resolução: a = arccos0 ä cosa = 0, 0 ≤ a ≤ p ä a = p __ 
2
 
c) a = arctg(–1)
Resolução: a = arctg(–1) ä tga = –1, – p __ 
2
 < α < p __ 
2
 ä 
α = – p __ 
4
 
2. Calcule cos ( arcsen 
dXX 3 ___ 
2
 ) .
Resolução: se a = arcsen 
dXX 3 ___ 
2
 , obtém-se sena = 
dXX 3 ___ 
2
 , 
– p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
3
 ä cosa = cos p __ 
3
 = 1 __ 
2
 .
Logo, cos ( arcsen 
dXX 3 ___ 
2
 ) = 1 __ 
2
 .
3. Calcule sen ( arccos 3 __ 
5
 ) .
Resolução: se a = arccos 3 __ 
5
 , obtém-se cos a = 3 __ 
5
 , com 
0 ≤ a < p.
Se usado sen2a + cos2a = 1, com 0 ≤ a ≤ p, chega-se a 
sena = 4 __ 
5
 . Logo, sen ( arccos 3 __ 
5
 ) = 4 __ 
5
 .
17 Equações que Mudaram o Mundo - Ian Stewart
17 equações que mudaram o mundo explora as cone-
xões entre a matemática e o progresso da humanidade 
e demonstra como as equações são parte integrante da 
nossa vida desde a Antiguidade, abrindo novas perspec-
tivas de desenvolvimento.
multimídia: livro
A trigonometria possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência, sendo considerada uma importante aliada 
do mundo moderno. Os sons que ouvimos todos os dias, incluindo a música, alcançam nossos ouvidos como ondas 
sonoras. Cada nota (tom) na música é determinada pelo tamanho de sua onda senoidal, ou seja, é determinada por 
sua frequência. Notas com ondas mais amplas são mais graves e têm menos ciclos por segundo, enquanto que notas 
que têm ondas senoidais estreitas são mais agudas e possuem mais ciclos por segundo. Os músicos podem modificar 
seus timbres manipulando as ondas senoidais produzidas. A trigonometria é capaz de estudar a evolução, a inten-
sidade e a frequência das ondas.
VIVENCIANDO
 27
As funções trigonométricas são primordiaisnas áreas de saúde, astronomia, farmácia, ciências geológicas, físicas, 
entre outras. Um médico, ao realizar um exame de ultrassom em um paciente, desenvolve todas as funções periódi-
cas nesse ato. Astrônomos, diariamente, descobrem distâncias de corpos celestes próximos à Terra. Nota-se que é de 
fundamental importância as ações que envolvem funções trigonométricas. Sem a trigonometria, um cartógrafo de-
moraria muito tempo para desenhar um mapa, os astrônomos não saberiam as distâncias entre os planetas, pontes 
seriam construídas demoradamente. Enfim, tudo seria bem mais complicado.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 28
HABILIDADE 21
Resolver situação-problema, cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
MODELO 1
(Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do 
tipo P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida 
em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas 
pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
pressão mínima 78
pressão máxima 120
número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P(t), obtida por este cientista, ao analisar o caso específico, foi:
a) P(t) = 99 + 21cos(3πt).
b) P(t) = 78 + 42cos(3πt).
c) P(t) = 99 + 21cos(2πt).
d) P(t) = 99 + 21cos(t).
e) P(t) = 78 + 42cos(t).
ANÁLISE EXPOSITIVA
Calculando:
P(t)= A + Bcos(kt)
{ A + B . cos(kt) = 120
A - B . cos(kt) = 78
⇒2A = 198 ⇒ A = 99
Pmax ⇒ cos(kt) = 1
99 + B = 120 ⇒ B = 21
 90 batimentos _____________ 60 segundos
 ⇒ T = 6 __ 
9
 s = 2 __ 
3
 s
k = 2π ___ 
T
 = 3 __ 
2
 . 2π = 3π
Assim:
P(1) = 99 + 21 . cos(3πt)
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhe-
cimentos sobre funções trigonométricas para a sua resolução.
RESPOSTA Alternativa A
ÁREAS DO CONHECIMENTO DO ENEM
 29
DIAGRAMA DE IDEIAS
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
SENO
FUNÇÃO f:   ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU SENO:
COSSENO
FUNÇÃO f:   ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU COSSENO:
TANGENTE
FUNÇÃO f:   ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x A SUA TANGENTE:
SEN
COS
GRÁFICO:
GRÁFICO: GRÁFICO:
-
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
-
DOMÍNIO: 
IMAGEM: [–1, 1]
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: 
IMAGEM: [–1, 1]
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: x ≠ kπ +
IMAGEM: 
PERÍODO: π rad
f(x) = senx
f(x) = cosx f(x) = tgx
-2π -π π 2π
SENO
COSSENO
TANGENTE
GRÁFICOS 
DOS SINAIS
π
2
-2π -π π
1
-1
2π
1
-1
 30
1. Módulo de um número real
1.1. Definição
Dado um número real x, define-se o módulo de x (ou valor 
absoluto) representado por  x  como:
  x  = x, se x for positivo ou nulo
–x, se x for negativo
Observe que, se x é negativo, –x é positivo.
Da definição, temos que: 
 §  x  é o próprio valor de x, se este for positivo ou nulo.
Modelos:
  0  = 0
| 3 | = 3
  1/2  = 1 __ 
2
 
| √
__
 3 | = √
__
 3 
 § |x| é o oposto do valor de x, se este for negativo.
Modelos:
  –1  = 1
  –7  = 7
  –3/5  = 3 __ 
5
 
  – √
__
 p   = √
__
 p  
Analisando mais atentamente dois casos:
 §  3  = 3, pois 3 $ 0; portanto, o resultado é o próprio 3.
 §  –7  = 7, pois –7 < 0; portanto, o resultado é o opos-
to de –7, que é 7.
Observe que, para todo x real, temos que  x  $ 0, ou seja, o 
módulo de qualquer número real é sempre positivo ou nulo.
Aplicação do conteúdo
1. Simplifique a expressão A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x 
 , sabendo que x > 2.
Resolução:
Como x > 2, sabemos que a expressão 2 – x é negativa. 
Portanto, |2 – x| é igual ao oposto de 2 – x, da definição 
de módulo:
2 – x = 2 – x, se 2 – x for positivo ou nulo
–(2 – x), se 2 – x for negativo
Portanto, A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x
 = – (2 – x) _______ 
2 – x
 = –1.
1.2. Interpretação geométrica
Geometricamente, podemos assumir que o módulo de um 
número real x é igual à distância do ponto que representa 
a imagem do número x na reta real até o ponto 0.
Veja na reta real o módulo dos números –5 e 3:
Veja que |–5| representa a distância do ponto –5 na reta 
real até o ponto 0.
Aplicação do conteúdo
1. Considerando x um número real, encontre o conjunto 
solução da equação |x| = 4.
Geometricamente, para resolver a equação em questão, 
podemos nos fazer a seguinte pergunta: Qual ponto da 
reta real dista 4 unidades de comprimento da origem?
Resolução:
Traçando a reta real, temos dois valores de x que distam 4 
unidades da origem:
HABILIDADES: 19 e 21
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 31 e 32
EQUAÇÕES E 
INEQUAÇÕES 
MODULARES
 31
Portanto, há dois valores que satisfazem a equação: 4 e –4. 
Logo, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
1.3. Algumas propriedades importantes
Para quaisquer x [ R e y [ R, valem as seguintes propriedades:
P1:  x  $ 0
P2:  x · y  =  x   y  
P3:  x + y  #  x  +  y  
(A essa propriedade damos o nome de desigualdade 
triangular.)
P4:  x – y  $  x  –  y  
P5:  x  ² = x²
P6: √
__
 x2 =  x  
1.4. Equações modulares
Quando temos uma sentença aberta (que pode ser ver-
dadeira ou não), como  x – 1  = 2, não sabemos se a ex-
pressão que está dentro do módulo, x – 1, é positiva ou 
não. Portanto, temos que considerar os dois casos. Uma 
equação como essa é chamada de equação modular.
Geometricamente, já vimos que uma equação do tipo |x| = 
k, com k > 0, possui duas raízes, k e –k, pois há dois valores 
de x que distam k unidades da origem. Portanto, para x [ R 
e k [ R, temos:
|x| = k ⇒ x = k ou x = –k
Se uma equação modular possui módulo em ambos os 
membros, podemos utilizar a mesma ideia para sua reso-
lução; porém, é mais prático usar a seguinte propriedade:
Para x [ R e k [ R, temos que:
  x  =  y  ⇒ x = y ou x = –y
1.5. Condição de existência
Destaca-se que a propriedade P1, onde |x| $ 0, é muito 
importante, pois nos diz que uma equação do tipo  x  = –2 
não possui solução, visto que o módulo de um número 
real é sempre maior ou igual a zero. Isso significa que equa-
ções modulares possuem condição de existência, e esta 
deve sempre ser verificada. Veja a seguinte equação:
  x – 5  = –2x + 1
Para que a igualdade seja possível, temos a seguinte con-
dição: –2x + 1 $ 0.
Portanto, x # 1 __ 
2
 .
Resolvendo a equação modular, temos:
  x – 5  = –2x + 1 ⇒
⇒ 
x – 5 = –2x + 1 ⇒ x = 2 (não convém)
ou
x – 5 = –(–2x + 1) ⇒ x = – 4
Observe que o valor de x deve ser menor ou igual a 1 __ 
2
 ; 
portanto, uma das possíveis soluções da equação, x = 2, 
não faz parte do conjunto solução. Substitua os valores en-
contrados e verifique a resposta.
Aplicação do conteúdo
1. Resolva as seguintes equações:
a)  x – 1  = 2
Resolução:
Considerando as duas possibilidades:
x – 1 = 2 (I) ou x – 1 = –2 (II)
Resolvendo as equações, temos:
(I) x – 1 = 2 ⇒ x = 3
(II) x – 1 = –2 ⇒ x = –1
Portanto, o conjunto solução S = {–1, 3}.
Podemos verificar que ambos os valores de x encontrados 
satisfazem a equação original:
 § para x = –1:
  x – 1  = 2
  –1 – 1  = 2 ⇒ |–2| = 2 ⇒ 2 = 2 (verdadeiro)
 § para x = 3:
  x – 1  = 2
  3 – 1  = 2 ⇒  2  = 2 ⇒ 2 = 2 (verdadeiro)
b)  x  2 = 9
Resolução:
Aplicando a propriedade P5, temos que  x  2 = x2; portanto:
x2 = 9 ⇒   x  = 3 ⇒ x = ±3
c) x2 – 6  x  + 5 = 0
Resolução:
Novamente, temos que  x  2 = x2; portanto |x|2 – 6  x  + 5 = 0.
Observe que essa é uma equação do segundo grau em 
 x  ; portanto, podemos fazer uma substituição de variável: 
 x  = y.
y2 – 6y + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática, temos y’ = 1 e y” = 5.
Como y =  x  , devemos retornar à variável original.
 § Para y = 1:
  x  = 1 ⇒ x = 1 ou x = –1
 32§ Para y = 5:
  x  = 5 ⇒ x = 5 ou x = –5
Portanto, o conjunto solução é S = {–1, 1, –5, 5}.
d)  4x  + 20 = 0
Aplicando a propriedade P2, temos que:
  4x  =  4  ·  x  .
Como |4| = 4, temos:
  4x  + 20 = 0 ⇒ 4  x  + 20 = 0 ⇒  x  = –5
Observe que, segundo a definição de módulo, para qual-
quer x real,  x  é sempre maior ou igual a zero. O mó-
dulo de um número real nunca pode ser um valor negativo, 
como –5. Portanto, o conjunto solução S é vazio (S = [).
e) √
_________
 (x – 3)2 = 7
Aplicando a propriedade P6, temos que:
 √
______
 (x – 3)2 = |x – 3|.
Fique atento ao “cancelar” raízes quadradas e 
quadrados perfeitos, pois, para um valor real k, temos 
que √
__
 k2 é  k  , e não k.
Portanto, temos:
 √
______
 (x – 3)2 = 7 ⇒ |x – 3| = 7 ⇒
⇒ 
x – 3 = 7 ⇒ x = 10
ou
x – 3 = –7 ⇒ x = –4
Portanto, S = {–4; 10}.
1.6. Equações com mais de um módulo
Por vezes, podemos encontrar equações que apresentam 
mais de um módulo. Veja, a seguir, alguns dos casos mais 
comuns e como resolvê-los.
Aplicação do conteúdo
1. Encontre o conjunto solução de cada equação a seguir.
Resolução:
a)  3x – 5  =  3 – x  
Lembrando que, para x [ R e k [ R, temos:
|x| = |k| ⇒ x = k
ou
x = –k
Portanto:
  3x – 5  =  3 – x  ⇒ 
3x – 5 = 3 – x ⇒ x =2
ou
3x – 5 = –(3 – x) ⇒ x = 1
Logo, x = 1 ou x = 2.
Portanto, S = {1; 2}.
b)   2x  – 3  = 5
Pela definição de módulo de um número real, temos:
   2x  – 3  = 5 ⇒ 
|2x| – 3 = 5 (I)
ou
|2x| – 3 = –5 (II)
Resolvendo a equação (I):
  2x  – 3 = 5
  2x  = 8
2  x  = 8
  x  = 4 ⇒ x = 4 ou x = –4
Resolvendo a equação (II):
  2x  – 3 = –5
  2x  = –2
2  x  = –2
  x  = –1 (não há solução real)
Portanto, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
c)  1 – 2x  –  x + 3  = 4
Nesse caso, analisamos cada módulo separadamente:
(I)  1 – 2x  = 
1 – 2x, se 1 – 2x $ 0
ou
–(1 – 2x), se 1 – 2x < 0
 ⇒ 
 ⇒   1 – 2x  = 
1 – 2x, se x ≤ 1 __ 
2
 
ou
–1 + 2x, se x > 1 __ 
2
 
(II)  x + 3  = 
x + 3, se x + 3 $ 0
ou
–(x + 3), se x + 3 < 0
 ⇒  
⇒   x + 3  = 
x + 3, se x $ –3
ou
–x – 3, se x < –3
Como cada módulo é definido de uma maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela para analisar cada caso:
 33
Substituindo cada expressão na equação original, temos:
 § para x < –3:
  1 – 2x  –  x + 3  = 4 ⇒ (1 – 2x) – (–x – 3) = 4 ⇒ 
⇒ –x + 4 = 4 ⇒ x = 0
Como estamos analisando o intervalo x < –3, o resultado 
encontrado x = 0 não convém.
 § para –3 # x < 1 __ 
2
 :
  1 – 2x  –  x + 3  = 4 ⇒ (1 – 2x) – (x + 3) = 4 ⇒ 
⇒ –3x – 2 = 4 ⇒ x = –2
O valor x = –2 está dentro do intervalo –3 # x < 1 __ 
2
 ; por-
tanto, faz parte do conjunto solução.
 § para x $ 1 __ 
2
 :
  1 – 2x  –  x + 3  = 4 ⇒ (–1 + 2x) – (x + 3) = 4 ⇒ 
⇒ x – 4 = 4 ⇒ x = 8
Novamente, o valor x = 8 está dentro do intervalo x $ 1 __ 
2
 ; 
portanto, também faz parte do conjunto solução.
Finalmente, encontramos dois valores que obedecem seus 
respectivos intervalos em cada etapa e que satisfazem à 
equação. O conjunto solução é S = {–2, 8}.
2. Inequações modulares
Já vimos que podemos interpretar o módulo de um nú-
mero real de maneira geométrica na reta real. O módulo 
de um número real x, representado por  x  , é a distân-
cia entre o ponto-imagem de x e a origem da reta real. 
Essa ideia é muito útil para entendermos a resolução de 
inequações modulares.
Uma inequação modular é uma inequação do tipo  x  > k, 
 x  $ k,  x  < k ou  x  # k.
Estudamos, no capítulo anterior, que podemos resolver 
a equação  x  = 3, geometricamente, através da reta 
real. Como  x  representa a distância do ponto x até a 
origem, temos:
Como tanto o ponto x = 3 quanto o ponto x = –3 distam 
três unidades da origem, a solução da equação é x = ±3.
Portanto, para resolver a inequação  x  $ 3, por exemplo, 
devemos nos perguntar o seguinte:
a) Quais pontos possuem uma distância maior ou 
igual a três unidades da origem?
De maneira similar, para resolver a inequação  x  # 3, a 
pergunta a ser feita é a seguinte:
b) Quais pontos possuem uma distância menor ou 
igual a três unidades da origem?
Veja, no esquema a seguir, como podemos responder a 
essas questões:
Vamos analisar os dois casos:
a)  x  $ 3
Veja no esquema anterior que, para a distância até a origem 
ser maior ou igual a três unidades, os valores de x devem 
ser maiores ou iguais a 3 ou menores ou iguais a –3:
Portanto, o conjunto solução é x # –3 ou x $ 3.
b)  x  # 3
Para que a distância até a origem seja menor ou igual a 
três unidades, os valores de x devem ser menores ou 
iguais a 3 e maiores ou iguais a –3, ou seja, de –3 a 3:
Portanto, o conjunto solução é –3 # x # 3.
De maneira geral, sendo a > 0, podemos ter uma das se-
guintes situações:
 §  x  > a ⇔ x > a ou x < –a
 §  x  $ a ⇔ x $ a ou x # –a
 §  x  < a ⇔ –a < x < a
 §  x  # a ⇔ –a # x # a
Lembre-se de que a inequação –a # x # a pode ser escri-
ta como um sistema de inequações:
–a # x # a ⇒
 
x $ –a
e
x # a
 34
Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação  2x – 3  > 5.
Resolução:
Para uma inequação do tipo  x  > a, com a > 0, temos que 
x < –a ou x > a; portanto:
  2x – 3  > 5 ⇒ 
2x – 3 < –5 ⇒ x < –1
e
2x – 3 > 5 ⇒ x > 4
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | x < –1 ou x > 4}
2. Encontre o domínio da função real:
f(x) = √
______ 
 |3x| – 12 .
Resolução:
Uma função do tipo f(x) = √
__
 x possui domínio x $ 0; logo 
 3x  – 12 $ 0.
Resolvendo a inequação modular, temos:
  3x  – 12 $ 0
  3x  $ 12
| x | > 4
x # –4 ou x > 4 
Portanto, o domínio da função f é:
D(f) = {x ∈ R | x # – 4 ou x $ 4}.
3. Resolva a inequação  x2 + x – 1  < 1.
Resolução:
Para uma inequação do tipo  x  < a, com a $ 0, temos 
que – a < x < a; portanto:
  x2 + x – 1  < 1 ⇒ –1 < x2 + x – 1 < 1 ⇒
⇒ 
x2 + x – 1 > – 1 (I)
e
x2 + x – 1 < 1 (II)
Resolvendo a inequação (I):
x2 + x – 1 > –1 ⇒ x2 + x > 0
Raízes: x1 = –1 e x2 = 0
Gráfico:
Portanto, x < –1 ou x > 0.
Resolvendo, agora, a inequação (II):
x2 + x – 1 < 1 ⇒ x2 + x – 2 < 0
Raízes: x1 = –2 e x2 = 1
Gráfico:
Portanto, –2 < x < 1.
Colocando os resultados no quadro:
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R I –2 < x < –1 ou 0 < x < 1}.
4. Para quais valores reais de x a expressão  2x – 7  é 
menor ou igual a 5?
Resolução:
Queremos resolver a inequação  2x – 7  # 5. Para uma 
inequação do tipo  x  # a, com a $ 0, temos que 
–a # x # a; portanto −5 # 2x – 7 # 5.
Podemos resolver essa inequação simultânea somando ou 
multiplicando o mesmo termo em todos os membros da 
inequação. Somando 7 em todos os membros, temos:
–5 + 7 # 2x – 7 + 7 # 5 + 7
2 # 2x # 12
Dividindo todos os membros por 2 ( ou, de maneira equiva-
lente, multiplicando por 1 __ 
2
 ) :
1 # x # 6
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | 1 # x # 6}.
5. Resolva a inequação  2x – 3  +  x + 1  # 4.
Resolução:
Quando há mais de um módulo, podemos analisar cada 
um separadamente:
 35
Na Física, ao se calcular a velocidade de um móvel que se desloca no sentido negativo do eixo das abscissas, obtém-se, 
por exemplo, –3 m/s; a velocidade será definida como 3 m/s, ou seja, utiliza-se o módulo como uma ferramenta no 
cálculo de distâncias.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
(I)  2x – 3  = 
2x – 3, se 2x – 3 $ 0
ou
–(2x – 3), se 2x – 3 < 0
 ⇒ 
2x – 3, se x $ 3 __ 2 
ou
–2x +3, se x < 3 __ 2 
(II)  x + 1  = 
x + 1, se x + 1 $ 0
ou
–(x + 1), se x + 1 < 0
 ⇒ 
x + 1, se x $ –1
ou
–x – 1, se x < –1
Como cada módulo é definido de maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela:
Substituindo cada expressão na inequação original, temos:
 § Para x < –1:
  2x – 3  +  x + 1  # 4
(–2x + 3) + (– x – 1) # 4
–3x # 2
x $ – 2 __ 
3
 
Como nesse intervalo temos que x < –1, calculamos a in-
terseção dos intervalos x < –1 e x $ – 2__ 
3
 :
] –`, –1 [ ù [ – 2 __ 
3
 , +` [ = [
 § Para –1 # x < 3 __ 
2
 :
|2x – 3| + |x + 1| # 4
(–2x + 3) + (x + 1) # 4
–x # 0
x $ 0
Calculando a interseção, temos:
[ –1, 3 __ 
2
 [ ù [0, + `[ = [0, 3 __ 
2
 [
 § Para x $ 3 __ 
2
 :
  2x – 3  +  x + 1  # 4
(2x – 3) + (x + 1) # 4
3x # 6
x # 2
Calculando a interseção:
[ 3 __ 
2
 , + `[ ù ] –`, 2] = [ 3 __ 
2
 , 2 ]
Finalmente, unimos os conjuntos soluções de cada intervalo:
S = [0, 3 ___ 
2
 [ ø [ 3 __ 
2
 , 2 ] = [ 0, 2 ]
Fonte: Youtube
Equações modulares
multimídia: vídeo
 36
DIAGRAMA DE IDEIAS
EQUAÇÕES MODULARES
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
INEQUAÇÕES MODULARES
CONDIÇÃO DE 
EXISTÊNCIA
| x | ≥ 0
| x - 5 | = -2x + 1
x = 2 não convém
x - 5 = -2x + 1
x = -4
x - 5 = - (-2x + 1)
ou
EXEMPLO:
| x | =
x, se x ≥ 0
-x, se x < 0
a-a
| x | > a
x > a
x < -a
ou
a-a
| x | ≥ a
x ≥ a
x ≤ -a
ou
a-a
| x | < a -a < x < a
a-a
| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a
PROPRIEDADES 
IMPORTANTES:
P1: | x | ≥ 0
P2: | x · y | = |x| · |y| 
P3: | x + y | ≤ | x | + | y |
P4: | x – y | ≥ | x | – | y |
P5: | x |2 = x2
P6: √x2 = | x |
| x | = k
x = k
x = -k
ou | x | = | y |
x = y
x = -y
ou
 37
1. Funções modulares
1.1. Definição
Uma função f: R → R, definida por f(x) =  x  , é denomi-
nada função modular. Pela definição de módulo ou valor 
absoluto de um número real, também podemos definir a 
função modular como:
f(x) = 
x, se x $ 0
ou
–x, se x < 0
Como o módulo de um número real é sempre positivo ou 
nulo, o conjunto imagem é Im(f) = R+.
1.2. Gráfico
A partir de sua definição, vamos construir o gráfico da fun-
ção modular. A função modular é uma função definida 
por várias sentenças, ou seja, ela se comporta de ma-
neiras distintas para cada intervalo de x.
 § Para x $ 0, a função é y = x, ou seja, uma semirreta com in-
clinação positiva, ocupando somente o primeiro quadrante.
 § Para x < 0, a função é y = –x, ou seja, uma semirreta com in-
clinação negativa, ocupando somente o segundo quadrante.
y = -x, para x < 0y = x, para x > 0
y = -x, para x < 0y = x, para x > 0
Reunindo os dois gráficos, temos:
Observe que, pelo gráfico, podemos ver facilmente que o 
conjunto imagem é R+.
Aplicação do conteúdo
1. Construa o gráfico da função f(x) =  2x – 8  .
Resolução:
Pela definição de módulo de um número real, temos:
f(x) =  2x – 8  = 
2x – 8, se 2x – 8 $ 0
ou
–(2x – 8), se 2x – 8x < 0
Como (2x – 8 $ 0 ⇒ x $ 4) e (2x – 8 < 0 ⇒ x < 4), 
podemos reescrever a função como:
f(x) = 
2x – 8, se x $ 4 (I)
ou
–(2x – 8), se x < 4 (II)
Construindo os gráficos das funções y = 2x – 8 e y = – 2x + 8, 
temos:
HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 20 
e 21
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5
AULAS 33 e 34
FUNÇÕES 
MODULARES
 38
Reunindo ambos os gráficos, obtemos o gráfico de f(x) =  2x – 8  :
2. Construa o gráfico da função f(x) =  x2 – 4  .
Resolução:
Uma maneira rápida de construir o gráfico de uma função 
composta com a modular do tipo f(x) = |g(x)| é construir o 
gráfico da função g(x) = x2 – 4 e “espelhar” a parte que 
possui imagem negativa para a parte positiva. Veja:
Gráfico de g(x) = x2 – 4
Raízes: x1 = –2 e x2 = 2
Pelo gráfico, vemos que a função é negativa para –2 < x < 2. 
Sendo assim, traçamos a parte do gráfico compreendida entre 
–2 e 2, novamente de maneira simétrica ao eixo x:
3. f(x) =  x – 3  + 1
Resolução:
Analisando o módulo  x – 3  , temos:
  x – 3  = 
x – 3, se x $ 3
ou
–(x – 3), se x < 3
Logo, para intervalos diferentes de x, a função f(x) possui 
uma definição diferente:
f(x) = 
x – 3 + 1, se x $ 3
ou
–(x – 3) + 1, se x < 3 
 ⇒ f(x) = 
x – 2, se x $ 3 (I)
ou
–x + 4, se x < 3 (II)
Gráfico de (I), onde f(x) = x – 2 para x $ 3:
Gráfico de (II), onde f(x) = –x + 4, para x < 3:
 39
Reunindo ambos os gráficos, temos, finalmente, o gráfico 
de f(x):
4. Construa o gráfico da função:
Resolução:
f(x) =  x – 1  +  2x – 4  .
Neste caso, devemos analisar o comportamento de cada 
módulo separadamente:
(I)  x – 1  = 
x – 1, se x – 1 $ 0
ou
–(x – 1), se x – 1 < 0
 ⇒
⇒  x – 1  = 
x – 1, se x $ 1
ou
–x + 1, se x < 1
(II)  2x – 4  = 
2x – 4, se 2x – 4 $ 0
ou
–(2x – 4), se 2x – 4 < 0
 ⇒
⇒  2x – 4  = 
2x – 4, se x $ 2
ou
–2x + 4, se x < 2
Veja que, em x = 1 e em x = 2, cada módulo muda seu 
comportamento. Vamos fazer então uma tabela:
 § Para x < 1:
f(x) = (–x + 1) + (–2x + 4) = –3x + 5
 § Para 1 ≤ x < 2:
f(x) = (x – 1) + (–2x + 4) = –x + 3
 § Para x > 2:
f(x) = (x – 1) + (2x – 4) = 3x – 5
Finalmente, reunindo os três gráficos, temos o gráfico de f(x):
5. Construa o gráfico da função f(x) = 
|x|
 __ x .
Resolução:
Analisando  x  , temos:
  x  = x, se x $ 0
–x, se x < 0
 40
Portanto, substituindo essa definição em f(x), temos:
f(x) = 
 x _ 
x
 , se x . 0, x ≠ 0
– x _ x , se x < 0, x ≠ 0
Simplificando as frações:
f(x) = 1, se x . 0, x ≠ 0
–1, se x < 0, x ≠ 0 
Portanto, o gráfico da função f(x) é:
6. Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 5  x  + 6.
Resolução:
Analisando o módulo, temos:
  x  = x, se x $ 0
–x, se x < 0
Portanto, para f(x):
f(x) = 
x2 – 5x + 6, se x $ 0
x2 – 5(–x) + 6, se x < 0
Desenvolvendo:
f(x) = x2 – 5x + 6, se x $ 0 (I)
x2 + 5x + 6, se x < 0 (II)
Gráfico de (I):
A função f(x) = x2 – 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = 2 e 
x2 = 3 e concavidade para cima:
Gráfico de (II):
A função f(x) = x2 + 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = –2 
e x2 = –3 e concavidade para cima:
Portanto, unindo os dois gráficos, obtemos o gráfico de f(x) 
para todo x:
2. Análise de gráficos
2.1. Construção de gráficos
Como podemos construir o gráfico de uma função co-
nhecendo a sua lei de correspondência y = f(x) e seu 
domínio D?
Um método simples é o seguinte:
 § 1.° passo: construímos uma tabela, na qual aparecem 
os valores de x (variável independente) e os valores do 
correspondente y, e calculamos por meio da lei y = f(x);
 § 2.° passo: representamos cada par ordenado (a, 
b) da tabela por um ponto do plano cartesiano;
 § 3.° passo: ligamos os pontos construídos no passo 
anterior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico 
da função y = f(x).
Modelos:
Vamos construir o gráfico da função y = 2x, com domínio 
em R.
 § 1.° passo: damos a x alguns valores inteiros (–3, –2, 
–1, 0, 1, 2 e 3, por exemplo) e alguns valores fracioná-
rios ( – 3 __ 
2
 , – 1 __ 
2
 , 1 __ 
2
 e 3 __ 
2
 , por exemplo ) e calculamos y = 2x. 
 41
Teremos a tabela:
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y –6 –4 –2 0 2 4 6
x – 3 __ 2 – 1 __ 2 1 __ 2 3 __ 2 
y –3 –1 1 3
 § 2.° passo: representamos os pares ordenados que es-
tão nessa tabela por pontos, a saber:
 § 3.° passo: desenhamos a curva “provável” que con-
tém os pontos que satisfazem a lei y = 2x. Nesse caso, 
é uma reta.
Uma noção importante que devemos ter em mente são 
as consequências sobre o gráfico de uma função, con-
forme somamos ou multiplicamos constantes sobre ela. 
Veremos, a seguir, alguns casos importantes e o efeito 
sobre seus gráficos.
 § g(x) = f(x) ± k
Considerando uma função real f(x) e uma constante real po-
sitiva k, o gráfico de f(x) + k desloca-se k unidades “para 
cima” em relação ao gráfico de f(x), aumentando em k 
unidades todos os pontos-imagem de f(x). Analogamente, 
o gráfico de f(x) – k se desloca “para baixo” k unidades.
Por exemplo, para a função f(x) = x2, veja os gráficos de 
f(x) + 4 e f(x) – 4:
A mesma consequência é observada entre os pares de grá-
ficos das funções a seguir:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2x2 + 3
f(x) = log(x) e g(x) = log(x) – 5
f(x) =  x  e g(x) =  x  + 3
f(x) = 2x e g(x) = 2x + 3
 § g(x) = f(x ± k)
Considerando novamente uma constante real positiva k e 
uma função real f(x) qualquer, o gráfico de f(x + k) desloca-se 
para a esquerda no plano cartesiano, enquanto que o gráfi-
co de f(x – k) desloca-se para a direita no plano.
Por exemplo, considere a função real f(x) = x2 e os gráficos 
das funções f(x + 2) = (x + 2)2 e f(x – 2) = (x – 2)2:
 42f(x + 2)
f(x − 2)
A mesma consequência ocorre para os seguintes pares 
de funções:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2(x + 5)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(x – 1)
f(x) =  x  e g(x) =  x + 6  
f(x) = 2x e g(x) = 2x – 7
 § g(x) = –f(x)
Considerando o gráfico de uma função real f(x), a função 
g(x) = –f(x) será simétrica em relação ao eixo x do gráfico 
de f(x):
Ou seja, ao multiplicar a função f(x) por –1, “espelhamos” 
seu gráfico em relação ao eixo x. Essa consequência pode 
ser vista nas seguintes funções:
f(x) = x2 e g(x) = –x2
f(x) = log(x) e g(x) = –log(x)
f(x) =  x  e g(x) = –  x  
f(x) = 2x e g(x) = –2x
 § g(x) = f(–x)
Considerando uma função real f(x) e seu gráfico, o gráfico 
de g(x) = f(–x) será simétrico em relação ao eixo y:
Ou seja, ao multiplicar x por –1, “espelhamos” o gráfico 
de f(x) em relação ao eixo y. Essa consequência pode ser 
observada nas funções:
f(x) = x2 e g(x) = (–x)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(–x)
f(x) =  x  e g(x) =  –x  
f(x) = 2x e g(x) = 2–x
Geógrafos e meteorologistas exercitam juntos a prática diária de análises de temperaturas nas cidades brasileiras. 
Logo, as funções modulares estão diretamente ligadas aos seus trabalhos, pois, pelas variações de temperatura em 
uma dada cidade e em um dado período do ano, é possível obter rankings que distinguem as cidades mais frias das 
mais quentes. 
VIVENCIANDO
 43
2.2. Tabela de gráficos de funções
f: R → R f: R → R f: R → R
f: R+→ R f: R+→ Rf: R → R
g: R → R g: R+→ R
f: R → R f: R → Rf: R*→ R
g: R → R
2.3. Crescimento e decrescimento
Através do gráfico de uma função, podemos analisar os intervalos em que a função cresce ou decresce. Veja o exemplo 
a seguir:
 44
Pelo gráfico, podemos ver que, entre os pontos A e B, a 
função é crescente; à medida que ocorre um incremen-
to em x, há um aumento consequente em y. Enquanto 
isso, entre os pontos B e C, a função é decrescente.
Os pontos B e C são máximo e mínimo locais, respectiva-
mente, enquanto que os pontos D e A são, respectivamen-
te, máximo e mínimo globais.
2.4. Análise de imagem e domínio
Também podemos analisar, a partir do gráfico de uma função 
f(x), seus conjuntos domínio e imagem. Veja um exemplo:
Para determinar o conjunto imagem da função a partir do 
gráfico, encontramos os pontos máximo e mínimo da função 
(em y). Ao analisar o gráfico, vemos que o valor mínimo que 
a função atinge é –7, enquanto que o valor máximo é 7. 
Portanto, o conjunto imagem é Im(f) = [ –7, 7 ].
Para a determinação do domínio, analisamos o intervalo ao 
longo do eixo x ao qual a função está definida. Para a função 
f(x) apresentada, a função existe de x = –5 até x = 6. Portan-
to, seu domínio é D(f) = [ –5, 6 ].
Veja mais alguns exemplos:
 § f(x) = 2x
O gráfico de f(x) = 2x é:
Na função exponencial apresentada, apesar de tender a zero, 
quando x apresenta valores cada vez mais negativos, nunca 
temos, efetivamente, um valor de x tal que f(x) = 0. Por ou-
tro lado, conforme x cresce no sentido positivo, a função 
2x atinge valores cada vez maiores. Portanto, seu conjunto 
imagem é Im(f) = ] 0, +` [.
Para o domínio, vemos que todos os valores reais de x 
estão associados a um valor em y; portanto D(f) = R.
 § f(x) = x2 – 8x + 17
Como a coordenada y do vértice da parábola da função qua-
drática é 1, este é seu valor mínimo. Portanto, Im(f) = [ 1, +` [.
Apesar de não estar apresentado no gráfico, a função se 
estende por todo o eixo x; portanto, D(f) = R.
2.5. Outro método para construir 
gráficos de funções modulares
Podemos utilizar os conceitos de construção de gráficos 
estudados neste capítulo para construir alguns gráficos de 
funções modulares de uma maneira mais rápida.
Veja como exemplo: f(x) =  2 –  x – 4   . Para construir o 
gráfico de f(x), que é uma função composta, podemos 
construir seu gráfico, gradativamente, pelas funções:
f1(x) =  x  (função modular)
f2(x) =  x – 4  (deslocamos o gráfico de f1(x) quatro unida-
des para a direita)
f3(x) = –  x – 4  (invertemos o gráfico de f2(x) em relação 
ao eixo x)
 45
f4(x) = 2 –  x – 4  (deslocamos o gráfico de f3(x) duas uni-
dades para cima)
f(x) =  2 –  x – 4   (“espelhamos” os pontos de imagem 
negativa de f4(x))
 § f1(x) = | x |
 § f2(x) = |x – 4|
Para o gráfico de f2(x), como f2(x) = f1(x – 4), deslocamos 
o gráfico de f1(x) quatro unidades para a direita e calcula-
mos os pontos de interseção com os eixos:
 § f3(x) = – |x – 4|
Como f3(x) = – f2(x), temos:
 § f4(x) = 2 – |x – 4|
Como f4(x) = f3(x) + 2, deslocamos o gráfico de f3(x) duas 
unidades para cima, novamente calculando os pontos de 
interseção com os eixos:
 § f(x) = |2 – |x – 4||
Finalmente, como f(x) = |f4(x)|, tomamos os pontos simétri-
cos aos pontos de imagem negativa de f4(x):
 
A função modular tem várias aplicações no cotidiano, como a aplicação em comparação das temperaturas entre duas 
ou mais cidades, satélites comandados por computadores, interações geofísicas, químicas e tantas outras atividades 
do nosso meio envolvidas com Física, Química, Geografia, entre outras. 
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 46
DIAGRAMA DE IDEIAS
FUNÇÕES MODULARES GRÁFICOS
DEFINIÇÃO
CONSTRUÇÃO
DE GRÁFICOS
PASSO 1
CONSTRUIR A TABELA COM 
VALORES DE X E F(X)
PASSO 2
REPRESENTAR OS PARES ORDENA-
DOS EM UM PLANO CARTESIANO
PASSO 3
LIGAR OS PONTOS CONSTRU-
ÍDOS NO PASSO ANTERIOR 
POR MEIO DE UMA CURVA
Ex: f(x) = |x|
f(x) = –x
para x < 0 
f(x) = x
para x ≥ 0 
y
x 
DEFINIDA POR 
VÁRIAS SENTENÇAS 
MATEMÁTICAS
(DESLOCA-SE
k UNIDADES 
“PARA CIMA”)
+k
-k (DESLOCA-SE
k UNIDADES 
“PARA BAIXO”)
k+-g(x) = f(x)
(DESLOCA-SE
k UNIDADES 
“PARA A ESQUERDA”)
+k
-k (DESLOCA-SE
k UNIDADES 
“PARA A DIREITA”)
k+-g(x) = f(x )
Im(f) = +
ou
f(x) =
x, se x ≥ 0
–x, se x < 0
f:  
f(x) = |x|
UFMG
A prova trará uma questão sobre as funções, 
na primeira ou segunda fase. Questões com 
temas aplicados ao nosso cotidiano ocorrem 
com frequência.
A prova exigirá conceitos mais específicos 
sobre as funções estudadas neste livro, e 
equações e inequações podem aparecer com 
grau elevado de dificuldade.
Na primeira e segunda fase podem aparecer 
funções modulares e/ou função trigonométrica, 
aplicadas em questões muito bem elaboradas e 
com elevado grau de dificuldade.
Questões de função composta e trigono-
métricas podem aparecer relacionadas com 
questões de domínio e imagem.
Questões elaboradas com boa interpretação 
de texto em funções trigonométricas. Dentre 
os temas abordados, módulo pode ser o 
mais difícil.
Apresenta alta incidência de função com-
posta, além de questões sobre inequações 
modulares e funções trigonométricas muito 
difíceis.
A prova possui questões com elevado grau de 
dificuldade.
A prova do Enem tem baixa incidência em 
questões das funções abordadas. Mesmo assim, 
quando aparece, pode ser uma questão difícil.
Funções modulares aparecem pouco e funções 
compostas ocorrem bastante. Os temas são 
abordados em questões com elevado grau de 
dificuldade.
O candidato pode se deparar com funções 
compostas em questões contextualizadas e 
medianas. Funções trigonométricas ocorrerão 
de forma objetiva
A prova de Matemática é diferente da prova 
do Enem, com questões de pouco texto e mais 
objetividade. Saber os conceitos de funções 
trigonométricas é fundamental.
A prova apresenta questões com os temas 
deste livro junto com outros grandes temas da 
Matemática.
A prova apresenta poucas questões, porém, 
abordando vários temas da Matemática. 
Assim, o candidato deve trazer todos os 
conceitos anteriores para somar com as aulas 
deste livro.
A prova de Matemática é muito bem 
elaborada, por isso, as aulas deste livro são 
totalmente necessárias para a resolução das 
questões.
A prova apresenta questões bem elaboradas 
em aritmética. Podem ocorrer questões de 
módulos e sua função, além de funções 
trigonométricas.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁLGEBRA E 
TRIGONOMETRIA
 50
1. Inequações trigonométricas