Cálculo - Revisão

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CÁLCULO
Professores: 
Dr. Renã Moreira Araújo​ 
Me. Arthur Ernandes Torres da Silva​
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
2
▰ ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … }.
▰ ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
▰ ℚ = �𝑝𝑝
𝑞𝑞
;𝑝𝑝, 𝑞𝑞 ∈ ℤ e q ≠ }0 .
▰ I = 2, 3, 5, 7, 11,π, 𝑒𝑒, …
▰ ℝ.
ℕℤ
ℚ Iℝ
Diagrama dos conjuntos numéricos.
FONTE: Elaborada pelo próprio autor. 
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
3
f : A→B
y = f (x) 
Im( f ) = {y ∈ B | y = f (x) para algum x ∈ A} Exemplo de função.
FONTE: Elaborada pelo próprio autor. 
Exemplo de não função (esquerda) e função (direita).
FONTE: Elaborada pelo próprio autor. 
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
4
Funções elementares:
Funções com características próprias e que ocorrem de maneira
recorrente no cotidiano.
• Função Constante
Função constante.
FONTE: Elaborada pelo próprio 
autor. 
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
5
• Função afim • Função linear • Função quadrática
f (x) = ax + b; a ≠ 0. f (x) = ax2 + bx + c
*Função afim. *Função linear.
*Função quadrática.
f (x) = ax; a ≠ 0.
*FONTE: Imagens elaboradas pelo próprio autor. 
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
6
• Função Modular
|x| = � 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≥ 0
−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 < 0
• Função Exponencial
Funções exponenciais. 
FONTE: Guerra & Costa (2009).
f(x) = ax, a > 0 e x ≠ 1
Função Modular
FONTE: Elaborada pelo próprio autor. 
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
7
• Função Logarítmica
• Função Par
• Função Ímpar
• Funções Trigonométricas
Funções Logarítmicas.
FONTE: Guerra & Costa (2009).
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
8
Conceito de limite:
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =
(3𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1)
(𝑥𝑥 − 1)
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (3𝑥𝑥 + 2)
NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
9
Gráfico da função 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = (3𝑥𝑥 + 2). 
FONTE: Guerra & Costa (2009).
lim
x→0−
f x = lim
x→0−
1 +
1
x
= −∞
lim
x→0+
f x = lim
x→0+
1 + 1
x
= +∞
Conceito de limite:
LIMITE E CONTINUIDADE
10
Limites indeterminados
lim
x→2
𝑥𝑥2 − 4
𝑥𝑥 − 2
= lim
x→2
)𝑥𝑥 − 2 (𝑥𝑥 + 2
𝑥𝑥 − 2
= lim
x→2
𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥 + 2
1
= lim
x→2
𝑥𝑥 + 2 = 2 + 2 = 4
lim
x→2
𝑥𝑥2−4
𝑥𝑥−2
= 4
lim
x→2
𝑥𝑥3 − 8
𝑥𝑥 − 2
=
0
0
lim
x→2
𝑥𝑥3 − 8
𝑥𝑥 − 2
= 12
Derivada e Interpretação Geométrica
11
A derivada mede a 
inclinação da curva 
em um dado ponto.
Regras de Derivada – Regra da potencia
12
𝑑𝑑 (𝑥𝑥𝑛𝑛)
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥9 − 𝑥𝑥−3 + 5𝑥𝑥−2
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 9𝑥𝑥8 + 3𝑥𝑥−4 − 10𝑥𝑥−3
Regras de Derivada 
– Derivadas Trigonométricas
13
Regras de Derivada 
– Derivada da função exponencial
14
𝑑𝑑 (𝑒𝑒𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑒𝑒𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥
Regras de Derivada 
– Derivada da função logarítmica
15
𝑑𝑑 (ln𝑎𝑎)
𝑑𝑑𝑥𝑥
=
1
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑥𝑥 = ln 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥) →
𝑑𝑑 (ln𝑎𝑎)
𝑑𝑑𝑥𝑥
=
1
𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑 ln 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑥𝑥
=
1
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑥𝑥
1
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥
cos 𝑥𝑥 →∴ 𝑦𝑦′ 𝑥𝑥 =
cos(𝑥𝑥)
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛(𝑥𝑥)
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥)
Derivadas – Regra do produto
16
𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑥𝑥 .𝑐𝑐(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑓𝑓 𝑥𝑥 .𝑐𝑐′ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 𝑥𝑥 .𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 . 𝑥𝑥3
𝑦𝑦 𝑥𝑥 = �𝑒𝑒𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
. �𝑥𝑥3
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑦𝑦′ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 . 𝑥𝑥3 + 𝑒𝑒𝑥𝑥. 3𝑥𝑥2
Derivadas – Regra do quociente
17
𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑐𝑐(𝑥𝑥)
𝑑𝑑𝑥𝑥 =
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 .𝑐𝑐 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 .𝑐𝑐𝑓 𝑥𝑥
𝑐𝑐(𝑥𝑥) 2
𝑦𝑦 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2
𝑥𝑥3 + 6 → 𝑦𝑦 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥3 + 6
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑦𝑦𝑓(𝑥𝑥) =
2𝑥𝑥 + 1 . 𝑥𝑥3 + 6 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2 . (3𝑥𝑥2)
(𝑥𝑥3 + 6) 2
𝑦𝑦′ 𝑥𝑥 =
2𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 + 12𝑥𝑥 + 6 − 3𝑥𝑥4 + 3𝑥𝑥3 − 6𝑥𝑥2
𝑥𝑥3 + 6 2
𝑦𝑦𝑓(𝑥𝑥) =
−𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3 + 6𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 6
(𝑥𝑥3 + 6)2
Derivadas – Regra da Cadeia
18
𝑌𝑌 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 1 100
𝑌𝑌𝑓 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥2. 100. 𝑥𝑥3 − 1 99
∴ 𝑌𝑌𝑓 𝑥𝑥 = 300𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 − 1 99
Primitiva de uma função
19
Derivada 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 → 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛. 𝑥𝑥𝑛𝑛−1
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 → 𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥2
Primitiva 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 → 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑛𝑛+1
𝑛𝑛+1
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 → 𝐹𝐹 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥4
4
Primitiva de uma função
20
𝑓𝑓′′ 𝑥𝑥 = 12𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 − 4
𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 𝐶𝐶𝑥𝑥 + 𝐷𝐷
Primitiva de uma função
21
Integral
22
Integral
23
Integral
24
�𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐼𝐼 =
𝑥𝑥3
3
+ 𝐶𝐶
�(10𝑥𝑥4 + 2)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐼𝐼 =
10𝑥𝑥5
5
+ 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 ∴ 𝐼𝐼 = 2𝑥𝑥5 + 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐2 𝑐𝑐 − 2𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐼𝐼 = −𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐 − 2𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝐶𝐶
Integral Definida
25
�
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → �
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐹𝐹 𝑏𝑏 − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)
�
0
2
𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥5 𝑑𝑑𝑥𝑥 → �
0
2
𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥5 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �
0
2
2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥6 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐼𝐼 = 𝑥𝑥2 +
𝑥𝑥7
7 0
2
= (2)2+
(2)7
7 − 0 2 +
0 7
7 = 4 +
128
7 =
28 + 128
7
∴ 𝐼𝐼 =
156
7
Técnicas de Integração 
– Integração por Partes 
26
�𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 → 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 → 𝑑𝑑 = −cos(𝑥𝑥)
𝐼𝐼 = 𝑢𝑢. 𝑑𝑑 − �𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑢𝑢 = (𝑥𝑥). (− cos 𝑥𝑥 ) −�(− cos 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥
𝐼𝐼 = −𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + � cos(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥
∴ 𝐼𝐼 = −𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
27
Obrigado!
Renã Moreira Araújo
Contato: rena.araujo@fatecie.edu.br
Arthur Ernandes Torres da Silva
Contatos: arthur.torres@fatecie.edu.br
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	NÚMEROS E FUNÇÕES REAIS
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	LIMITE E CONTINUIDADE
	Derivada e Interpretação Geométrica
	 Regras de Derivada – Regra da potencia
	 Regras de Derivada � – Derivadas Trigonométricas
	 Regras de Derivada � – Derivada da função exponencial
	 Regras de Derivada � – Derivada da função logarítmica
	 Derivadas – Regra do produto
	 Derivadas – Regra do quociente
	 Derivadas – Regra da Cadeia
	Primitiva de uma função
	Primitiva de uma função
	 Primitiva de uma função
	Integral
	 Integral
	 Integral
	Integral Definida
	Técnicas de Integração �– Integração por Partes 
	Obrigado!