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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I Avaliação a Distância 1 - (AD 1) 1o Semestre de 2024 Profs. Moisés Lima / Patŕıcia Lusié GABARITO 1. (4,0 pontos) O diagrama de ramo-e-folhas a seguir representa uma amostra de pessoas em relação a sua idade, de modo que a menor idade amostrada é de 10 anos e a maior idade obtida na amostra é 57 anos. 1 0 0 1 2 2 2 2 3 4 5 5 6 7 7 3 0 0 5 9 9 9 9 9 9 9 9 4 0 1 2 7 7 8 8 8 9 5 2 2 5 6 6 7 Obtenha uma tabela de distribuição de frequências para dados agrupados em 5 classes contendo frequências simples (absoluta e relativa %) e frequências acumuladas (absoluta e relativa %). 2. (6,0 pontos) A tabela abaixo apresenta as frequências de renda per capita (em reais) de 40 famı́lias pesquisadas. Classes Frequências Simples Absoluta (ni) 800` 1.000 2 1.000`1.200 6 1.200`1.400 15 1.400`1.600 12 1.600`1.800 2 1.800`2.000 3 Total 40 Determine a renda per capita média (em reais);a) Determine a renda per capita modal (em reais);b) Determine a renda per capita mediana (em reais);c) Determine a amplitude total da renda per capita (em reais);d) Determine o desvio padrão da renda per capita (em reais).e) 1 Solução: 1. Os valores máximo e mı́nimo são respectivamente 57 e 10, o que nos fornece um amplitude exata ∆ = 57 − 10 = 47 . Tomando o próximo múltiplo de 5 (pois desejamos 5 classes), a amplitude efetiva passa a ser 50. Assim, a amplitude de classe será: 50 5 = 10. Com isso, podemos formar a nossa tabela de distribuição de frequências: Classes de Frequências Simples Frequências Acumuladas salário Absoluta Relativa % Absoluta Relativa % 10`20 5 5 39 = 0, 13× 100 = 13 5 5 39 = 0, 13× 100 = 13 20`30 8 8 39 = 0, 21× 100 = 21 13 13 39 = 0, 33× 100 = 33 30`40 11 11 39 = 0, 28× 100 = 28 24 24 39 = 0, 62× 100 = 62 40`50 9 9 39 = 0, 23× 100 = 23 33 33 39 = 0, 85× 100 = 85 50`60 6 6 39 = 0, 15× 100 = 15 39 39 39 = 1× 100 = 100 Total 39 100 Logo: Classes de Frequências Simples Frequências Acumuladas salário Absoluta Relativa % Absoluta Relativa % 10`20 5 13 5 13 20`30 8 21 13 33 30`40 11 28 24 62 40`50 9 23 33 85 50`60 6 15 39 100 Total 39 100 2. Para os cálculos das medidas de posição e de dispersão, vamos completar a tabela com os pontos médios das classes e as frequências acumuladas percentuais. Assim: Classes Freq.Simples Ponto Freq.a Freq. Absoluta (ni) Médio (xi) (nixi) (nix 2 i ) Acum. Acum. (%) 800` 1.000 2 900 1.800 1.620.000 2 5 1.000`1.200 6 1.100 6.600 7.260.000 8 20 1.200`1.400 15 1.300 19.500 25.350.000 23 57,5 1.400`1.600 12 1.500 18.000 27.000.000 35 87,5 1.600`1.800 2 1.700 3.400 5.780.000 37 92,5 1.800`2.000 3 1.900 5.700 10.830.000 40 100 Total 40 55.000 77.840.000 2 Média: X = ∑ nixi n = 55.000 40 = 1.375. a) Moda: A moda é o ponto médio da classe de maior frequência: Assim: x∗ = 1.300. b) Mediana: Para o cálculo da mediana, consideremos a classe que apresenta mais de 50% dos dados. Pela frequência acumulada percentual, temos que a classe é 1.200 a 1.400. Logo: 1.400− 1.200 1.400−Q2 = 57, 5%− 20% 57, 5%− 50% ⇒ 200 1.400−Q2 = 37, 5 7, 5 ⇒ 200× 7, 5 = 37, 5(1.400−Q2)⇒ 1.500 = 52.500− 37, 5Q2 ⇒ 37, 5Q2 = 52.500− 1.500⇒ Q2 = 51.000 37, 5 ⇒ Q2 = 1.360. c) Amplitude Total: A amplitude total é a diferença entre a maior e a menor observação. Assim: ∆ = Xmax −Xmin = 2.000− 800 = 1.200. d) 3 Desvio padrão: Para obter o desvio padrão, basta encontrar a variância e calcular sua raiz quadrada. σ2 = ∑ nix 2 i − n(X)2 n = 77.840.000− (40× (1.375)2) 40 = 77.840.000− (40× 1.890.625) 40 = 77.840.000− 75.625.000 40 = 2215000 40 = 55.375 O desvio padrão será: σ = √ 55.375 = 235,32 e) 4