matematica avançada segundo grau (58)

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**Explicação:** A derivada de \( \ln(5x) \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{x} \). 
Substituindo \( x = 1 \), temos \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \). 
 
255. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx \)? 
 a) \( \ln(\frac{\pi}{3}) \) 
 b) \( \ln(\sqrt{3}) \) 
 c) \( \ln(3) \) 
 d) \( \ln(2) \) 
 **Resposta:** b) \( \ln(\sqrt{3}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{3} \) é \( -\ln|\cos(x)| \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{3} \) e \( 0 \), temos \( -\ln|\cos(\frac{\pi}{3})| - (-\ln|\cos(0)|) = -
\ln(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \ln(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \ln(\sqrt{3}) \). 
 
256. Se \( \log_6(y) = 2 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 36 \) 
 b) \( 216 \) 
 c) \( 6^9 \) 
 d) \( 6^6 \) 
 **Resposta:** b) \( 216 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 6^2 = y \), então \( y^3 = 6^{2 \cdot 3} = 
6^6 = 216 \). 
 
257. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(6x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 6 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 6 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{6\sec^2(6x)}{1} = \frac{6\sec^2(0)}{1} = 6 \). 
 
258. Se \( f(x) = \ln(5x) \), qual é o valor de \( f'(1) \)?