Ondas e Calor - Cap 1

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U C E F F F A C U L D A D E S
ONDAS E CALOR
Engenharia Mecânica – 3º Período
Prof. Rodrigo Konrath – konrath@uceff.edu.br
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C A P Í T U L O 1
Oscilações
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1-1 Movimento Harmônico Simples
• Pêndulo de um relógio
• Cordas em um violão
• Som
• Vibrações dos núcleos em moléculas e sólidos em torno de suas posições de equilíbrio
• Luz (radiação em geral) 
A característica de um movimento harmônico simples (MHS) é que ele se repete em intervalos de tempo regulares.
Exemplos de Movimentos Oscilatórios
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Oscilações
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⚫ A frequência de uma oscilação é o número de oscilações por unidade de tempo
⚫ A unidade de frequência do SI é o hertz (Hz): 1 Hz = 1 oscilação por Segundo
⚫ O tempo necessário para completar uma oscilação é chamado de período (T) 
⚫ Todo movimento que se repete regularmente é chamado de periódico
⚫ Movimento harmônico simples é um movimento periódico que é uma função senoidal do tempo
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⚫ A amplitude x
m
é o deslocamento máximo da partícula
em relação ao ponto médio
⚫ A fase t + φ é o argumento da função cosseno
⚫ A frequência angular  é a frequência do movimento da 
partícula em rad/s
⚫ A constante de fase φ, também chamada de ângulo de 
fase, é usada para ajustar as condições iniciais do 
movimento no instante t = 0
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⚫ A frequência angular é dada por
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⚫ A velocidade é a derivada primeira da função posição em relação ao tempo:
⚫ O fator ωx
m
é a amplitude da velocidade v
m
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⚫ A aceleração é a derivada primeira da velocidade ou a 
derivada segunda da posição em relação ao tempo:
⚫ O fator ω2x
m
é a amplitude da aceleração, a
m
⚫ Relação entre aceleração e posição:
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⚫ De acordo com a segunda lei de Newton,
⚫ No caso de um oscilador harmônico linear simples (F proporcional a x), temos:
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⚫ As funções que descrevem a energia cinética e 
a energia potencial do MHS são
⚫ A energia total é
1-2 A Energia do Movimento Harmônico Simples
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⚫ Pêndulo simples: um peso de massa m suspenso em um fio inextensível de 
massa desprezível
⚫ O peso experimenta um torque restaurador
⚫ Relacionando o torque ao momento de
inércia, obtemos
⚫ A aceleração angular é proporcional à posição, mas tem o sinal oposto
1-3 Pêndulos e Movimento Circular
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⚫ A amplitude angular θ
m
do movimento deve ser pequena
⚫ A frequência angular é
⚫ O período de um pêndulo simples é
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⚫ Um pêndulo físico tem uma distribuição de massa complexa
⚫ A análise é semelhante à do pêndulo simples, mas em vez do comprimento L
temos a distância h ao centro de massa, e o valor de I depende da distribuição
de massa
⚫ O período é dado por
⚫ Um pêndulo físico não oscila quando é pendurado pelo centro de massa
⚫ O centro de oscilação de um pêndulo físico é o comprimento L
0
de um pêndulo
simples com o mesmo período
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⚫ Um pêndulo físico pode ser usado para determinar a aceleração de queda livre g
⚫ Supondo que o pêndulo é uma barra homogênea de comprimento L:
⚫ Explicitando g na equação para o período, obtemos
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⚫ O movimento circular visto de perfil é igual ao movimento harmônico simples
⚫ A figura abaixo mostra uma partícula de referência descrevendo um movimento circular uniforme
⚫ A posição angular é dada por ωt + φ
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⚫ Projetando a posição no eixo x:
⚫ Fazendo o mesmo com a velocidade e a aceleração:
⚫
⚫ Isso mostra que a projeção é realmente igual a um movimento harmônico simples
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⚫ Se uma força externa reduz a amplitude do movimento de um oscilador, 
dizemos que o movimento é amortecido
⚫ Para baixas velocidades, é aceitável supor que um líquido exerce uma
força de amortecimento proporcional à velocidade:
em que b é uma constante de amortecimento que depende da placa e da 
viscosidade do fluido
1- 4 Movimento Harmônico Simples Amortecido
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⚫ De acordo com a segunda lei de Newton,
⚫ A solução da equação acima é
em que
Se o amortecimento é pequeno, ω' ≈ ω e podemos calcular a energia
mecânica da seguinte forma
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⚫ As oscilações forçadas são produzidas por uma força periódica
⚫ A frequência angular de um oscilador forçado é igual à frequência angular da força:
⚫ A situação em que a frequência angular de uma força é igual à frequência angular 
natural é chamada de ressonância
⚫ Essa é também, aproximadamente, a situação na qual a amplitude do deslocamento
é máxima
⚫ A ressonância pode colocar em risco a estabilidade de peças e estruturas: 
oscilações forçadas na frequência de ressonância podem resultar na ruptura de uma
asa de avião ou no desabamento de um edifício ou de uma ponte
1-5 Oscilações Forçadas e Ressonância
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