Matematica TODOS ANOS-478

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Resposta: \(f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 
\frac{\pi}{4})^2 - \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - \frac{\pi}{4})^3 + \cdots\). 
 Explicação: Utilize a fórmula da série de Taylor para calcular os termos da série. 
 
223. Problema: Se \(f(x) = \tan(x)\), qual é a derivada quarta de \(f\)? 
 Resposta: \(f^{(4)}(x) = 24\sec^6(x)(\tan^2(x) + 3)\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente e a regra da cadeia para calcular a quarta 
derivada. 
 
224. Problema: Qual é a solução para a equação diferencial não homogênea \(y'' - 2y' + y = 
e^x\)? 
 Resposta: \(y = (C_1 + C_2x)e^x + e^x\). 
 Explicação: Encontre a solução geral da equação homogênea e uma solução particular 
da equação não homogênea. 
 
225. Problema: Se \(f(x) = \frac{1}{x}\), qual é a equação da tangente ao gráfico de \(f\) no 
ponto onde \(x = 2\)? 
 Resposta: A equação da tangente é \(y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}\). 
 Explicação: Utilize a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente 
e sua interseção com o eixo \(y\). 
 
226. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' + y = e^{-x}\) com a condição inicial 
\(y(0) = 1\). 
 Resposta: \(y = e^{-x} + e^x\). 
 Explicação: Encontre a solução geral da equação homogênea e uma solução particular 
da equação não homogênea. 
 
227. Problema: Se \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), qual é a derivada segunda de \(f\)? 
 Resposta: \(f''(x) = \frac{2}{x^4}\). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente para calcular a segunda derivada. 
 
228. Problema: Se \(A\) e \(B\) são matrizes semelhantes, o que se pode dizer sobre seus 
autovalores? 
 Resposta: \(A\) e \(B\) têm os mesmos autovalores.