Matematica todos os anos e idades-803

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Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do poder e a derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} 
\). 
 
11. Problema: Encontre o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = 3 \). 
 Explicação: Fatoramos a expressão \( x^3 - 1 \) usando a diferença de cubos, então 
podemos simplificar. 
 
12. Problema: Resolva a integral indefinida de \( \int 3x^2 + 2x - 5 \, dx \). 
 Resposta: \( \int 3x^2 + 2x - 5 \, dx = x^3 + x^2 - 5x + C \). 
 Explicação: Aplicamos as regras básicas de integração para cada termo. 
 
13. Problema: Determine o valor de \( \frac{d}{dx} (10x^3 - 4x^2 + 7x) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (10x^3 - 4x^2 + 7x) = 30x^2 - 8x + 7 \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do poder para cada termo. 
 
14. Problema: Calcule \( \int_{1}^{2} 2x \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{1}^{2} 2x \, dx = 3 \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da integração para \( 2x \) e depois avaliamos nos limites 
de integração. 
 
15. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{x} \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
16. Problema: Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \). 
 Explicação: Este é outro limite fundamental, derivado da definição de tangente. 
 
17. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = 1 \).