Derivadas com Regra da Cadeia

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Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
75. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\cos(\ln(x)) + 1) \). 
 Resposta: \( h'(x) = -\frac{\sin(\ln(x))}{\cos(\ln(x)) + 1} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
76. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\ln(\sin(x))} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 Explicação: A função interna e a função externa são canceladas, restando apenas a 
derivada da função interna. 
 
77. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{\ln(\cos(x))} \). 
 Resposta: \( g'(x) = -\frac{\sin(x)}{2\sqrt{\ln(\cos(x))\cos(x)}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
78. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\sin(e^x)) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{e^x\cos(e^x)}{\sin(e^x)} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
79. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\sin(\ln(x))} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \cos(\ln(x))\frac{1}{x}e^{\sin(\ln(x))} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
80. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = 
 
 \sqrt{\ln(\sin(\ln(x)))} \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{\cos(\ln(x))\sin(\ln(x))}{2\sqrt{\ln(\sin(\ln(x)))}\ln(x)} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
81. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \ln(\sin(e^{\ln(x)})) \). 
 Resposta: \( h'(x) = \frac{e^{\ln(x)}\cos(e^{\ln(x)})}{\sin(e^{\ln(x)})} \).