Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. Explicação: Integramos a função no 
intervalo dado. 
 
91. Problema: Calcule o valor de \( \int_{0}^{2} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é \( \sin(2) \). Explicação: Integramos a função e avaliamos 
nos limites de integração. 
 
92. Problema: Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos \( (-1, 3) \) e \( (2, -2) 
\). 
 Resposta: A inclinação é \( m = -1 \). Explicação: Usamos a fórmula da inclinação para 
encontrar a inclinação da reta. 
 
93. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) + y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = -\cos(x) + Ce^x \), onde \( C \) é uma constante. 
Explicação: Usamos o método da separação de variáveis para resolver a equação. 
 
94. Problema: Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) 
é decrescente. 
 Resposta: A função é decrescente para \( x < 0 \) e \( x > 0 \). Explicação: Observamos o 
sinal da derivada da função. 
 
95. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 2} \). 
 Resposta: O limite é 1. Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^2 \) e aplicamos a 
regra do limite para polinômios. 
 
96. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) 
 
 \) e o eixo x no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades quadradas. Explicação: Integramos a função no 
intervalo dado. 
 
97. Problema: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx}(e^{2x} \sin x) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx}(e^{2x} \sin x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x \). Explicação: 
Usamos a regra do produto para derivar a função.