Matematica todos os anos (134)

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Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Integramos a função \( \ln(x) \) entre \( x = 1 \) e \( x = e \) para encontrar a 
área. 
 
41. Problema: Calcule \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 0. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para avaliar o limite. 
 
42. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: \( x + 2y = 3 \) e \( 2x - y = 4 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \) e \( y = \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema usando substituição ou eliminação para 
encontrar os valores de \( x \) e \( y \). 
 
43. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{2}, 0) \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = -x + \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Calculamos a derivada da função para encontrar a inclinação da tangente 
no ponto dado e, em seguida, usamos a equação da reta para encontrar a equação da 
tangente. 
 
44. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = 4x + 7 \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{4} \). 
 Explicação: Trocamos \( f(x) \) por \( y \), trocamos \( x \) por \( f^{-1}(x) \), e resolvemos 
para \( f^{-1}(x) 
 
 \). 
 
45. Problema: Encontre as assíntotas verticais da função \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \). 
 Resposta: As assíntotas verticais são \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 Explicação: A função tem assíntotas verticais onde o denominador se torna zero, ou 
seja, em \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 
46. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = 0 \).