Problemas de Cálculo Matemático

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Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
19. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = \sin(x)\) e \(y = 
\cos(x)\) entre \(x = 0\) e \(x = \frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: A área é aproximadamente 0.431 unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
20. Problema: Encontre a equação da parábola com foco em (0, 2) e diretriz \(y = -2\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{8}x^2 + 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o foco e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
21. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva polar \(r = 2\cos(\theta)\). 
 Resposta: A área é \( \pi \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da área para curvas polares \( \frac{1}{2} 
\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta \). 
 
22. Problema: Determine a equação da elipse com focos em \( (-2, 1) \) e \( (2, 1) \) e soma 
das distâncias foco-plano igual a 10. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x+2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e a propriedade de que a soma das 
distâncias de qualquer ponto na elipse para os focos é constante. 
 
23. Problema: Calcule o comprimento da curva \(y = \ln(\sec(x))\) entre \(x = 0\) e \(x = 
\frac{\pi}{4}\). 
 Resposta: O comprimento da curva é \( \ln(\sqrt{2}) + \frac{\pi}{4} \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula do comprimento de arco \( \int_{a}^{b} \sqrt{1 + 
(f'(x))^2} dx \). 
 
24. Problema: Determine a equação da reta normal à curva \(y = e^x\) no ponto em que a 
ordenada é igual ao dobro da abcissa. 
 Resposta: A equação da reta normal é \( y = 2x - 1 \).