Treinando a matematica-132

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42. Problema: Determine a equação da parábola com foco em (0, 2) e diretriz \(x = -2\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( y = \frac{1}{8}x^2 + 2 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da parábola para encontrar a equação, onde a 
distância entre o foco e um ponto da parábola é igual à distância entre esse ponto e a 
diretriz. 
 
43. Problema: Calcule a área da região limitada pela curva \(y = \sin(x)\) entre \(x = 0\) e \(x 
= \frac{\pi}{2}\). 
 Resposta: A área é 1 unidade quadrada. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área sob a 
curva. 
 
44. Problema: Determine a equação da elipse com centro em \( (1, -3) \) e eixos maior e 
menor de comprimento 6 e 4, respectivamente. 
 Resposta: A equação da elipse é \( \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a definição da elipse e os comprimentos dos eixos para 
encontrar a equação. 
 
45. Problema: Calcule o volume do sólido 
 
 gerado pela rotação da região limitada pela curva \(y = x^2\) e o eixo x entre \(x = 0\) e \(x = 
1\) em torno do eixo y. 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{2} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilizamos o método dos discos ou do anel para encontrar o volume de 
revolução. 
 
46. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \(y = e^x\) e \(y = \ln(x)\) 
entre \(x = 1\) e \(x = e\). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilizamos o cálculo de integrais definidas para encontrar a área entre as 
duas curvas. 
 
47. Problema: Determine a equação da parábola com vértice em (-3, 1) e diretriz \(y = 5\). 
 Resposta: A equação da parábola é \( x = -\frac{1}{8}(y-1)^2 - 3 \).