Exercicio de matematica-24

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47. Encontre a equação da reta tangente à curva y = ln(x) no ponto (e, 1). 
 Resposta: A equação da tangente é y = x - (1 + ln(e)). Explicação: Utilize a derivada da 
função para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, aplique a fórmula ponto-
inclinação. 
 
48. Determine a área da região limitada pelas curvas y = x² e y = 3 - x². 
 Resposta: A área da região é 3 unidades quadradas. Explicação: Encontre os pontos de 
interseção das duas curvas e calcule a área entre eles. 
 
49. Calcule a derivada de segunda ordem da função f(x) = ln(x) + x. 
 Resposta: A derivada segunda de f(x) é f''(x) = -1/x². Explicação: Derive a função duas 
vezes. 
 
50. Encontre a solução geral da equação diferencial y'' + y = 0. 
 Resposta: A solução geral é y(x) = C1cos(x) + C2sin(x), onde C1 e C2 são constantes. 
Explicação: Resolva a equação característica e utilize a fórmula geral. 
 
51. Determine os pontos de interseção entre a hipérbole x²/25 - y²/16 = 1 e a reta y = -3x + 
4. 
 Resposta: Os pontos de interseção são (5, -11) e (-5, 19). Explicação: Substitua y na 
equação da hipérbole pela expressão da reta. 
 
52. Encontre a equação da tangente à curva y = sen(x) no ponto (π/2, 1). 
 Resposta: A equação da tangente é y = x - π/2 + 1. Explicação: Utilize a derivada da 
função trigonométrica para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, aplique a 
fórmula ponto-inclinação. 
 
53. Calcule a integral indefinida de f(x) = e^x - x. 
 Resposta: A integral indefinida é ∫(e^x - x) dx = e^x - (x²/2) + C. Explicação: Integre cada 
termo separadamente. 
 
54. Determine o centro e o raio da circunferência dada pela equação (x + 3)² + (y - 1)² = 9. 
 Resposta: O centro da circunferência é (-3, 1) e o raio é 3. Explicação: Compare com a 
forma geral da equação da circunferência.