Problemas de Matemática

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41. Problema: Determine a integral indefinida de \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 
42. Problema: Resolva a equação \( 5^x = 125 \). 
 Resposta: \( x = 3 \). Aplicamos logaritmos para encontrar o valor de \( x \). 
 
43. Problema: Determine os valores de \( x \) que satisfazem a inequação \( \frac{1}{x^2} > 
4 \). 
 Resposta: A solução é \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \). Encontramos os intervalos onde a 
função é positiva. 
 
44. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3x}}{x} \). 
 Resposta: O limite é \( 1 \). Podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos 
por \( x \). 
 
45. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \frac{e^x}{x} \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{xe^x - e^x}{x^2} \). Usamos a regra do quociente e a 
derivada de \( e^x \). 
 
46. Problema: Determine a área entre as curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \) no intervalo \( [0, 
1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{6} \). Calculamos a diferença entre as integrais das duas 
 
 funções no intervalo dado. 
 
47. Problema: Resolva a equação \( \log(x) - \log(2) = 1 \). 
 Resposta: \( x = 20 \). Aplicamos propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
48. Problema: Determine a solução para a inequação \( x^3 - 4x^2 + 4x > 0 \). 
 Resposta: A solução é \( 0 < x < 2 \). Fatoramos a expressão e encontramos os intervalos 
onde é positiva.