Difração de fenda dupla

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Laboratório de Fı́sica Geral IV
Departamento de Fı́sica, Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal do Amazonas
Professor: Dr. Haroldo de Almeida Guerreiro
DiFRAÇÃO DE FENDA DUPLA
1 Kelem Erika O.D. Silva,Karina Letícia C. Figueiredo,Leidiane D.J. Lopes e Larissa C.C.
1 Graduanda no curso de Licenciatura em Fı́sica
March 14, 2024
Resumo
A difração em fenda dupla foi um experimento desenvolvido por Thomas Young (1773-1829), em que constam o
fenômeno da difração e o fenômeno da interferência entre os feixes de luz atravessados por cada uma das fendas, a
luz que passa por essas fendas se difrata e interfere consigo mesma, criando um padrão de interferência de ondas,
esse padrão consiste em regiões de máximos e mı́nimos de intensidade luminosa. Sendo assim, a imagem formada no
anteparo é uma figura de difração sobre as franjas de interferência construtiva (regiões iluminadas) e destrutiva (regiões
escuras). A seguir serão apresentados todos os aspectos referentes a atividade experimental realizada em laboratorio
com o intuito de determinar o comprimento de onda (λ) do laser de HeNe, utilizado no experimento de interferência de
fendas duplas a partir da equação teórica.
Introdução
Thomas Young, MD (Milverton, 13 de junho de 1773 — Londres, 10 de maio de 1829) foi um fı́sico, médico e
egiptólogo britânico. Em 1801 foi nomeado professor de filosofia natural (principalmente fı́sica) do Royal Institution.
Young é conhecido pela experiência da dupla fenda, que possibilitou a determinação do carácter ondulatório da luz.
Exerceu a medicina durante toda a sua vida (primeiros trabalhos sobre o cristalino com 26 anos de idade), mas ficou
conhecido por seus trabalhos em óptica, onde ele explica o fenômeno da interferência e em mecânica, pela definição do
módulo de Young.Embora ele também se interessou pela egiptologia, participando do estudo da Pedra de Roseta.Era
considerado um gênio; poliglota (falava 14 lı́nguas), dominava a fı́sica, os clássicos, a história, construı́a instrumentos e
foi descrito como ”O Último Homem que Sabia Tudo”. Seu trabalho influenciou o de William Herschel, Hermann von
Helmholtz, James Clerk Maxwell e Albert Einstein. Young é creditado por estabelecer a teoria ondulatória da luz de
Christiaan Huygens, em contraste com a teoria corpuscular de Isaac Newton. O trabalho de Young foi posteriormente
apoiado pelo trabalho de Augustin-Jean Fresnel.
Na opinião do próprio Young, de suas muitas realizações, a mais importante foi estabelecer a teoria ondulatória
da luz estabelecida por Christiaan Huygens em seu Tratado sobre a Luz (1690), para fazer isso, ele teve que superar
a visão centenária, expressa na venerável Óptica de Newton, de que a luz é uma partı́cula. No entanto, no inı́cio do
século XIX, Young apresentou uma série de razões teóricas que apoiavam a teoria ondulatória da luz e desenvolveu
duas demonstrações duradouras para apoiar este ponto de vista. Com o tanque de ondulação ele demonstrou a ideia de
interferência no contexto das ondas de água. Com o experimento de interferência de Young, o antecessor do experimento
de fenda dupla, ele demonstrou a interferência no contexto da luz como uma onda. A natureza ondulatória da luz se
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mostra nas propriedades de interferência e difração.
Figure 1: Thomas Young
Em 1810, Young demonstrou experimentalmente que a luz é uma onda, nota-se que isso ocorreu muito antes do
estabelecimento das Eqs. de Maxwell, que proveram argumentos teóricos para a natureza ondulatória da luz. O diagrama
do aparato usado por Young é mostrado na Figura[2]. Um feixe de luz coerente (com mesma fase de onda), proveniente
de uma fenda S0, incide sobre duas fendas S1 e S2, atravessando-as, difratando e atingindo uma tela de observação C.
As luzes proveniente de S1 e S2 se combinam formando um padrão de interferência na tela, com regiões claras e escuras
(intensidades máxima e mı́nima). A explicação ondulatória é que as luzes provenientes de S1 e S2 se somam na tela,
interferindo-se de forma construtiva ou destrutiva, dependendo de suas diferenças de fase, como mostrado na Figura[3]
abaixo.
Figure 2: Aparato do experimento de Young. Uma fonte de luz coerente incide sobre as fendas S1 e S2 e difratam até a tela de observação, onde
formam um padrão de interferência. (Serway)
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Figure 3: Interferência construtiva e destrutiva das ondas que passam por cada fenda.(Serway)
Fundamentação teórica
A teoria de interferência óptica é baseada essencialmente no princı́pio da superposição linear do campo eletro-
magnético. Então o campo E⃗ produzido em um ponto no espaço vazio, resultante de várias fontes diferentes é igual ao
vetor soma.
E⃗ = E⃗(1) + E⃗(2) + E⃗(3) (1)
Também vale para os campos magnéticos. Este princı́pio é uma consequência do fato que as equações de Maxwell
para o vácuo são equações diferenciais lineares. Considerando 2 ondas planas harmônicas e linearmente polarizadas de
mesma frequência os camposE⃗ são:
E⃗(1) = E⃗1expi(K⃗1 .⃗r − wt + ϕ1) (2)
E⃗(2) = E⃗2expi(K⃗2 .⃗r − wt + ϕ2) (3)
as quantidades de ϕ1 e ϕ2 foram introduzidas para permitir alguma diferença de fase na fonte das duas ondas.Se
ϕ1 − ϕ2= constante, as duas fontes são ditas como mutuamente coerentes, as ondas resultantes destas fontes são também
mutuamente coerentes. Estudaremos aqui 2 ondas monocromáticas e mutuamente coerentes.Como a Irradiância em
um ponto é proporcional ao quadrado da amplitude do campo E⃗ da luz naquele ponto. A superposição destas 2 ondas
planas monocromáticas são:
I = |E⃗|2 = E⃗.E⃗∗ = (E⃗(1) + E⃗(2)).(E⃗∗
(1) + E⃗∗
(2)) = |E⃗1|2 + |E⃗2|2 + 2E⃗1.E⃗2 cos θ = I1 + I2 + 2E⃗1.E⃗2 cos θ (4)
onde
θ = K⃗1 .⃗r − k⃗2 .⃗r + ϕ1 − Φ2 (5)
Observe que, não há interferência se:
Φ1 − ϕ2= não é constante ou E⃗1.E⃗2 = 0
Considere agora o experimento de Young (duas fendas)
A análise básica usual do experimento de Young envolve encontrar a diferença em fase entre as 2 ondas viajando
até um ponto P pela distâncias d1 e d2. Considerando que sendo duas ondas esféricas cujos fatores de fase são
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Figure 4: Experimento de Young (duas fendas).
da forma ei(kr − wt), a diferença de fase em P será:k(d2 − d1), Franjas brilhantes irão ocorrer quando a diferença
0,±2π,±4π, ... ± 2nπ. (n é inteiro). Estes valores darão uma irradiação máxima no termo de interferência na equação
(4). Como k = 2π
λ , a equação K(d2 − d1 = ±2nπ torna-se |d2 − d1| = nλ, ou seja a diferença de fase é igual a um numero
inteiro de λ. Aplicando esse resultado na geometria abaixo, temos:
Figure 5: Prosseguimento da experiência
|d2 − d1| = nλ
[x2 + (y +
h
2
)2]
1
2 − [x2 + (y +
h
2
)2]
1
2 = nλ (6)
Por expansão binomia, tem-se:
yh
x
= nλ (7)
quando y e h se tornam muito pequenos comparado com x.Franjas brilhantes ocorrerão em pontos
y = 0,±λx
h
,±2λx
h
(8)
Sendo assim, seguindo o procedimento experimental: Usando um conjunto de fenda dupla de largura (b = 0, 1mm)
e separação entre as fendas de (g = 0, 25mm), (estes valores vem indicados no próprios slides que contem as fendas)
medindo a distância média entre 2 franjas (centros) e a distância das fendas até a tela para usar a equação abaixo e obter
λ.E Repet-se o procedimento para outro par de fendas de g = 0,5mm.
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Figure 6: Para θ muito pequeno.
Para θ muito pequeno (x ≫ g; x ≫ ym) temos:
θ(radiano) = sin θ = tgθcomotgθ =
ym
x
(9)
g ym
x = mλ conforme a equaçaõ (7).
Objetivo
A principal proposta do experimento além de demonstrar na prática é determinar o comprimento de onda (λ) do
laser de HeNe, utilizado no experimento de interferência de fendas duplas a partir da equaçãoteórica.
Materiais Utilizados
Os materiais utilizados para a realização do experimento foram os seguintes itens disponibilizados no laboratório de
Fı́sica Geral4:
• Laser de He-Ne[λ = 632, 8nm] vermelho.
• Fita métrica.
• Paquı́metro.
• Anteparo.
• Tela com duplas fendas.
• Suporte para a fonte de luz.
Procedimento Experimental
O esquema de montagem do experimento de difração de fenda dupla no laboratório de ensino de óptica, são
mostrados abaixo:
a) Primeiramente monta-se o suporte para a fenda dupla de largura (b=0,1mm) e separação entre as fendas de
(g=0,25mm),em uma superfı́cie estável que é a mesa de laboratório, certificando-se de que as fendas estejam alinhadas
corretamente e paralelas uma à outra.
b)Em seguida posiciona-se o anteparo de projeção a uma distância adequada do suporte da fenda dupla, logo
Ligua-se o laser e aponta-se em direção à fenda dupla. Certificando-se de que a luz passou pelas fendas e incida no
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anteparo como demonstrado na figura[7]. Sendo assim, observa-se o padrão de interferência formado no anteparo que
possibilita ver uma série de faixas claras e escuras alternadas, conhecidas como franjas de interferência.
Figure 7: Registro do experimento no laboratório.
c) Prosseguindo medindo a distância entre as franjas de interferência usando o instrumeno paquı́metro e anotando-se
os dados obtidos do experimento em uma agenda, e registra-se também a distância das fendas até o ateparo para obter
λ através da equação demonstrada no fundamento teórico.logo repetindo-se o procedimento para outro par de fendas
de g =0,5mm. Feito o procedimento experimental criteriosamente, fazendo-se as devidas medidas precisas e obtendo os
dados experimentais segue-se com o tratamento de dados.
Tratamento de dados.
A partir das medidas obtidas no experimento, foi realizada uma tabela: Resultados e Discussões.
Medida Distância Franjas (cm) Distância até o anteparo (cm)
1 0,7 240,7
2 0,55 239,0
3 73 249,0
Usando um conjunto de fenda dupla de largura 0,1 mm e separação entre as fendas de g = 0, 25 mm, medimos a
distância média entre 2 franjas com o paquı́metro e a distância das fendas até o anteparo, obtendo os seguintes resultados
para o comprimento de onda λ:
• Medida 1: λ = 729 nm
• Medida 2: λ = 575 nm
• Medida 3: λ = 646 nm
Equação e Procedimento
Para ângulos muito pequenos (x ≫ g e g ≫ ym), temos:
θ(rad) = sin θ ≈ tan θ
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Como tan θ = ym
x , g · ym
x = m · λ
Onde λ é o comprimento de onda, θ é o ângulo de desvio, x é a distância entre as fendas e o anteparo, g é a separação
entre as fendas, ym é a distância entre o máximo central e o máximo de primeira ordem, e m é a ordem da franja.
Conclusões
Portanto ao comparar cada medida, observamos discrepâncias nos resultados. A primeira medida foi além do
valor esperado, enquanto na segunda obtivemos um valor muito abaixo do esperado devido a erros de calibração no
paquı́metro e erros de precisão na medida das franjas. No entanto, no terceiro resultado, o valor se aproximou bastante
do valor esperado após alguns ajustes de medição.
References
[1] Universidade Federal do Amazonas, Experimento de Interferência e Difração da Luz, Prof.Haroldo Guerreiro,
Laboratorio de ensino de óptica – DF/UFAM, 1 março 2024.
[2] https://fma.if.usp.br/ mlima/teaching/Cap3.pdf
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/ThomasYoung(scientist)
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