Equações e Sistemas Matemáticos

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Matemática e Tecnologia
Aula 2 – Equações do 1º e 2º Grau
Equação de Primeiro Grau
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.
As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma 
a x + b = 0
 em que a e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a variável.
Resolver a equação: 4x + 2 = 8 – 2x 
Passo 1: separar os elementos variáveis dos elementos constantes, invertendo a operação dos termos que mudarem de lado: 4x + 2x = 8 – 2 
Passo 2: aplicar as operações indicadas entre os termos semelhantes: 6x = 6 
Passo 3: O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação: x = 6 / 6   x = 1
Passo 4: A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação.
Exercício Proposto 1
Resolver as equações:
A) 10x – 9 = 21 + 2x + 3x  
x = 6
B) 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
x = 10
C) 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
x = 2
D) x/2 = 18
x = 36
E) (2x + 14)/10 = 3
x = 8
Sistema Linear de Equações do Primeiro Grau
É um conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau com duas ou mais incógnitas. 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações do sistema.
A solução pode ser feita através de alguns métodos resolutivos: adição, substituição ou via matrizes. 
Exemplo de resolução por substituição
Resolver o sistema a seguir:
Exercício de resolução por adição
Resolver o sistema a seguir:
Problemas Matemáticos
Para resolver um problema matemático, deve-se transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática.
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. 
O objetivo das equações é descobrir o valor destas incógnitas.
Problemas
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um elemento de 2 kg e duas melancias com massas iguais entre si. No prato direito há um elemento de 14 kg. Quanto é a massa de cada melancia?
Problemas Propostos
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. 
2) A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Problemas Propostos
3) Uma casa com 260 m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140 m2?
4) João usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
Problemas Propostos
5) A soma de um número x com o dobro de um número y é - 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, qual é o produto xy?
Equação do 2º Grau
2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau.
2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada como do 2º grau.
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Exemplos: 4 x² + 6x = 0 ou 3 x² + 9 = 0 ou 2 x² = 0.
Resolver as equações incompletas do 2º Grau
x² + 6x = 0
2 x² = 0
3 x² + 7 = 0
2 x² + 5 = 0
10 x² = 0
9 x² - 18 = 0
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma: 
a x² + b x + c = 0
É a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau:
Foi descoberta pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara.
Resolução de equações completas do 2º grau
onde D = b²-4ac é o discriminante da equação.
Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
Se D=0, há duas soluções iguais.
Se D>0, há duas soluções reais e diferentes.
Resolver as equações:
x² – 10x + 24 = 0
(x = 4 ou x = 6)
x² + 8x + 16 = 0.
(x = -4)
10x² + 6x + 10 = 0
(não existe solução)
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