Problemas de Matemática

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Resposta: \( A = 2 - \ln(2) \). 
 Explicação: Calculamos a integral da função \( e^x \) entre os limites \( 0 \) e \( \ln(2) \). 
 
73. Problema: Encontre a equação da parábola com vértice em \( (2, -3) \) e que passa 
pelo ponto \( (4, -1) \). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{2}x^2 - 3 \). 
 Explicação: Substituímos as coordenadas do vértice e do ponto dado na forma geral da 
equação da parábola. 
 
74. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais as retas \( y = -3x + k \) e \( y = x 
+ 2 \) são paralelas. 
 Resposta: Não há valores de \( k \) que tornam as retas paralelas. 
 Explicação: As inclinações das duas retas nunca serão iguais, portanto elas nunca 
serão paralelas. 
 
75. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos a identidade trigonométrica \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \) e 
calculamos a integral. 
 
76. Problema: Resolva a equação \( e^{2x} = 7 \). 
 Resposta: \( x = \frac{\ln(7)}{2} \). 
 Explicação: Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação para 
resolver. 
 
77. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -2\sin(x)\cos(x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia e a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = 
\frac{1 + \cos(2x)}{2} \). 
 
78. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \). 
 Resposta: \( x \in [-2, 2] \). 
 Explicação: O argumento da raiz quadrada deve ser não negativo.