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Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva no intervalo dado. 53. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \). Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. Explicação: Aplicamos a regra do quociente para encontrar a derivada da função. 54. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( (\frac{\pi}{2},0) \). Resolução: Calculamos a derivada de \( y = \cos(x) \) e substituímos \( x = \frac{\pi}{2} \) para encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = m(x - x_1) \) para encontrar a equação da reta tangente. Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 55. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan^2(x)}}{x} \). Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 56. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \sqrt{x} \). Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda derivada. 57. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = \sin(x) \) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \). Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo dado. Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas curvas. 58. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \tan(x) \) e \( y = \sin(x) \). Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \).