Cálculos de Derivadas e Integrais

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Resolução: Calculamos a derivada de \( y = \sqrt{x} \) e substituímos \( x = 1 \) para 
encontrar a inclinação da reta tangente. Em seguida, usamos a fórmula \( y - y_1 = m(x - 
x_1) \) para encontrar a equação da reta tangente. 
 Explicação: Utilizamos a definição de derivada para encontrar a inclinação da reta 
tangente e a equação da reta para encontrar a equação da reta tangente. 
 
90. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra de L'Hôpital para resolver o limite indeterminado. 
 Explicação: Utilizamos a regra de L'Hôpital para lidar com formas indeterminadas. 
 
91. Problema: Determine a derivada segunda da função \( f(x) = \sin^2(x) \). 
 Resolução: Derivamos \( f(x) \) duas vezes para encontrar a segunda derivada. 
 Explicação: Aplicamos as regras de derivação duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
92. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) 
\) no intervalo \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \). 
 Resolução: Calculamos a diferença entre as duas funções e integramos no intervalo 
dado. 
 Explicação: Utilizamos a técnica de integração para encontrar a área entre as duas 
curvas. 
 
93. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \tan(x) 
\). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
94. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin(x) + \cos(x)) \, dx 
\). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração. 
 Explicação: Usamos a propriedade da integral definida para calcular a área sob a curva 
no intervalo dado. 
 
95. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \). 
 Resolução: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função.