AP3 - CIV - 2019

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – CÁLCULO IV – 2019-2
x
y
D
y= 3√x =⇒ x=y3
8
2
Fig. 1: Região D, Questão 1.
Questão 1 [2,0 pts] Considere a integral iterada
I =
∫ 8
0
∫ 2
3√x
1
y4 + 1 dy dx.
(a) [0,5 pt] Esboce a região de integração.
(b) [0,7 pt] Inverta a ordem de integração.
(c) [0,8 pt] Calcule o valor de I.
Solução:
(a) Temos
I =
∫∫
D
1
y4 + 1 dx dy,
onde D é dada por
D : 0 ≤ x ≤ 8, 3√x ≤ y ≤ 2.
O esboço de D está representado na Fig. 1.
(b) Podemos ver D como uma região do tipo II:
D : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ y3.
Assim,
I =
∫ 2
0
∫ y3
0
1
y4 + 1 dx dy.
(c) Temos
I =
∫ 2
0
y3
y4 + 1 dy.
Fazendo u = y4 + 1, temos du = 4y3 dy ou y3 dy = du
4 .
Para y = 0, temos u = 1 e para y = 2, temos u = 17. Logo,
I =
∫ 17
1
1
u
du
4 = 1
4
[
ln u
]17
1
= 1
4(ln 17− ln 1) = 1
4 ln17.
Ou seja, I = 1
4 ln 17.
Cálculo IV AP3 2
x
y
D
C
2
2
Fig. 2: Curva C=∂D, Questão 2.
Questão 2 [2,0 pts]: Seja o campo de forças
~F (x, y) = (−y + ln(1 + x2), x+ cos(y2)), (x, y) ∈ R2.
(a) [0,5 pt] ~F é uma força conservativa? Justifique.
(b) [1,5 pt] Calcule o trabalho realizado pela força ~F ao longo da
curva C : x2 + y2 = 4, orientada no sentido anti-horário.
Solução:
(a) Seja
~F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (−y + ln(1 + x2), x+ cos(y2)).
Tem-se
∂Q
∂x
= 1 e
∂P
∂y
= −1. Como
∂Q
∂x
,
∂P
∂y
, então conclui-se
que o campo ~F não é conservativo.
(b) Sabe-se, da teoria, que o trabalho W é dado por
W =
∫
C
~F · d~r.
Como ~F é de classe C1 em R2 e C está orientada no sentido anti-horário, pode-se aplicar o Teorema
de Green à região D limitada por C.
Temos, então
W =
∫
C
~F · d~r =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dx dy
(a)=
∫∫
D
[1− (−1)] dx dy
=
∫∫
D
2 dx dy = 2A(D) = 2 · (π · 22) = 8π.
Portanto, W = 8π u.w.
Questão 3 [2,0 pts]: Seja S a parte da superf́ıcie cilindrica x2 + y2 = a2, a > 0, situada entre os
planos z = 0 e z = 2a.
(a) [0,5 pt] Parametrize S usando as coordenadas cilindricas θ e z como parâmetros.
(b) [1,0 pt] Mostre que o elemento de área de S é dado por dS = a dθ dz.
x y
z
S
a a
2a
Fig. 3: Superf́ıcie S, Questão 3.
(c) [0,5 pt] Calcule
∫∫
S
z dS.
Solução:
(a) O esboço de S é mostrado na Fig. 3.
Adotando as coordenadas ciĺındricas θ e z como parâmetros, temos
S : ~r(θ, z) = (a cos θ, a sen θ, z)
(θ, z) ∈ D : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 2a.
(b) Temos
~rθ × ~rz = (−a sen θ, a cos θ, 0)× (0, 0, 1)
=
∣∣∣∣∣∣∣
~ı ~ ~k
−a sen θ a cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (a cos θ, a sen θ, 0),
donde
‖~rθ × ~rz‖ =
√
a2 cos2 θ + a2 sen2 θ =
√
a2 = a.
Como dS = ‖~rθ × ~rz‖ dθ dz, então dS = a dθ dz.
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Cálculo IV AP3 3
(c) Temos ∫∫
S
z dS =
∫∫
D
z a dθ dz = a
∫ 2a
0
z
∫ 2π
0
dθ dz = 2πa
[
z2
2
]2a
0
= 4πa3.
Ou seja,
∫∫
S
z dS = 4πa3.
Questão 4 [2,0 pts]: Use o Teorema de Gauss para encontrar o fluxo do campo ~F (x, y, z) =
xz~ı + yz~ + xy~k através da fronteira da região W : esfera sólida x2 + y2 + z2 ≤ 4, orientada com o
vetor normal unitário ~n exterior a W .
Solução: O esboço de S = ∂W é mostrado na Fig. 4.
x y
z
S=∂W
W
~n
2 2
2
Fig. 4: Superf́ıcie S=∂W , Questão 4.
Pelo Teorema de Gauss, temos que o fluxo de ~F através de
S = ∂W , na direção de ~n é dado por:∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫∫
W
div ~F dV ,
onde div ~F = ∂(xz)
∂x
+ ∂(yz)
∂y
+ ∂(xy)
∂z
= z + z + 0 = 2z.
Logo,
∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫∫
W
2z dV .
Passando para coordenadas esféricas, temos:
2z dV = (2ρ cosφ)(ρ2 senφ) dρ dφ dθ
= 2ρ3 cosφ senφ dρ dφ dθ,
e W é dado por:
Wρφθ : 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
Então,∫∫
S
~F · ~n dS =
∫∫∫
Wρφθ
2ρ3 cosφ senφ dρ dφ dθ =
∫ 2
0
2ρ3
∫ π
0
cosφ senφ
∫ 2π
0
dθ dφ dρ
= 2π
[
sen2 φ
2
]π
0︸ ︷︷ ︸
= 0
[
2ρ4
4
]2
0
= 0.
Ou seja,
∫∫
S
~F · ~n dS = 0.
Questão 5 [2,0 pts]: Use o Teorema de Stokes para calcular
∮
C
~F · d~r, ao redor da curva C:
quadrado limitado pelas retas x = ±1 e y = ±1, no plano xy no sentido anti-horário quando vista
de cima se ~F (x, y, z) = (x2 − y)~ı + 4z~ + x2~k .
Solução: O esboço de C é dado na figura abaixo:
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Cálculo IV AP3 4
x
y
z
C
1
−1
1
−1
Fig. 5: Quadrado C.
x
y
z
~n
S
C=∂S
1
−1
1
−1
Fig. 6: Superf́ıcie S limitada por C.
Seja S a porção do plano z = 0 limitada pela curva C com orientação ~n = ~k . Temos ∂S = C.
Podemos descrever S como gráfico da função z = 0, (x, y) ∈ D : −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.
Temos dS =
√
1 + (zx)2 + (zy)2 dx dy =
√
1 + 0 + 0 dx dy = dx dy.
O rotacional de ~F é dado por:
rot ~F =
∣∣∣∣∣∣∣
~ı ~ ~k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
x2 − y 4z x2
∣∣∣∣∣∣∣ = (−4,−2x, 1).
Pelo Teorema de Stokes, temos:∮
C
~F · d~r =
∫∫
S
rot ~F · ~n dS =
∫∫
D
(−4,−2x, 1) · (0, 0, 1) dx dy
=
∫∫
D
dx dy = A(D) = 2 · 2 = 4.
Ou seja,
∮
C
~F · d~r = 4.
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