Cálculo de Integrais de Superfície

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – EP12 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos z = 0 e z = x + 1.
a) Parametrize e esboce S.
b) Calcule
∫∫
S
z dS.
Soluc¸a˜o:
a) A superf´ıcie S e´ mostrada na figura que se segue.
x
y
z
S
−1
1
1
1
Usamos θ e z como paraˆmetros para parametrizar S. Temos:
S : ϕ(θ, z) = (cos θ, sen θ, z)
onde (θ, z) ∈ D :
{
0 ≤ θ ≤ 2π
0 ≤ z ≤ 1 + x = 1 + cos θ .
b) Temos:
ϕθ × ϕz =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
− sen θ cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (cos θ, sen θ, 0)
e ∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ = √cos2 θ + sen2 θ = 1 .
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 2
Enta˜o: ∫∫
S
z dS =
∫∫
D
z
∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ dθdz =
∫
2pi
0
∫
1+cos θ
0
z dzdθ =
=
∫
2pi
0
1
2
(1 + cos θ)2dθ =
1
2
∫
2pi
0
(
1 + 2 cos θ + cos2 θ
)
dθ =
=
1
2
[
θ + 2 sen θ +
1
2
(
θ +
sen 2θ
2
)]2pi
0
=
1
2
(
2π +
1
2
· 2π
)
=
3pi
2
.
Exerc´ıcio 2: Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
x2 dS na esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da esfera S e´ mostrado na figura que se segue.
x
y
z
S
1
1
1
Uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por
ϕ(φ, θ) = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ)
com (φ, θ) ∈ D :
{
0 ≤ φ ≤ π
0 ≤ θ ≤ 2π e
∣∣∣∣∣∣∂ϕ
∂φ
× ∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣∣∣ = senφ. Assim:
∫∫
S
x2 dS =
∫∫
D
(
sen2 φ cos2 θ
) ∣∣∣∣∣∣∂ϕ
∂φ
× ∂ϕ
∂θ
∣∣∣∣∣∣ dφdθ =
=
∫
2pi
0
∫ pi
0
sen3 φ cos2 θ dφdθ =
∫
2pi
0
cos2 θ
∫ pi
0
(
1− cos2 φ
)
senφ dφdθ =
=
∫
2pi
0
cos2 θ
[
− cosφ + cos
3 φ
3
]pi
0
dθ =
=
4
3
∫
2pi
0
cos2 θ dθ =
4
3
· 1
2
[
θ +
sen 2θ
2
]2pi
0
=
4pi
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 3
Exerc´ıcio 3: Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
y2z2 dS, onde S e´ a parte do cone z =
√
x2 + y2
que fica entre os planos z = 1 e z = 2.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S e´ mostrado na figura que se segue.
x
y
z
S
D 1
1
2
2
Vamos aplicar a fo´rmula
∫∫
S
f(x, y, z) dS =
∫∫
D
f(x, y, g(x, y))
√
1 +
(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
dxdy
com z = g(x, y) =
√
x2 + y2 e f(x, y, z) = y2z2. Portanto
∂g
∂x
=
x√
x2 + y2
∂g
∂y
=
y√
x2 + y2
e √
1 +
(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
=
√
1 +
x2
x2 + y2
+
y2
x2 + y2
=
√
1 +
x2 + y2
x2 + y2
=
√
2 .
Logo: ∫∫
S
y2z2 dS =
∫∫
D
y2
(√
x2 + y2
)2√
2 dxdy =
√
2
∫∫
D
y2
(
x2 + y2
)
dxdy .
Usando coordenadas polares para calcular a integral dupla, temos y2 (x2 + y2) = (r sen θ)2r2 =
= r4 sen2 θ, dxdy = rdrdθ e Drθ :
{
1 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2π . Enta˜o:
∫∫
S
y2z2 dS =
√
2
∫
2pi
0
∫
2
1
r4 sen2 θr drdθ =
√
2
∫
2pi
0
sen2 θ
∫
2
1
r5 drdθ =
=
√
2
∫
2pi
0
sen2 θ
[
r6
6
]2
1
dθ =
63
√
2
6
∫
2pi
0
sen2 θ dθ =
21
√
2pi
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 4
Exerc´ıcio 4: Suponha que uma laˆmina curva S com densidade constante δ(x, y, z) = δ seja a porc¸a˜o
do parabolo´ide z = x2 + y2 abaixo do plano z = 1. Determine a massa da laˆmina.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S e´ mostrado na figura que se segue.
x
y
z
S
D
1
1
Com z = g(x, y) = x2 + y2 segue-se que
∂g
∂x
= 2x e
∂g
∂y
= 2y.
Substituindo essas expresso˜es e δ(x, y, z) = δ(x, y, g(x, y)) = δ em
M =
∫∫
S
δ(x, y, z)dS =
∫∫
D
δ(x, y, g(x, y))
√
1 +
(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
dxdy =
=
∫∫
D
δ
√
1 + 4x2 + 4y2 dxdy = δ
∫∫
D
√
1 + 4x2 + 4y2 dxdy .
Para calcular a integral dupla, usamos coordenadas polares
M = δ
∫∫
Drθ
√
1 + 4r2 r drdθ
onde Drθ :
{
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π . Enta˜o:
M = δ
∫
2pi
0
∫
1
0
(
1 + 4r2
)1/2
r drdθ =
δ
8
∫
2pi
0
∫
1
0
(
1 + 4r2
)1/2
(8r)dr =
=
δ
8
∫
2pi
0
2
3
[(
1 + 4r2
)3/2]1
0
dθ =
δ
12
(
53/2 − 1
) ∫ 2pi
0
dθ =
δpi
6
(5
√
5− 1) u.m.
Exerc´ıcio 5: Determine a massa da laˆmina que e´ a porc¸a˜o da superf´ıcie y2 = 4− z entre os planos
x = 0, x = 3, y = 0 e y = 2 se a densidade for δ(x, y, z) = y.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da laˆmina S e´ mostrado na figura que se segue.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 5
x
y
z
S : z = g(x, y) = 4− y2
D 2
3
4
A massa M e´ dada por:
M =
∫∫
S
δ(x, y, z)dS =
∫∫
S
y dS =
∫∫
D
y
√
1 +
(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
dxdy =
=
∫∫
D
y
√
1 + 02 + (−2y)2 dxdy =
∫∫
D
y
√
1 + 4y2 dxdy =
=
∫
3
0
∫
2
0
y
(
1 + 4y2
)1/2
dydx =
1
8
∫
3
0
∫
2
0
(
1 + 4y2
)1/2
(8y) dydx =
=
1
8
∫
3
0
[
2
3
(
1 + 4y2
)3/2]2
0
dx =
1
12
(17
√
17− 1)
∫
3
0
dx =
1
4
(17
√
17− 1) .
Exerc´ıcio 6: Mostre que o momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo de simetria de uma casca cil´ındrica
com densidade constante e´ I = Ma2, onde a e´ o raio da base e M a massa total.
Soluc¸a˜o: Sem perda de generalidade, consideremos a casca cil´ındrica S dada por S : x2 + y2 = a2,
com 0 ≤ z ≤ h.
x
y
z
a
a
S
h
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 6
Uma parametrizac¸a˜o de S e´ dada por ϕ(θ, z) = (a cos θ, a sen θ, z), com (θ, z) ∈ D :
{
0 ≤ z ≤ h
0 ≤ θ ≤ 2π .
Logo,
ϕθ × ϕz =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−a sen θ a cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = (a cos θ, a sen θ, 0)
e ∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ = √a2 cos2 θ + a2 sen2 θ = √a2 = a .
Como o eixo de simetria de S e´ o eixo z, temos:
Iz =
∫∫
S
(
x2 + y2
)
δ(x, y, z) dS =
=
∫∫
D
(
a2 cos2 θ + a2 sen2 θ
)
δ
∣∣∣∣ϕθ × ϕz∣∣∣∣ dθdz =
=
∫∫
D
a2δa dθdz = δa3
∫
2pi
0
∫ h
0
dzdθ = 2πhδa3 .
Mas a massa M e´ dada por
M = δA(S) = δ2πah = 2πhδa .
Logo, Iz = Ma
2.
Exerc´ıcio 7: Uma laˆmina S em forma de cone tem como equac¸a˜o z = 4 − 2
√
x2 + y2 , com
0 ≤ z ≤ 4. Em cada ponto de S, a densidade e´ proporcional a` distaˆncia entre o ponto e o eixo z.
Encontre a massa M da laˆmina.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
S
2
2
4
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – EP12 Tutor 7
Projetando S no plano xy obtemos D : x2 +y2 ≤ 4. Temos enta˜o S : z = 4−2
√
x2 + y2 = g(x, y),
com (x, y) ∈ D. A densidade δ(x, y, z) e´ dada por δ(x, y, z) = k
√
x2 + y2 onde k > 0 e´ uma
constante de proporcionalidade. Usando uma integral de superf´ıcie, encontramos a massa
M =
∫∫
S
δ(x, y, z) dS =
=
∫∫
S
δ(x, y, g(x, y))
√
1 + (gx)2 + (gy)2 dxdy =
= k
∫∫
D
√
x2 + y2
√
1 +
4x2
x2 + y2
+
4y2
x2 + y2
dxdy =
= k
∫∫
D
√
x2 + y2
√
5 dxdy =
√
5k
∫∫
D
√
x2 + y2 dxdy .
Passando para coordenadas polares temos
√
x2 + y2 =
√
r2 = r, dxdy = r drdθ eDrθ :
{
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤ 2π .
Enta˜o:
M =
√
5k
∫∫
Drθ
r · r drdθ =
√
5k
∫
2pi
0
∫
2
0
r2 drdθ =
√
5k
∫
2pi
0
[
r3
3
]2
0
dθ =
=
8
√
5k
3
∫
2pi
0
dθ =
16
√
5kpi
3
u.m.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ