matematica exercicios (82)

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homogênea e \( y_p(x) \) é uma solução particular da equação não homogênea. A solução 
da 
 
 equação homogênea é \( y_h(x) = Ae^{-x} \), onde \( A \) é uma constante. Para encontrar 
uma solução particular, tentamos uma solução da forma \( y_p(x) = B\sin(x) + C\cos(x) \), 
onde \( B \) e \( C \) são constantes a serem determinadas. Substituindo \( y_p(x) \) na 
equação original, encontramos \( B = 1 \) e \( C = 0 \). Portanto, a solução geral é \( y(x) = 
Ae^{-x} + \sin(x) \). 
 
32. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 
x^2 \). 
 **Resposta e Explicação:** A área da região é dada pela integral da diferença das 
funções ao longo do intervalo em que elas se intersectam. As funções se intersectam em 
\( x = 0 \) e \( x = 1 \). Portanto, a área é \( \int_{0}^{1} (x^3 - x^2) \, dx \). 
 
33. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{1}{x^3} \). Determine o intervalo de monotonicidade 
de \( f(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** Para determinar o intervalo de monotonicidade de \( f(x) \), 
precisamos encontrar onde sua derivada é positiva e onde é negativa. Primeiro, 
encontramos a derivada de \( f(x) \). \( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3}\right) = -
\frac{3}{x^4} \). A derivada é negativa para \( x > 0 \) e positiva para \( x < 0 \). Portanto, \( f(x) 
\) é decrescente em \( (0, \infty) \) e crescente em \( (-\infty, 0) \). 
 
34. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = e^x \). 
 **Resposta e Explicação:** A equação característica associada é \( r^2 - 3r + 2 = 0 \), 
que tem raízes \( r = 1 \) e \( r = 2 \). Portanto, a solução homogênea correspondente é \( 
y_h(x) = Ae^x + Be^{2x} \). Para encontrar uma solução particular, tentamos uma solução 
da forma \( y_p(x) = Cxe^x \), onde \( C \) é uma constante a ser determinada. Substituindo 
\( y_p(x) \) na equação original, encontramos \( C = \frac{1}{2} \). Portanto, a solução geral 
é \( y(x) = Ae^x + Be^{2x} + \frac{1}{2}xe^x \). 
 
35. **Problema:** Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
\ln(x) \). 
 **Resposta e Explicação:** A área da região é dada pela integral da diferença das 
funções ao longo do intervalo em que elas se intersectam. As funções se intersectam em 
\( x = 1 \). Portanto, a área é \( \int_{1}^{e} (e^x - \ln(x)) \, dx \). 
 
36. **Problema:** Seja \( f(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \). Determine todos os valores de \( x \) 
para os quais \( f(x) \) é contínua.